סינגולריות עיקרית

גרף של הפונקציה exp(1/z), שבמרכזה הסינגולריות העיקרית ב- z = 0 הגוון מייצג את הארגומנט המרוכב, והבהירות מייצגת את הערך המוחלט. גרף זה מראה כיצד גישה לסינגולריות עיקרית מכיוונים שונים מניבה התנהגויות שונות (בניגוד לקוטב, שאם ניגשים אליו מכל כיוון, יהיה לבן באופן אחיד).

באנליזה מרוכבת, סינגולריות עיקרית של פונקציה היא סינגולריות שבסביבתה הפונקציה מחזירה ערכים מכל המישור.

הגדרה פורמלית

תהי $U$ תת-קבוצה פתוחה של המישור המורכב $\mathbb {C}$ תהי $a$ נקודה ב $U$, ו $f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית. הנקודה $a$ נקראת "סינגולריות עיקרית" של הפונקציה $f$ אם הסינגולריות אינה קוטב וגם לא סינגולריות סליקה.

הגדרה שקולה היא לפי גבולות: תהי $U$ תת-קבוצה פתוחה של המישור המורכב $\mathbb {C}$ תהי $a$ נקודה ב $U$, ו $f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית. הנקודה $a$ נקרא "סינגולריות עיקרית" של הפונקציה $f$ אם הגבול $\lim _{z\to a}f(z)$ לא קיים וגם איננו אינסוף (לא קיים גם במובן הרחב).

תכונות

ערך מורחב – משפט קזוראטי-ויירשטראס

התכונה החשובה ביותר של סינגולריות עיקרית היא זו המוסקת ממשפט קוזורטי ויירשטראס, ניסוחו של המשפט הוא:

תהי $f$ פונקציה הולומורפית בתחום $U\subset \mathbb {C}$, מלבד נקודת סינגולריות עיקרית אחת $z_{0}\in U$. אזי לכל סביבה $V\subset U$ של $z_{0}$, הקבוצה $f(V\ \backslash \ \{z_{0}\})$ צפופה במישור המרוכב. למעשה קובע המשפט כי תנאי זה שקול להיות $z_{0}$ נקודת סינגולריות עיקרית של $f$. כלומר נקבל, שלכל סביבה של נקודת הסינגולריות תמונת הפונקציה על סביבה זו צפופה במישור המרוכב כולו.

דוגמאות

דוגמה פשוטה לסיגולריות עיקרית היא הנקודה $z=0$ בפונקציה exp(1/z) הגבול $\lim _{z\to 0}exp(1/z)$ לא קיים, שהרי כבר במספרים הממשיים $\lim _{z\to 0+}exp(1/z)=\infty$ אבל $\lim _{z\to 0-}exp(1/z)=0$ מעל שדה המרוכבים יש אינסוף כיוונים כאלה שמהם יוכל להגיע הגבול. כמו כן, לפי משפט קוזוראטי ויירשטראס לכל סביבה של 0 הפונקציה תעביר את הסביבה למישור המרוכב כולו.

ראו גם

• סינגולריות (מתמטיקה)
  • קוטב (אנליזה מרוכבת)
  • סינגולריות סליקה
• משפט קזוראטי-ויירשטראס
  • המשפט הגדול של פיקאר

לקריאה נוספת

ד"ר ודים גרינשטיין ופרופ' אלי לוין, ‏פונקציות מרוכבות, האוניברסיטה הפתוחה, 2009

קישורים חיצוניים

• סינגולריות עיקרית, באתר MathWorld (באנגלית)