דיסקרימיננטה

באלגברה, דיסקרימיננטה (Discriminant, או בעברית, 'מבחין') היא שמם המשותף של כמה מדדים מספריים הקשורים לפולינומים ולאובייקטים מורכבים יותר. במקרים רבים הדיסקרימיננטה מוגדרת עד כדי כפל במספר ריבועי.

הדיסקרימיננטה של פולינום שווה לאפס אם ורק אם לפולינום יש שורשים כפולים. לדוגמה, הדיסקרימיננטה של הפולינום הריבועי $\ ax^{2}+bx+c$ שווה ל- $\ b^{2}-4ac$ (ראו פירוט בהמשך), והדיסקרימיננטה של $\ x^{3}-ax+b$ שווה ל- $\ 4a^{3}-27b^{2}$. כשמקדמי הפולינום ממשיים, סימנה של הדיסקרימיננטה קשור למספר השורשים הממשיים של הפולינום. במקרה הכללי, הדיסקרימיננטה מקודדת תכונות מסוימות של חבורת גלואה של הפולינום.

בתורת השדות, ובפרט בתורת המספרים האלגברית, מוגדרת הדיסקרימיננטה של הרחבה של שדות. יש דיסקרימיננטה גם לתבניות ריבועיות, לעקומים אליפטיים, לאינוולוציה של אלגברות פשוטות, ועוד.

דיסקרימיננטה של פולינום

כל פולינום $\ f(x)$ בעל מקדמים בשדה F אפשר לפצל בשדה מתאים, לפעמים גדול יותר (לדוגמה, לפולינום רציונלי או ממשי כל הפתרונות נמצאים בשדה המספרים המרוכבים). אם הפולינום מתוקן ממעלה n, מגדירים את הדיסקרימיננטה שלו להיות המכפלה

$\ \Delta (f)=\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}=(-1)^{n \choose 2}\prod _{i\neq j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})$,

כאשר $\ \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ הם שורשי הפולינום. אם המקדם המוביל של הפולינום הוא $\ a$, יש להכפיל את התוצאה ב- $\ a^{2(n-1)}$. בפרט, הדיסקרימיננטה שווה לאפס אם ורק אם יש לפולינום שורשים חוזרים.

מכיוון שהחלפת סדר השורשים אינה משנה את $\ \Delta (f)$, נובע מן המשפט היסודי של תורת גלואה ש- $\ \Delta (f)\in F$. זו הסיבה לכך שקיימת נוסחה פולינומית לחישוב הדיסקרימיננטה מתוך המקדמים של הפולינום. כאשר חושבים על חבורת גלואה כתת-חבורה של חבורת התמורות של השורשים, מתברר ש- $\ {\sqrt {\Delta (f)}}\in F$ אם ורק אם חבורת גלואה מוכלת בחבורת התמורות הזוגיות.

כאשר f הוא פולינום שמקדמיו שייכים לחוג נתון (כגון, המספרים השלמים), הדיסקרימיננטה שלו שייכת לאידיאל הנוצר על ידי f והנגזרת שלו, $\ f'$ (ראו גם: רזולטנט).

דיסקרימיננטה של פולינום ריבועי

משוואה ריבועית מהצורה $\ ax^{2}+bx+c=0$ (כאשר $\ a$ אינו אפס), מעל שדה סדור, ניתנת לפתרון באמצעות נוסחת השורשים. הדיסקרימיננטה שנוסחתה $\ \Delta =b^{2}-4ac$ מאפיינת את פתרונות המשוואה:

• הדיסקרימיננטה חיובית כשיש למשוואה שני פתרונות שונים,
• הדיסקרימיננטה שווה לאפס כשיש פתרון ממשי יחיד,
• הדיסקרימיננטה שלילית כשאין לפולינום פתרונות, אלא בשדה הרחבה. עבור פולינום ממשי, פירושו של דבר ששני הפתרונות הם מרוכבים וצמודים זה לזה.

דיסקרימיננטה של הרחבת שדות

נניח ש- $K\subseteq L$ היא הרחבת שדות ספרבילית בעלת ממד סופי. במקרה כזה מוגדרת העתקת העקבה, שהיא העתקה ליניארית $\ Tr_{L/K}:L\rightarrow K$. העקבה מאפשרת להגדיר תבנית ביליניארית סימטרית $\ L\times L\to K$ הנקראת תבנית העקבה: $\left({\alpha ,\beta }\right)\mapsto Tr_{L/K}\left({\alpha \beta }\right)$.

