משלים (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה $G$ (באנגלית: $G$ complement of set) הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-$G$. זאת ביחס לקבוצה $U$ כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של $U$.

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת $G$ והמשלים של $G$ הוא הקבוצה $U$, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

הגדרה פורמלית

דיאגרמת ון של המשלים של $G$ בקבוצת $U$ הוא השטח המסומן בצבע אפור.

תהא $U$ קבוצה, ותהא $G\subseteq U$ קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של $G$ ב-$U$ יוגדר כך: $G^{\complement }=U-G$. סימונים מקובלים נוסף למשלים הם $G',\ \complement _{U}G,\ {\overline {G}},\ -G$. עם זאת, הסימון ${\overline {G}}$ מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה

תהא קבוצה $N$ המכילה את כל המספרים הטבעיים 1,2,3,....

תהא קבוצה $A$ המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6.... הקבוצה $B$ היא המשלים של $A$ ביחס ל-$N$ אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-$N$ אך לא ב-$A$, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים 1,3,5....

ניתן לראות כי החיתוך של $A$ עם $B$ נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה $N$.

תכונות בסיסיות

$A^{\complement \complement }=A$, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הוא הקבוצה עצמה.

$A\cap A^{\complement }=\emptyset$, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

$A\cup A^{\complement }=U$, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

$U^{\complement }=\emptyset$, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

$\emptyset ^{\complement }=U$, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגן

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

קישורים חיצוניים

• משלים, באתר MathWorld (באנגלית)