באנליזה מרוכבת , השארית של
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
מספר מרוכב המתכונתי לאינטגרל מסילתי של פונקציה מרומורפית לאורך עקומה סגורה המקיפה את אחת הסינגולריות שלה. באופן כללי יותר, ניתן לחשב שאריות עבור כל פונקציה
f
:
C
∖
{
z
k
}
k
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{z_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }
שהולומורפית בכל המישור המרוכב למעט מספר סופי של נקודות
{
z
k
}
k
{\displaystyle \{z_{k}\}_{k}}
סינגולריות עיקריות . ניתן לחשב שאריות די בקלות, ולאחר מכן ניתן לחשב באמצעותן את ערכם של אינטגרלים מסילתיים כלליים באמצעות משפט השאריות .
שארית של פונקציה מרומורפית
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
הייחודי
R
{\displaystyle R}
f
(
z
)
−
R
/
(
z
−
z
0
)
{\displaystyle f(z)-R/(z-z_{0})}
אנטי נגזרת אנליטית בסביבה המנוקבת
0
<
|
z
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }
לחלופין, ניתן לחשב שאריות על ידי מציאת פיתוח טור לורן עבור הפונקציה, ואז להגדיר את השארית כמקדם של החזקה
(
z
−
z
0
)
−
1
{\displaystyle (z-z_{0})^{-1}}
a
−
1
{\displaystyle a_{-1}}
באמצעות משפט השאריות ניתן להשתמש בשארית כדי לחשב את ערכם של אינטגרלים מסילתיים מרוכבים בבעיות מסוימות. לפי משפט השאריות, השארית של פונקציה מרומורפית
f
{\displaystyle f}
z
k
{\displaystyle z_{k}}
Res
(
f
,
z
k
)
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{k})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz\,}
כאשר
γ
{\displaystyle \gamma }
עקומה סגורה פשוטה בעלת אוריינטציה חיובית סביב
z
k
{\displaystyle z_{k}}
ניתן להכליל את הגדרת השארית למשטחי רימן שרירותיים. נניח ש־
ω
{\displaystyle \omega }
תבנית-1 על משטח רימן, וש־
ω
{\displaystyle \omega }
x
{\displaystyle x}
ω
{\displaystyle \omega }
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle f(z)\;dz}
ω
{\displaystyle \omega }
x
{\displaystyle x}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
x
{\displaystyle x}
שארית מסומנת לעיתים קרובות כ־
Res
(
f
,
z
0
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})}
Res
z
0
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Res} _{z_{0}}(f)}
Res
z
=
z
0
f
(
z
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)}
res
z
=
z
0
f
(
z
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {res} } _{z=z_{0}}f(z)}
נניח שנתונה סביבה מנוקבת
D
=
{
z
:
0
<
|
z
−
z
0
|
<
R
}
{\displaystyle D=\{z:0<|z-z_{0}|<R\}}
f
{\displaystyle f}
D
{\displaystyle D}
Res
(
f
,
z
0
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})}
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
a
−
1
{\displaystyle a_{-1}}
(
z
−
z
0
)
−
1
{\displaystyle (z-z_{0})^{-1}}
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
לפי משפט השאריות:
Res
(
f
,
z
0
)
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}
כאשר
γ
{\displaystyle \gamma }
z
0
{\displaystyle z_{0}}
γ
{\displaystyle \gamma }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
z
0
{\displaystyle z_{0}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
c
{\displaystyle c}
אם ניתן להשלים את הפונקציה
f
{\displaystyle f}
|
z
−
z
0
|
<
R
{\displaystyle |z-z_{0}|<R}
Res
(
f
,
z
0
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})=0}
בקוטב פשוט (קוטב מסדר 1)
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
{\displaystyle f}
Res
z
=
z
0
f
(
z
)
=
lim
z
→
z
0
(
z
−
z
0
)
f
(
z
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)}
אם הגבול הזה לא קיים, זוהי נקודת סינגולריות עיקרית. אם הגבול קיים ושווה 0 אז
f
{\displaystyle f}
אם ניתן לכתוב את הפונקציה
f
{\displaystyle f}
f
(
z
)
=
p
(
z
)
q
(
z
)
{\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
פונקציות הולומורפיות בסביבה של
z
0
{\displaystyle z_{0}}
q
(
z
0
)
=
0
{\displaystyle q(z_{0})=0}
q
′
(
z
0
)
≠
0
{\displaystyle q'(z_{0})\neq 0}
כלל לופיטל שמתקיים:
Res
z
=
z
0
p
(
z
)
q
(
z
)
=
p
(
z
0
)
q
′
(
z
0
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}{\frac {p(z)}{q(z)}}={\frac {p(z_{0})}{q'(z_{0})}}}
הוכחה:
Res
z
=
z
0
f
(
z
)
=
lim
z
→
z
0
(
z
−
z
0
)
f
(
z
)
=
lim
z
→
z
0
z
p
(
z
)
−
z
0
p
(
z
)
q
(
z
)
=
lim
z
→
z
0
p
(
z
)
+
z
p
′
(
z
)
−
z
0
p
′
(
z
)
q
′
(
z
)
=
p
(
z
0
)
q
′
(
z
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)&=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {zp(z)-z_{0}p(z)}{q(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {p(z)+zp'(z)-z_{0}p'(z)}{q'(z)}}={\frac {p(z_{0})}{q'(z_{0})}}\end{aligned}}}
באופן כללי יותר, אם
z
0
{\displaystyle z_{0}}
n
{\displaystyle n}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
=
z
0
{\displaystyle z=z_{0}}
Res
z
=
z
0
f
(
z
)
=
1
(
n
−
1
)
!
