ספין (פיזיקה)

הספין ומגליו מונצחים על קיר בית בליידן

במכניקת הקוונטים, ספין (מאנגלית: spin, סחרור; בעברית: סחריר), הוא דרגת חופש פנימית של חלקיקים: כדי לתאר באופן שלם את מצבו הפיזיקלי של חלקיק, יש צורך (בנוסף על תכונות פיזיקליות מוכרות, כמו מיקום, מהירות או מטען) במידע על תכונה נוספת, שהיא הספין. התכונות המגנטיות של חלקיק טעון בעל ספין דומות לתכונות של חלקיק טעון מסתובב (כלומר, עם תנע זוויתי סביב מרכזו), ומכאן שמו של הספין. עם זאת, משיקולים יחסותיים ניתן להוכיח כי לא ייתכן שחלקיק יסתובב במהירות גדולה מספיק כדי ליצור ספין בגדלים הנמדדים בניסויים.

הספין האלקטרוני מסומן לרוב באות s כאשר מדובר באלקטרון בודד, ב-S כאשר מדובר במספר אלקטרונים וב-Σ כאשר מדובר במולקולה.

קוונטיזציה

עבור התנע הזוויתי האורביטלי ("הרגיל"), הפתרון של משוואות הערכים העצמיים נותן שני מספרים מאפיינים למצב ספציפי של התנע הזוויתי של חלקיק (מספרים קוונטיים טובים): $\ell$, המתאר את גודלו של התנע הזוויתי; ו־m, המתאר את ההיטל של התנע הזוויתי על ציר z. בדומה לכך, למצב ספציפי של הספין של חלקיק יש שני מספרים קוונטיים טובים:

1. ספין או מספר קוונטי ספיני עיקרי $\left(s\right)$ - מבטא את גודלו של הספין. ערכו הוא מספר אי שלילי שלם או חצי שלם (כלומר: $s\in \left\{0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},\cdots \right\}$), והוא מאפיין של החלקיק שאינו משתנה. בהקשר זה אומרים שלחלקיק יש ספין s. למשל: לאלקטרון יש ספין חצי.
2. מספר קוונטי ספיני שניוני $\left(m_{s}\right)$ - מבטא את ההיטל של הספין על ציר z. הוא יכול לקבל אחד מתוך 2s+1 ערכים: $m_{s}\in \{-s,(-s+1),\cdots ,(s-1),s\}$. המספר m_s ממלא תפקיד חשוב באינטראקציות של הספין עם שדות מגנטיים.

בעוד התנע הזוויתי המסילתי מוגבל למספרים שלמים, הספין יכול להיות גם מספר חצי שלם. משפט סטטיסטיקות הספין מבחין בין התנהגות סטטיסטית של חלקיקים עם ספין שלם, בוזונים, וחלקיקים עם ספין חצי-שלם, פרמיונים: למשל, האלקטרון, הפרוטון והנייטרון, הם פרמיונים, עם ספין חצי; הפוטון הוא בוזון, עם ספין 1. קיימים בוזונים נוספים, כמו בוזון היגס, שיש להם ספין 0.

לספין יש תכונה לא אינטואיטיבית בהקשר של סיבובים מרחביים: במכניקה קלאסית הפעלת סיבוב של 360 מעלות תחזיר את האובייקט למצבו ההתחלתי. לעומת זאת, סיבוב כזה לחלקיקים מסוגים מסוימים יהפוך את סימנו של m_s.

תצפיות

בניסוי שטרן-גרלך אלומת חלקיקים לא מקוטבים (בעלי ספין ממוצע 0) עוברת דרך שדה מגנטי הגורם לפיצול מרחבי שלהם בכיוונים שונים

כאמור, ערכו של הספין יכול להיות רק אחד מקבוצה של ערכים בדידים. ראיה מכרעת לעובדה זו היא ניסוי שטרן-גרלך: בניסוי זה, החלקיקים הפגינו מומנט מגנטי שמתאים רק לערכי תנע זוויתי שהם $\pm {\frac {\hbar }{2}}=\pm {\frac {h}{4\pi }}$.

