החבורה הליניארית הכללית

בתורת החבורות, החבורה הלינארית הכללית ממעלה $\ n$ מעל השדה $\ F$, היא אוסף המטריצות ההפיכות בעלות $\ n$ שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה $\ F$, ביחס לפעולת הכפל של מטריצות. זוהי חבורה שהאיבר הנייטרלי שלה הוא מטריצת היחידה. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. תת חבורה של החבורה הלינארית הכללית נקראת חבורה לינארית או בפשטות חבורת מטריצות. שיכון של חבורה מסוימת בתוך החבורה הלינארית הכללית נקרא הצגה לינארית של החבורה.

את החבורה הלינארית הכללית ניתן להגדיר באופן שקול כאוסף ההעתקות הלינאריות ההפיכות מעל מרחב וקטורי $\ V$ מממד $\ n$ מעל השדה $\ F$ היות שכל המרחבים הווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כחבורת האוטומורפיזמים של $\ V$ בקטגוריה של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל $\ \mathbf {GL} _{n}(F)$ או $\ \mathbf {GL} (n,F)$, וכאשר משתמשים בהגדרה השנייה - $\ \mathbf {GL} (V)$.

המאפיינים האלגבריים של אלגברת המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כגון קיום הדטרמיננטה, מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, $\ \mathbf {SL} _{n}(F)$, היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. $\ \mathbf {SL} _{n}(F)$ היא תת חבורת הקומוטטורים של $\ \mathbf {GL} _{n}(F)$, והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן $\ n=2$ והשדה $\ F$ הוא בגודל 2 או 3.

החבורה הלינארית הכללית אינה אבלית, כל עוד $\ n$ איננו 1. כאשר $\ n=1$, החבורה הלינארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה $\ F$.

כאשר השדה $\ F$ מעליו החבורה מוגדרת הוא שדה המספרים הממשיים או המרוכבים $\ \mathbf {GL} (n,F)$ היא חבורת לי מממד $\ n^{2}$. כאשר השדה $\ F$ מעליו החבורה מוגדרת הוא שדה סגור אלגברית אזי $\ \mathbf {GL} (n,F)$ היא חבורה אלגברית (חבורה שהיא גם יריעה אלגברית).