אלסטיות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף אלסטי)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Math.svg יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופן טכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
סיבה: הגרסה הראשונה של הערך הייתה מעולה. במקום זאת הערך הפך למאמר מדעי.
יש להוסיף מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

אלסטיות[1] או גמישות היא תורה מקרוסקופית, המתארת מַעֲוַת (דפורמציה) של גופים, תחת ההנחה שאורך הגל המבצע את הדפורמציה גדול מכל סקאלה מיקרוסקופית במערכת הנידונה.

כאשר מפעילים כוח על גוף נוצרת הזזה של חלקיו. ניתן לחלק את ההשפעה על הגוף לשני חלקים:

  1. הזזה של גוף קשיח - הזזה שבה המרחקים בין חלקיקי הגוף לא משתנים, כלומר הזזה של הגוף במלואו.
  2. דפורמציה[2] - הזזה שבה המרחק היחסי בין חלקיקים כן משתנה.

בסקירה זו נפתח את התאוריה הבסיסית של האלסטיות, נכתוב בהתחלה את הביטוי הכללי שמתאר דפורמציה בחומר, לאחר נפתח את הקירוב הליניארי לאנרגיה החופשית הדרושה לביצוע דפורמציה ולהמחשה נתאר שני מקרים פרטיים: מוצק בעל סימטריה קובית, ומוצק בעל סימטריה איזוטרופית. לבסוף נתאר את האנרגיה לדפורמציה של גביש נוזלי.

לאורך כל הפיתוח נראה שקיימים מספר קבועים התלויים בסוג החומר. את קבועים אלו ניתן לקבל בעזרת חישובים מעולם הפיזיקה האטומית, או על ידי ניסוי. 

הדגמה גרפית של תכונות האלסטיות של חומר מוצק

אלסטיות לא ליניארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אלסטיות לא ליניארית מתארת תהליך הפיך בו מבצעים דפורמציה לחומר ללא הנחה שהדפורמציה קטנה. מצב ההתחלה, לפני הדפורמציה, נקרא מצב הייחוס. נוח לתאר את המצב לפני ואחרי הדפורמציה באמצעות הווקטורים:

לפני הדפורמציה אחרי הדפורמציה

התורה האלסטית מניחה שהאנרגיה הדרושה לביצוע דפורמציה תלויה רק בשינוי המרחק בין חלקיקי החומר. כלומר ניתן לרשום:

כאשר מוגדרת להיות המטריקה.

אלסטיות ליניארית[3][עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר קטן יחסית ל- ניתן לקרב ליניארית את הנגזרות של s ולהזניח סדרים גבוהים מסדר ראשון. סך הכל מתקבל:

טנזור המעוות מוגדר ע״י:

מאמץ - מעוות במערכת צירים קרטזית

וכדי לקבל את התאוריה לאלסטיות, ניתן להניח שהאנרגיה החופשית לביצוע דפורמציה הולכת כמו ריבוע טנזור המעוות, וזה כדי שכאשר האנרגיה תהיה במינימום (מה שלא מתקבל באיבר ליניארי) – לא מבצעים דפורמציה. אם כך, נכתוב את האנרגיה החופשית (תוך הנחת לוקאליות של הבעיה):

כאשר אינדקסים חוזרים נסכמים.

בלי הגבלת הכלליות ניתן לבחור את C כך שהוא יהיה סימטרי בהחלפה של כך שסה״כ נשאר עם 21 מקדמים בלתי תלויים. תחת סימטריות ניתן להוריד את מספר הקבועים הללו, לדוגמה בסימטריה קובית נישאר עם 3 מקדמים בת״ל בלבד.

נהוג לסמן את טנזור הלחץ:

ואז לקבל:

אלסטיות בסימטריה קובית[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימטריה קובית מוגדרת ככזאת שקיימות בה סימטריות תחת שיקופים בכל אחד מהצירים. ניתן להראות שבמקרה זה נשארים עם שלושה קבועים בלבד מתוך כל ה-21: ו-.

נקבל את הביטוי לאנרגיה חופשית[4]:

נהוג במקרה זה לסמן:

;

ובאותו אופן מגדירים את הגדלים . נקבל:

עתה ניתן מתוך האנרגיה החופשית לחשב את מודול הנפח על ידי:

ובמקרה של שריג קובי בו מופעל לחץ אחיד על כל הדפנות מתקבל:

אלסטיות בסימטריה איזוטרופית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בגוף בו קיימת סימטריה איזוטרופית, נוספת סימטריה נוספת לבעיית הסימטריה הקובית - סימטריית סיבוב. כלומר אם לכתוב:

כאשר R היא מטריצת סיבוב כלשהי. נרצה שתחת סיבוב כזה האנרגיה החופשית לא תשתנה.

ניתן על ידי בחירת מטריצת סיבוב המתאימה ל-45 מעלות ודרישה לשוויון באנרגיה החופשית בין המצב ההתחלתי למצב המסובב להראות שמשלושה קבועים בלתי תלויים, יורדים לשני קבועים בלבד. כאשר הקבוע השלישי ניתן על ידי:

במקרה זה נוכל לכתוב[5]:

כאשר:

נקראים קבועי לאמה.

ניתן לקבל אינטואיציה למשמעותם של הגדלים המופיעים בביטוי באנרגיה החופשית על ידי כתיבת משוואות התנועה של הגוף. נוסיף איבר קינטי סטנדרטי מהצורה:

טנזור המאמצים בתיאור אינדקסים כללי

כאשר צפיפות המסה.

באמצעות משוואות אוילר-לגראנז' מתקבלת משוואת התנועה:

על ידי אינטגרציה בשני הצדדים ניתן לראות את הדבר הבא:

צד שמאל מהווה על פי הגדרה את הכוח המופעל על הגוף. בצד ימין ניתן להפעיל את משפט גאוס ולקבל שהכוח הפועל על גוף ניתן ע״י החלק המתאים בטנור הלחץ. ומכאן שמו, שכן הוא באמת מתאר את הלחץ המופעל על גוף בכל אחת מפאותיו. נשים לב שכצפוי הכוח מגיע משפות הגוף בלבד. ניתן לראות באיור את חלקיו של הטנזור.

במקרה האיזוטרופי נוכל לכתוב:

וע״י הפיכת המטריצה מתקבל:

אם נפעיל על הגוף לחץ אחיד S בכיוון z נוכל לחשב את מודול יאנג:

גביש נוזלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

גביש נוזלי[6] היא פאזה בחומר בין מוצק לנוזל בה קיים כיוון מועדף למולקולות. כיוון זה נקרא ה-director ונסמן אותו ב-. תורה אלסטית לגביש נוזלי חשובה לדוגמה להבנת כמות האנרגיה הדרושה לשינוי כיוון המולקולות. דבר הכרחי לדוגמה בבניית מסכי LCD. תורה[7] כזו מניחה שהאנרגיה הדרושה לשינוי כיוון ה-director תלויה רק בנגזרות שונות של n תחת ההנחות:

  1. חייבת להיות סימטריה תחת שיקוף - קרי מעבר בין ל-.
  2. אין תלות בבחירת מערכת הצירים - חייבת להיות סימטריה לסיבוב והזזה של הראשית.

ניתן להראות שתחת הנחות אלו נגזרות ראשונות מתבטלות. נשאר לחפש איברים מסדר שני.

לאחר הרבה אלגברה ושימוש בהנחות אלו מקבלים לבסוף שהאנרגיה החופשית ניתנת ע״י

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • M.P Marder, Condensed Matter Physics, Wiley & Sons
  • L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Course of Theoretical Physics: Theory of Elasticity Butterworth-Heinemann.
  • J.E. Marsden, T.J. Hughes, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.
  • P.C. Chou, N. J. Pagano, Elasticity: Tensor, Dyadic, and Engineering Approaches, Dover.
  • R.W. Ogden, Non-linear Elastic Deformation, Dover.
  • Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company.
  • S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw -Hill 1970.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אלסטיות בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ F. D. MURNAGHAN., FINITE DEFORMATIONS OF AN ELASTIC SOLID.*, merican Journal of Mathematics
  2. ^ A. E. H. Love, The Small Free Vibrations and Deformation of a Thin Elastic Shell, The Royal Society
  3. ^ B.R. Seth, Finite Strain in Elastic Problems, The Royal Society Publishing
  4. ^ FRANCIS BIRCH, Finite Elastic Strain of Cubic Crystals, PHYSICAL REVIEW
  5. ^ M. Mooney, A theory of large elastic deformation, Journal of Applied Physics
  6. ^ Michael J.Stephen and Joseph P. Straley, Physics of liquid crystals, REVIEWS OF MODERN PHYSICS
  7. ^ F. C. FRA, ON THE THEORY OF LIQUID CRYSTALS, Discussions of the Faraday Society