משלים (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה (באנגלית: complement of set) הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-. זאת ביחס לקבוצה כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של .

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת והמשלים של הוא הקבוצה , ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמת ון של המשלים של בקבוצת הוא השטח המסומן בצבע אפור.

תהא קבוצה, ותהא קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של ב- יוגדר כך: . סימונים מקובלים נוסף למשלים הם . עם זאת, הסימון מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא קבוצה המכילה את כל המספרים הטבעיים 1,2,3,....

תהא קבוצה המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6.... הקבוצה היא המשלים של ביחס ל- אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב- אך לא ב-, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים 1,3,5....

ניתן לראות כי החיתוך של עם נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה .

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הוא הקבוצה עצמה.

, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגן[עריכת קוד מקור | עריכה]

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]