תנע זוויתי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Math.svg יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
יש להוסיף מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

תנע זוויתי הוא גודל פיזיקלי וקטורי המודד תנועה סיבובית.

תנע זוויתי נשמר במערכת סגורה. במכניקה, ובפרט במכניקה של גוף קשיח, שימור התנע הזוויתי מנוצל להקניית יציבות לכלי רכב דו-גלגליים ולפעולת הגירוסקופ המכני. בתורת הקוונטים שימור התנע הזוויתי משמש להגדרת תגובות אפשריות בין חלקיקים.

הסבר אינטואיטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

התנע זוויתי מזכיר בתכונותיו את תכונות התנע הקווי (התנע הפשוט והמוכר יותר). התנע הקווי, המוגדר כמכפלת המסה במהירות, מתאר את יכולתו של גוף להמשיך בתנועתו (תכונה זו נקראת גם אינרציה - ככל שהתנע של גוף גדול יותר, כך יהיה קשה יותר להאט או להאיץ אותו): על פי חוק שימור התנע אם לא פועלים כוחות חיצוניים אזי התנע של גוף נשאר קבוע, ואילו על פי החוק השני של ניוטון כוחות גורמים לשינוי בתנע, לדוגמה, קשה יותר לעצור משאית מאשר אופנוע שנוסעים במהירות שווה, כיוון שהמסה של המשאית גדולה יותר ולכן גם התנע שלה.

באופן דומה חוק שימור התנע הזוויתי קובע שגוף מסתובב ימשיך להסתובב כל עוד לא פועלים עליו מומנטים חיצוניים. לכן לדוגמה כאשר שתי דיסקות בגודל זהה אך שונות במשקלן מסתובבות סביב עצמן במהירות זהה, יהיה קשה יותר לעצור את הדיסקה הכבדה יותר, מכיוון שיש לה תנע זוויתי גדול יותר. התנע הזוויתי תלוי גם במרחק מציר הסיבוב. לכן כאשר רקדנית חגה סביב עצמה כאשר רגליה פרושות, ואז מכווצת את הרגליים, מהירות הסיבוב שלה עולה. תופעה זאת נובעת מכך שכאשר הרקדנית מכווצת את הרגליים היא מקטינה את המרחק מציר הסיבוב, ולכן על מנת לשמר את התנע הזוויתי, מהירות הסיבוב שלה עולה.

תנע זוויתי של גוף נקודתי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקה קלאסית, התנע הזוויתי של גוף נקודתי הוא יחסי למערכת הצירים בה הוא מתואר, והוא מוגדר:

\vec L=\vec r\times\vec p

כאשר \vec L הוא התנע הזוויתי, \vec r הוא וקטור ההעתק מראשית הצירים למיקום הגוף ו-\vec p הוא התנע הקווי. כל הגדלים הללו הם וקטוריים והפעולה \times מסמנת מכפלה וקטורית.

התנע הזוויתי משמש להגדרת חוק המקביל לחוק השני של ניוטון עבור תנועה סיבובית:

\vec \tau = \frac{d \vec L}{dt}

כאשר \vec \tau= \vec r\times\vec F הוא מומנט הכוח השקול הפועל על הגוף. במקרה שבו לא פועל מומנט כוח על הגוף, התנע הזוויתי הוא גודל שנשמר קבוע בזמן. מצב כזה יכול לקרות אם לא פועל כוח על הגוף, או אם הכוח השקול פועל בכיוון \vec r. דוגמה לכך היא כוח הכבידה: כוח הכובד הפועל בין השמש וכדור הארץ הוא כוח מרכזי. אם נבחר את ראשית הצירים במרכז השמש, הכוח שמפעילה מערכת השמש על כדור הארץ הוא בכיוון \hat r ולכן היא אינה מפעילה מומנט כוח על כדור הארץ. כתוצאה מכך התנע הזוויתי של כדור הארץ נשמר.

במערכת בה התנע הזוויתי והמסות נשמרים, הגדלת רדיוס הסיבוב תקטין את המהירות הקווית ולהיפך.

התנע הזוויתי הוא התנע הקנוני הצמוד של אינווריאנטיות הלגרנג'יאן ביחס לסיבוב מערכת הצירים שנשמר לפי משפט נתר.