lim
z
→
z
0
d
n
−
1
d
z
n
−
1
(
(
z
−
z
0
)
n
f
(
z
)
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-z_{0})^{n}f(z)\right)}
באופן כללי, השארית באינסוף מוגדרת כ־
Res
(
f
(
z
)
,
∞
)
=
−
Res
(
1
z
2
f
(
1
z
)
,
0
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right)}
אם מתקיים
lim
|
z
|
→
∞
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0}
Res
(
f
,
∞
)
=
−
lim
|
z
|
→
∞
z
⋅
f
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)}
אך אם
lim
|
z
|
→
∞
f
(
z
)
=
c
≠
0
{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0}
Res
(
f
,
∞
)
=
lim
|
z
|
→
∞
z
2
⋅
f
′
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z)}
עבור פונקציות הולומורפיות, סכום השאריות בסינגולריות המבודדות בתוספת השארית באינסוף הוא אפס, מה שנותן:
Res
(
f
(
z
)
,
∞
)
=
−
∑
k
Res
(
f
(
z
)
,
z
k
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),z_{k}\right)}
ראו את האינטגרל המסילתי הבא:
∮
C
e
z
z
5
d
z
{\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}
כאשר C היא עקומה סגורה פשוטה סביב 0.
ניתן לחשב אינטגרל זה באמצעות תוצאת התכנסות סטנדרטית לגבי אינטגרציה לפי טורים. אנחנו יכולים להציב את טור טיילור עבור
e
z
{\displaystyle e^{z}}
∮
C
1
z
5
(
1
+
z
+
z
2
2
!
+
z
3
3
!
+
z
4
4
!
+
z
5
5
!
+
z
6
6
!
+
⋯
)
d
z
{\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz}
נכניס את הגורם
1
z
5
{\displaystyle {1 \over z^{5}}}
∮
C
(
1
z
5
+
z
z
5
+
z
2
2
!
z
5
+
z
3
3
!
z
5
+
z
4
4
!
z
5
+
z
5
5
!
z
5
+
z
6
6
!
z
5
+
⋯
)
d
z
=
∮
C
(
1
z
5
+
1
z
4
+
1
2
!
z
3
+
1
3
!
z
2
+
1
4
!
z
+
1
5
!
+
z
6
!
+
⋯
)
d
z
{\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz\end{aligned}}}
מכיוון שהטור מתכנס במידה שווה בתומך של מסלול האינטגרציה, מותר להחליף את סדר האינטגרציה והסכימה. לאחר מכן, טור האינטגרלים המסילתיים קורס לצורה פשוטה בהרבה בגלל החישוב הקודם. אז עכשיו האינטגרל סביב C של כל איבר אחר שאינו מהצורה
c
z
−
1
{\displaystyle cz^{-1}}
∮
C
1
4
!
z
d
z
=
1
4
!
∮
C
1
z
d
z
=
1
4
!
(
2
π
i
)
=
π
i
12
{\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}\,}
הערך
1
4
!
{\displaystyle {1 \over 4!}}
השארית של
e
z
z
5
{\displaystyle {e^{z} \over z^{5}}}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
כדוגמה שנייה, נחשב את השאריות בסינגולריות של הפונקציה:
f
(
z
)
=
sin
z
z
2
−
z
{\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}
שעשויה לעזור בחישוב אינטגרלים מסילתיים מסוימים. נראה שלפונקציה זו יש סינגולריות ב־
z
=
0
{\displaystyle z=0}
f
(
z
)
=
sin
z
z
(
z
−
1
)
{\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}
קל לראות שהסינגולריות ב־
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
z
=
a
{\displaystyle z=a}
g
(
z
)
=
g
(
a
)
+
g
′
(
a
)
(
z
−
a
)
+
g
″
(
a
)
(
z
−
a
)
2
2
!
+
g
‴
(
a
)
(
z
−
a
)
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }
עבור
g
(
z
)
=
sin
z
{\displaystyle g(z)=\sin z}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
sin
z
=
sin
1
+
(
cos
1
)
(
z
−
1
)
+
−
(
sin
1
)
(
z
−
1
)
2
2
!
+
−
(
cos
1
)
(
z
−
1
)
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots }
ועבור
g
(
z
)
=
1
z
{\displaystyle g(z)={1 \over z}}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
1
z
=
1
(
z
−
1
)
+
1
=
1
−
(
z
−
1
)
+
(
z
−
1
)
2
−
(
z
−
1
)
3
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots }
מהכפלת שני הטורים והכנסת
1
z
−
1
{\displaystyle {1 \over z-1}}
sin
z
z
(
z
−
1
)
=
sin
1
z
−
1
+
(
cos
1
−
sin
1
)
+
(
z
−
1
)
(
−
sin
1
2
!
−
cos
1
+
sin
1
)
+
⋯
{\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots }
השארית של
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
sin
1
{\displaystyle \sin 1}
שארית , באתר MathWorld (באנגלית) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)&=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {zp(z)-z_{0}p(z)}{q(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {p(z)+zp'(z)-z_{0}p'(z)}{q'(z)}}={\frac {p(z_{0})}{q'(z_{0})}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f251b63e05015a6b3a9e34fc22f3a0b95c7294dc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b813a1f88d4eb45c6d27aea8f565b132ee75f35)
