אי-שוויון מרקוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות ש-X נמצא בתחום המסומן באדום

בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב חוסם את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי חיובי יהיה גדול מקבוע נתון. אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השיוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי. לדוגמה, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי העשירון העליון של האוכלוסייה מרוויח פי 12 מהמשכורת הממוצעת. למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון החוק החלש של המספרים הגדולים.

אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדרי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.

נוסח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מידה ופונקציה מדידה אל הישר הממשי המורחב, אז לכל מתקיים:

במקרה הפרטי של מרחב הסתברות (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל מתקיים
.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית. f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה מדידה. מתקיים:

נוציא אינטגרל לבג על הקבוצה X משני צידי אי השוויון:
לפי הגדרת אינטגרל לבג על פונקציה מציינת של קבוצה מדידה, מתקיים:
נחלק ב-t ונקבל:
כנדרש.

הוכחה למשתנים מקריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי משתנה מקרי חיובי רציף (ההוכחה למקרה הבדיד דומה). אזי: