הישר של סורגנפריי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, הישר של סורגנפרייאנגלית: Sorgenfrey Line) הוא מרחב טופולוגי שמוגדר על קבוצת הממשיים , כך שקבוצה פתוחה במרחב היא איחוד של קטעים חצי-פתוחים בממשיים, מהצורה . המרחב קרוי על שמו של רוברט סורגנפריי ומסומן לעיתים כ-.

פורמלית, טופולוגיית הישר של סורגנפריי מוגדרת באמצעות הבסיס , והיא מכונה גם לעיתים טופולוגיית הגבול התחתון.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • טופולוגיה זו מכילה ממש את הטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים. כלומר, כל קבוצה פתוחה לפי המטריקה הסטנדרטית, פתוחה גם לפי הישר של סורגנפריי, ויש קבוצות נוספות שאינן פתוחות בישר הסטנדרטי, כמו כל קטע חצי פתוח .
  • ההתכנסות בטופולוגיה זו שונה מההתכנסות בממשיים. כך למשל, בעוד שהסדרה מתכנסת לאפס, הסדרה לא מתכנסת לאפס.
  • כל קטע מהצורה או מהצורה הוא קבוצה סגורה ופתוחה. לכן, לטופולוגיה זו ממד אפס.

מרחב מכפלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על ידי הכפלת מרחב זה בעצמו, ניתן לקבל מרחב מכפלה, ששומר על חלק מהתכונות של המרחב המקורי, אך חלקן גם אובדות או נחלשות.

בפרט, אם מכפילים פעמיים, מקבלים את המישור של סורגנפריי. המרחב שמתקבל הוא ספרבילי (כמכפלת שני מרחבים ספרביליים), ומהווה דוגמה למרחב בו ספרביליות לא עוברת בירושה לתתי מרחבים: האלכסון הוא תת-מרחב לא ספרבילי. מכאן שספרביליות אינה תכונה תורשתית.

מרחב המכפלה הוא רגולרי, אבל לא נורמלי. זוהי דוגמה לכך שמכפלה סופית של מרחבים נורמליים אינה בהכרח נורמלית (למרות שמכפלה סופית של מרחבים רגולריים היא רגולרית). מכאן נוכל לספק הסבר חלופי להסבר שניתן לעיל באשר לכך ש- איננו מרחב מטרי: אילו היה מרחב מטרי, אז גם היה מטרי ולכן נורמלי, בסתירה.