פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר \ x=0 (כלומר לציר Y).

פונקציה זוגית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ועבור המספר הנגדי לו, כלומר \ f(x)=f(-x).

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר Y.

דוגמאות של פונקציות זוגיות:

פונקציה אי-זוגית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר \ f(-x)=-f(x).

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר Y (כלומר סימטרית ביחס לסיבוב של 1800 סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:

פונקציה כללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית באופן הבא: \ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)

וזאת כאשר: f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f(-x) \over 2} ו f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f(-x) \over 2}


יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
f_{\text{even}}(x) = {f(x) + f^*(-x) \over 2} ו f_{\text{odd}}(x) = {f(x) - f^*(-x) \over 2}
או:
f_{\text{even}}(x) = f_{\text{even}}^*(-x) ו f_{\text{odd}}(x) =- f_{\text{odd}}^*(-x)

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • סכום פונקציות:
    • סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
    • סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
  • מכפלת פונקציות:
    • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
  • הרכבת פונקציות:
    • הרכבה של פונקציות זוגיות היא פונקציה זוגית.
    • הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
    • הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית (אך לא להפך)
  • גזירת פונקציה:
    • נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
    • נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • אינטגרל של פונקציה:
    • כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
    • לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
    • האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
    • האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
  • תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת בנקודה x=0 חייבת לקיים \ f(0)=0.