המבנה הדק והמבנה העל־דק הן תופעות ספקטרוסקופיות בהן מעברי אלקטרונים באטום בין רמות האנרגיה מוסטות מערכן הראשי בגלל אינטראקציות שונות, ביניהן אינטראקציה עם התנע הזוויתי המסילתי (או: "האורביטלי"; תנועת האלקטרון סביב גרעין האטום) ואינטראקציה בין ספין האלקטרון וספין הגרעין.

תכונת הספין אחראית לתכונות רבות של החומר: הספין אחראי על הקשרים הקוולנטים, הספין והכוח האלקטרומגנטי מקנים ליהלום את קשיותו, את החומציות לחומצה, את הבסיסיות לבסיס, את המוליכות התרמית והחשמלית למתכות ואפילו את הצבע של החומר.

היסטוריה

וולפגנג פאולי ונילס בוהר בוחנים סביבון מתהפך. ספין קוונטי אינו אנלוגי לסביבון.

וולפגנג פאולי היה, ככל הנראה, הפיזיקאי המשפיע ביותר על תאוריית הספין. הספין נתגלה לראשונה בהקשר של ספקטרום הפליטה של מתכות אלקליות. בשנת 1924 פאולי הציג את מה שהוא כינה "דרגת חופש קוונטית דו־ערכית" הקשור לאלקטרון בקליפה הרחוקה ביותר מגרעין האטום (קליפת הערכיות). דבר זה סייע לנסח את עקרון האיסור של פאולי, לפיו שני פרמיונים באטום נתון לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי.

הפירוש הפיזיקלי של אותה דרגת חופש לא היה ידוע בהתחלה. ראלף קרוניג, אחד מעוזריו של אלפרד לאנדה, הציע בתחילת 1925 כי הסיבה לכך נעוצה בסיבוב העצמי של האלקטרון. כאשר פאולי שמע על הרעיון, הוא תקף אותו בחומרה, וציין שפני השטח ההיפותטיים של האלקטרון יהיו צריכים לנוע מהר יותר ממהירות האור כדי להסתובב במהירות היכולה ליצור את התנע הזוויתי, דבר שיכול לסתור את תורת היחסות. קרוניג החליט לבסוף, שלא לפרסם את הרעיון, בעיקר בשל ביקורתו של פאולי.

בסתיו אותה שנה, עלה רעיון דומה אצל שני פיזיקאים הולנדיים צעירים, ג'ורג' אולנבק וסמואל חאודסמיט. תחת עצתו של פאול ארנפסט, הם החליטו לפרסם את תוצאותיהם. הרעיון זכה לתגובות חיוביות, בעיקר לאחר שלוולין תומאס (Llewellyn Hilleth Thomas) הצליח ליישב את קיומו של פער של פי שניים, בין התוצאות שהתקבלו בניסוי לבין חישוביהם התאורטיים של אולנבק וחאודסמיט (ושל קרוניג, שלא פורסמו).

על-אף התנגדותו הראשונית לרעיון, פאולי ניסח את התאוריה של הספין בשנת 1927, בעזרת התאוריה המודרנית של מכניקת הקוונטים שנהגתה על ידי ארווין שרדינגר וורנר הייזנברג. התאוריה של פאולי בנוגע לספין לא הייתה יחסותית. למרות זאת, בשנת 1928, פול דיראק פרסם את משוואת דיראק, שתיארה את האלקטרון היחסותי. במשוואת דיראק, נעשה שימוש בספינור המורכב מארבעה איברים (הידוע בתור "ספינור דיראק") בפונקציית הגל של האלקטרון.

בשנת 1940 פאולי הוכיח את "משפט הספין-סטטיסטיקה", הקובע כי לפרמיונים יש ספין חצי-שלם ולבוזונים יש ספין שלם. לספין אין אנלוגיה במכניקה קלאסית: שלא כמו עצמים "מסתובבים" רגילים בהם מוגדר התנע הזוויתי מפיזור החומר וסיבובו סביב ציר, "תנע זוויתי ספיני" אינו קשור למסה מסתובבת.

שימושים

דימות תהודה מגנטית - חתך במישור החיצי, המראה שבתמונה נוצר מהבדלים בזמני הסיבוב של ספינים של חומרים שונים.

• מגנטים קבועים (כניגוד לאלקטרומגנטים) מתקיימים הודות לסידור פנימי אחיד של הספינים בתוך החומר.
• שימוש נפוץ בספין הוא במכשיר ה-MRI, שם מושרה סיבוב של הספינים בדגימה אותו ניתן למדוד ולהבחין בין חומרים שונים שלהם קצבי סיבוב שונים, כך ניתן לבצע דימות רפואי לא הרסני.
• שימוש בספינים להתקנים אלקטרוניים מכונה ספינטרוניקה.
• רכיבים בסיסים במחשוב קוונטי משתמשים בספין, על ידי מניפולציות על ספינים של אטומים, של יונים או על קיטוב של פוטונים.

הגדרת אופרטור הספין

במכניקת הקוונטים, כל גודל מדיד מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי. כיוון שהספין הוא גודל וקטורי, מדידה שלו דורשת מדידה של שלשת רכיבים, ולכן הוא מוגדר על ידי שלשת אופרטורים ${\vec {S}}=\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)$ (ההיטלים של הספין על שלושה צירים מאונכים זה לזה). בנוסף, מקובל להגדיר בעזרת שלשה זו את האופרטור $S^{2}={\vec {S}}\cdot {\vec {S}}=S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2}$.

יחסי החילוף בין רכיבי הספין נתונים (בעזרת סימן לוי-צ'יוויטה, ε_ijk):

$[S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}$

(הם היוצרים של אלגברת לי $SO(3)$), ומהם נובע גם יחס החילוף:

$\left[S_{i},S^{2}\right]=0$

כאשר יש להמילטוניאן סימטריה לסיבובים, נהוג ללכסן אותו עם המצבים העצמיים של $S^{2}$ ושל $S_{z}$, ומתקיימות משוואות הערכים העצמיים הבאות:

• $S^{2}\,|\psi \rangle =\hbar ^{2}\,s\,(s+1)\,|\psi \rangle$
• $S_{z}\,|\psi \rangle =\hbar \,m_{s}\,|\psi \rangle$

משוואות אלו זהות (עד כדי החלפת L ב-S) למשוואות הערכים העצמיים של אופרטורי התנע הזוויתי המסילתי, ולכן גם במקרה זה מתקבלים שני מספרים קוונטיים טובים לבסיס המצבים העצמיים, כמתואר לעיל:

• s, שהוא מספר אי שלילי שלם או חצי שלם.
• m_s, שיכול להיות אחד מהערכים $-s,(-s+1),\cdots ,(s-1),s$

לאור זאת, הסימון המקובל למצבי הבסיס הוא $|s,m_{s}\rangle$.

תיאור מתמטי של ספין חצי

המקרה הפשוט ביותר של ספין שאינו טריוויאלי הוא חלקיק עם ספין חצי, $s={\frac {1}{2}}$. מרחב הילברט של מצבי החלקיק הוא מממד 2. מכך נובע ישירות שניתן להציג אותו כוקטור ב-$\mathbb {C} ^{2}$. לכן מערכת הספין היא מערכת שני מצבים.

בסיס המצבים העצמיים המקובל (על פי $S_{z}$), הוא זוג המצבים המכונים "מעלה" ו"מטה":

• ספין "מעלה" ($\left|\uparrow \right\rangle$) מתאים לערך 12=‎m_s, כלומר: $S_{z}\left|\uparrow \right\rangle =+{\frac {\hbar }{2}}\left|\uparrow \right\rangle$, והוא מיוצג כוקטור ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$.
• ספין "מטה" ($\left|\downarrow \right\rangle$) מתאים לערך 12-=‎m_s, כלומר: $S_{z}\left|\downarrow \right\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}\left|\downarrow \right\rangle$, והוא מיוצג כוקטור ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

בהתאם להצגה של מצבי ספין חצי כווקטורים מממד 2, ניתן להציג גם את אופרטורי הספין במכניקת הקוונטים כמטריצות: כאמור, $S_{z}$ מקיים:

