אי-שוויון אדמר
בערך זה |
במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר[1]) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893.[2] לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של ווקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה--ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה.
בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם היא מטריצה בעלת עמודות , , אז
ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה אורתוגונליות.
תוצאות
[עריכת קוד מקור | עריכה]אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה חסומים מלעיל על ידי , כלומר לכל , אז מתקיים,
בפרט, אם הערכים של הם רק או אז[3]
בקומבינטוריקה, מטריצה שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר.
באופן כללי יותר, נניח ש- היא מטריצה מרוכבת מסדר , שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי , כלומר לכל , מאי-שוויון אדמר נובע,
עבור מטריצה ממשית מתקיים שוויון אם ורק אם היא מטריצת אדמר.
אם מטריצה חיובית למחצה קיימת כך ש - כאשר היא המטריצה הצמודה של . לכן,
כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר.[2][4]
הוכחה
[עריכת קוד מקור | עריכה]אם המטריצה היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה הפיכה ולכן העמודות של אינן תלויות ליניארית. נסמן ב- את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של באורך שלה. נסמן ב-, , את העמודות של . ידוע לנו כי הן ווקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה מקיימת את טענת המשפט, כלומר,
נסמן כאשר היא המטריצה הצמודה של , ונניח ש- הם הערכים העצמיים של . מכיוון שאורך כל עמודה של הוא , כל איבר באלכסון הראשי של הוא ולכן העקבה של היא . ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל,
מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט,
- התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי:
- אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של שווים וסכומם ולכן שווים ל-. המטריצה היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של הן קבוצה אורתוגונלית.[5] הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות.
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- אי-שוויון אדמר, באתר MathWorld (באנגלית)
הערות שוליים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- ^ "Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. נבדק ב-2020-06-15.
- ^ 1 2 Maz'ya & Shaposhnikova
- ^ Garling
- ^ Różański, Michał; Wituła, Roman; Hetmaniok, Edyta (2017). "More subtle versions of the Hadamard inequality". Linear Algebra and Its Applications. 532: 500–511. doi:10.1016/j.laa.2017.07.003.
- ^ Proof follows, with minor modifications, the second proof given in Maz'ya & Shaposhnikova.