תורת כיול

תורת כיול (באנגלית: Gauge theory) היא תורת שדות קוונטית שבה הלגראנז'יאן סימטרי תחת טרנספורמציית כיול, שהיא חבורה של פעולות, המשנות את השדות בתורה, ותלויות במיקום במרחב. לעומתה סימטריה גלובלית היא סימטריה שאינה תלויה במיקום. נאמר שהלגרנז'יאן של תורת כיול הוא בעל סימטריית כיול, והפעולות בטרנספורמציה הן ה"יוצרים" של אלגברת לי, שמרכיבים חבורת לי.

שדה כיול הוא שדה שמקיים משוואות של תורת כיול. מתוך הדרישה שהתורה תהיה סימטרית לכיול, כלומר לא תשתנה תחת הפעלה של סימטרית הכיול, נדרשים להוסיף גודל חדש שהוא שדה הכיול. בתורת כיול קוונטית, שדה הכיול הוא חלקיק יסודי, הקרוי בוזון כיול, והוא נקרא גם ה"נושא" של הכוח שמתאים לאותה סימטריית כיול. כוחות היסוד בטבע (מלבד כוח הכבידה) מתוארים על ידי שדות כיול: אלקטרומגנטיות, הכוח הגרעיני החלש, הכוח הגרעיני החזק.

מלבד כוחות יסוד, תורת כיול משמשת גם לתיאור מקורב של מערכות וכוחות מורכבים, לדוגמה: פיזיקה של מוליך-על, פיזיקה של חומר מעובה, פיזיקת חלקיקים (כתיאור מקורב של תגובות בין חלקיקים מורכבים).

דוגמאות

אלקטרודינמיקה קוונטית - תורת הכיול שמתארת את הכוח האלקטרומגנטי. סימטריית הכיול שלה היא $\ U(1)$, היוצרת את הפוטון שהוא בוזון הכיול בתורה.

הכוח האלקטרו-חלש - תורת כיול עם סימטריה $\ SU(2)\times U(1)$, המאחדת את הכוח האלקטרומגנטי עם הכוח הגרעיני החלש, ומתפרקת במנגנון היגס לכוח האלקטרומגנטי שתואר ולשלושה בוזוני W ו-Z בעלי מסה, נושאי הכח החלש שאינו סימטריה אלא תוצר פירוק של סימטריה.

כרומודינמיקה קוונטית - התורה המתארת את הכוח הגרעיני החזק, באמצעות סימטריית $\ SU(3)$ שנושא הגלואון.

אלקטרודינמיקה קוונטית - ניתוח מתמטי

נכתוב את הלגרנז'יאן של פרמיון טעון חשמלית (כמו אלקטרון לדוגמה) ביחידות טבעיות:

$\mathcal{L} = \bar\psi(i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi$

הלגרנז'יאן סימטרי תחת טרנספורמציה גלובלית $U(1)$,

$\psi \rightarrow \psi' =e^{ie\theta}\psi$,

שבה $\theta$ אינה תלויה במיקום:

$\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L}'=\bar\psi e^{-ie\theta}(i \gamma^\mu \partial_\mu - m)e^{ie\theta} \psi=\mathcal{L}$.

לעומת זאת אם הטרנספורמציה תלויה במיקום,

$\psi \rightarrow \psi' =e^{ie\phi(x)}\psi$

אזי הלגרנ'יאן אינו בעל סימטריה לוקאלית:

$\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L}' =\bar\psi e^{-ie\phi(x)}(i \gamma^\mu \partial_\mu - m)e^{ie\phi(x)} \psi =\bar\psi e^{-ie\phi}e^{ie\phi}(i\gamma^\mu\partial_\mu -e\gamma^\mu\partial_\mu \phi -m) \psi \neq\mathcal{L}$.

ניתן להפוך את הלגרנ'יאן לסימטרי באמצעות הפיכת הנגזרת לנגזרת קווריאנטית:

$\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu -ieA_\mu$.

הנגזרת הקווריאנטית מכילה שדה כיול, השדה האלקטרומגנטי $A_\mu(x)$, שמוגדר כאן כשדה נוסף שהוא בעל הטרנספורמציה המדויקת שהופכת את הלגרנז'יאן לסימטרי: $A_\mu(x)\rightarrow A_\mu'(x)=A_\mu+\partial_\mu \phi$

כעת הלגראנז'יאן נכתב:

$\mathcal{L} = \bar\psi(i \gamma^\mu D_\mu - m) \psi$

וכאשר נפעיל את הטרנספורמציה הלוקאלית, נראה שהוא אכן סימטרי תחתיה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.