תנע זוויתי של גוף קשיח[עריכת קוד מקור | עריכה]

התנע הזוויתי של גוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית קבועה \ \omega סביב ציר מסוים, הוא מכפלת המהירות הזוויתית במומנט ההתמד של הגוף \ I סביב אותו ציר,

L = I\omega\

מומנט ההתמד הוא תכונה של הגוף, המציינת את "התנגדותו" לשינוי בסיבוב סביב ציר מסוים. במקרה הכללי יותר, עבור סיבוב במהירות זוויתית כללית \vec \omega סביב ציר שכוונו הוא כוון וקטור המהירות הזוויתית, התנע הזוויתי הוא מכפלת טנזור ההתמד של הגוף בוקטור המהירות הזוויתית,

\vec L = \hat I \vec\omega\

טנזור ההתמד של הגוף מכליל את מומנט ההתמד עבור כל כווני הסיבוב.

האנרגיה הקינטית הסיבובית של גוף קשיח נתונה על ידי:

\ E_k = \frac{1}{2} \vec{\omega}^T I \vec{\omega}

כאשר הגוף מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע:

\ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2

תנע זוויתי במכניקת הקוונטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקת הקוונטים, התנע הזוויתי הוא אופרטור הרמיטי המשמש בפתרון משוואת שרדינגר של מערכות במרחב התלת ממדי עם פוטנציאל בעל סימטריה כדורית.

אופרטור התנע הזוויתי \vec{L} הוא אופרטור וקטורי המוגדר על ידי:

\ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

כאשר \vec{r} הוא אופרטור ההעתק ו-\ \vec{p} = -i \hbar \vec{\nabla} הוא אופרטור התנע הקווי התלת-ממדי המוגדר באמצעות הגרדיאנט. לפי הסכם הסכימה של איינשטיין ניתן לרשום זאת בעזרת סימן לוי-צ'יוויטה:

\ L_k = \varepsilon_{ijk}r_i p_j

למשל, רכיב התנע הזוויתי בכיוון ציר \hat z:

\ L_z = x p_y - y p_x

משוואות הערכים העצמיים הן:

  • \ L^2 | l,m \rang = \hbar^2 l (l+1) | l,m \rang
  • \ L_z | l,m \rang = \hbar m | l,m \rang

ניתן להגדיר אופרטורי סולם (אופרטורי העלאה והורדה) של התנע הזוויתי:

\ L_{\pm} = L_x \pm i L_y

אופרטורים אלה משמשים למציאת הערכים האפשריים לתנע הזוויתי. הפעלתם על וקטור עצמי (המייצג מצב קוונטי) נותנת את הווקטור העצמי הבא והקודם בהתאמה:

  • \ L_{\pm} | l,m \rang = \hbar \sqrt{ l(l+1) - m(m \pm 1)} | l , m \pm 1 \rang

יחסי החילוף של אופרטורי התנע הזוויתי הם:

  • \ [ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k
  • \ [ L^2 , L_z ] = 0
  • \ [ L_z , L_{\pm} ] = {\pm} \hbar L_{\pm}
  • \ [ L^2 , L_{\pm} ] = 0
  • \ [ L^2 , H ] = [ L_z , H ] = 0

כאשר הקומוטטור מוגדר: \ [ A,B ] = AB - BA

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר נתון חלקיק בפוטנציאל ספרי-סימטרי (כלומר, הפוטנציאל תלוי רק במרחק החלקיק מהראשית r), נוח לעבוד בקואורדינטות כדוריות. מאחר שהתנע הזוויתי מתחלף עם ההמילטוניאן ובבסיס זה אפשר לבצע הפרדת משתנים \ \psi(\vec{r}) = R(r) Y_{l,m}(\theta,\phi) במשוואת שרדינגר ולקבל:

היכולת לבצע הפרדת משתנים זו היא תוצאה של לכסון אופרטור התנע הזוויתי שמתחלף עם ההמילטוניאן.

באטום המימן תנע זוויתי הוא זה שיוצר ניוונים המאפשרים לאכלס רמות אנרגיה זהות במספר מצבים קוונטים שונים. בנוסף, עבור חלקיקים בעלי ספין, ישנו אפקט של צימוד ספין-מסילה ובה נוצרת אינטראקציה בין התנע הזוויתי של החלקיק לספין שלו, מהצורה \ H_{LS} = k \vec{L} \cdot \vec{S} שכדי לפתור אותה יש לעבור לבסיס אופרטורים חדש על ידי חיבור תנע זוויתי, \ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}.

התנע הזוויתי הוא היוצר של הסיבובים. סיבוב בזווית \theta סביב ציר בכיוון \hat{n} מתקבל על ידי הפעלת האופרטור הבא: \ R_\theta = \exp{ \left( \frac{i}{\hbar} \theta \hat{n} \cdot \vec{L} \right)}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]