לדלג לתוכן

אי-שוויון אדמר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר[1]) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893.[2] לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של ווקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה--ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.

בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם היא מטריצה בעלת עמודות , , אז

ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה אורתוגונליות.

תוצאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה חסומים מלעיל על ידי , כלומר לכל , אז מתקיים,

בפרט, אם הערכים של הם רק או אז[3]

בקומבינטוריקה, מטריצה שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.

באופן כללי יותר, נניח ש- היא מטריצה מרוכבת מסדר , שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי , כלומר לכל , מאי-שוויון אדמר נובע,

עבור מטריצה ממשית מתקיים שוויון אם ורק אם היא מטריצת אדמר.

אם מטריצה חיובית למחצה קיימת כך ש - כאשר היא המטריצה הצמודה של . לכן,

כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.[2][4]

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם המטריצה היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה הפיכה ולכן העמודות של אינן תלויות ליניארית. נסמן ב- את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של באורך שלה. נסמן ב-, , את העמודות של . ידוע לנו כי הן ווקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה מקיימת את טענת המשפט, כלומר,

נסמן כאשר היא המטריצה הצמודה של , ונניח ש- הם הערכים העצמיים של . מכיוון שאורך כל עמודה של הוא , כל איבר באלכסון הראשי של הוא ולכן העקבה של היא . ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,

מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,

התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:
אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של שווים וסכומם ולכן שווים ל-. המטריצה היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של הן קבוצה אורתוגונלית.[5] הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ "Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. נבדק ב-2020-06-15.
  2. ^ 1 2 Maz'ya & Shaposhnikova
  3. ^ Garling
  4. ^ Różański, Michał; Wituła, Roman; Hetmaniok, Edyta (2017). "More subtle versions of the Hadamard inequality". Linear Algebra and Its Applications. 532: 500–511. doi:10.1016/j.laa.2017.07.003.
  5. ^ Proof follows, with minor modifications, the second proof given in Maz'ya & Shaposhnikova.