אם בוחרים בסיס $\ \beta _{1},....,\beta _{m}$ ל- L כמרחב וקטורי מעל K, אפשר להציג את התבנית במטריצה על פי בסיס זה; הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת, $\ D\left({\beta _{1},....,\beta _{m}}\right)=\det \left({Tr_{B/A}\left({\beta _{i}\beta _{j}}\right)}\right)$, היא הדיסקרימיננטה של הבסיס $\ \beta _{1},....,\beta _{m}$. החלפת בסיס תכפיל את המטריצה בריבוע הדטרמיננטה של מטריצת המעבר. על-פי ההגדרה, הדיסקרימיננטה של ההרחבה $\ L/K$ היא הדיסקרימיננטה של בסיס כלשהו של ההרחבה, עד כדי כפל בריבוע של איבר של החבורה הכפלית $\ L^{\times }$. זהו, אם-כך, איבר של חבורת המנה $\ L^{\times }/(L^{\times })^{2}$. במצבים עדינים יותר מגדירים את הדיסקרימיננטה של חוג השלמים $\ {\mathcal {O}}_{K}$ של שדה מספרים K מעל חוג המספרים השלמים $\ \mathbb {Z}$, במקום את זו של השדה K עצמו מעל הרציונליים. ההגדרה זהה לזו של שדות, אלא שבוחרים את $\ \beta _{1},....,\beta _{m}$ להיות בסיס של $\ {\mathcal {O}}_{K}$ כמודול מעל $\ \mathbb {Z}$.

אם ההרחבה L/K היא הרחבת גלואה, אז מספר האוטומורפיזמים של L מעל K שווה לממד ההרחבה, m, ואפשר לסמן אותם באותיות $\ \sigma _{1},\dots ,\sigma _{m}$. הדיסקרימיננטה של בסיס $\ \beta _{1},....,\beta _{m}$ של L מעל K שווה לריבוע הדטרמיננטה $\ (\det(\sigma _{i}(\beta _{j})))^{2}$.

אם $\ F\subseteq K\subseteq L$ שרשרת של הרחבות, עם בסיס $\ \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ להרחבה K/F ובסיס $\ \beta _{1},\dots ,\beta _{m}$ להרחבה L/K, אז אוסף המכפלות $\ \alpha _{i}\beta _{j}$ מהווה בסיס להרחבה L/F. את הדיסקרימיננטה של בסיס זה אפשר לחשב לפי הנוסחה $\ \operatorname {disc} (\alpha _{i}\beta _{j})=\operatorname {disc} (\alpha _{i})^{[L:K]}N_{K/F}(\operatorname {disc} (\beta _{j}))$, כאשר $\ N_{K/F}$ היא הנורמה בהרחבה K/F.

אותה הגדרה תקפה גם כאשר מחליפים את הרחבת השדות $\ K\subseteq L$ בהרחבה של תת-חוגים $\ A\subseteq B$ של השדות המתאימים, אם מניחים ש-B הוא מודול חופשי מדרגה m מעל A. אם $\ B=\sum A\beta ^{i}$, אז הדיסקרימיננטה של ההרחבה שווה לזו של הפולינום המינימלי של $\ \beta$ מעל (שדה השברים של) A.

הדיסקרימיננטה (ובעיקר זו של בסיסים שלמים) היא כלי טכני מרכזי בחקירת הרחבות של שדות מספרים. ממשפט מינקובסקי נובע שיש רק מספר סופי של הרחבות ממימד קבוע עם דיסקרימיננטה נתונה. ב-1925 שיער אמיל ארטין שאפשר יהיה להוכיח, באמצעות תורת שדות המחלקה, שהדיסקרימיננטה מפרידה בין הרחבות: אם לשתי הרחבות של שדות מספרים יש אותן חתימות, חבורת גלואה ודיסקרימיננטה, אז הן, כביכול, איזומורפיות זו לזו. בשנת 1930 הראו A. Scholz ואולגה טוד-טאוסקי שיש ארבע הרחבות שונות ממימד 3 של הרציונליים (כולן ציקליות ולא ממשיות), עם דיסקרימיננטה 3299-; מאז התגלו דוגמאות רבות אחרות.

קישורים חיצוניים

• דיסקרימיננטה, באתר MathWorld (באנגלית)
• דיסקרימיננטה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)