$S_{z}\,|\psi \rangle =\hbar \,m_{s}\,|\psi \rangle$,

אופרטורי הסולם $S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}$, מקיימים:

$S_{\pm }\left|s,\,m\right\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m\pm 1)}}\left|s,\,m\pm 1\right\rangle$,

ומתוך כך מתקבלות מטריצות מתכונתיות למטריצות פאולי:

$S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{1}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad \quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{2}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\quad \quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

לכן,

${\vec {S}}={\frac {\hbar }{2}}{\vec {\sigma }}={\frac {\hbar }{2}}\left(\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\right)$

מדידת ספין של חלקיק תלויה בכיוון שבו מתבצעת המדידה: אם חלקיק נמצא במצב ספין מוגדר באחד הכיוונים, בכל שאר הכיוונים מצב הספין איננו מוגדר ונמצא בסופרפוזיציה קוונטית של שני המצבים העצמיים של המדידה.

אותו רעיון מתקבל גם מהתיאור הפורמלי של הספין: אופרטור מדידת הספין בכיוון מסוים, המוגדר על ידי וקטור יחידה ${\hat {n}}$, הוא ${\vec {S}}\cdot {\hat {n}}$. לדוגמה, במקרה שבו מעוניינים למדוד את הספין בכיוון ציר x, האופרטור שמייצג את המדידה הוא ${\vec {S}}\cdot {\hat {x}}=S_{x}$. לכסון של האופרטור נותן שני מצבים עצמיים:

$\left|\rightarrow \right\rangle _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle +\left|\downarrow \right\rangle \right)={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

$\left|\leftarrow \right\rangle _{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle -\left|\downarrow \right\rangle \right)={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

ומכאן נובע שאם ניקח חלקיק שנמדד לא מזמן בכיוון z, ונמדוד אותו בכיוון x, יש סיכוי שווה למצוא אותו פונה לימין או לשמאל.

ניתן לתאר כל חלקיק בעל ספין חצי על ידי ספינורים, בעזרת מקדמיים כלליים $\alpha ,\beta$ המשמשים לתיאור מצב קוונטי בבסיס המתאים:

$\left|\psi _{spin}\right\rangle =\alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle$

הכללה לספינים מממד גבוה יותר

מטריצות פאולי מתאימות לתיאור אופרטורי ספין חצי, שהבסיס שלו הוא מממד 2. עבור ספין גדול יותר, יש צורך במטריצות שמסוגלות לפעול על בסיס מממד 2s+1: כמו במקרה של ספין חצי, ניתן למצוא את המטריצה המייצגת את האופרטור $S_{z}$ ישירות מתוך משוואת הערכים העצמיים שלו. כדי למצוא את האופרטורים האחרים צריך לייצג בצורה מטריציונית את אופרטורי הסולם, מתוך המשוואות המגדירות את פעולתם על המצבים העצמיים של S_z, ולהשתמש בעובדה שמתקיים:

$$S_{x}={\frac {S_{+}+S_{-}}{2}}\quad \quad S_{y}={\frac {S_{+}-S_{-}}{2i}}$$

למשל, עבור s=1, מתקבל:

$S_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\quad \quad S_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\quad \quad S_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

ראו גם

• פיזיקת חלקיקים
• מיון החלקיקים
• דימות תהודה מגנטית
• תהודה מגנטית גרעינית
• תנע זוויתי במכניקת הקוונטים

לקריאה נוספת

• Richard Feynmann, Leighton, Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley 1970, 3 vols., paperback edition, ISBN 0201021153; hardcover, commemorative issue, 1989, ISBN 0201500647
• Sakurai, J.J. (1994). Tuan, San Fu (ed.). Modern Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0201539292..

קישורים חיצוניים

• science/spin-mechanics, science/electron-spin ספין, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• "על ספינטרוניקה, בגיליון יוני 2002 של סיינטיפיק אמריקן
• על גילוי הספין האלקטרוני – תרגום לאנגלית הרצאה שהעניק סמואל חאודסמיט בשנת 1971
• "חשיבות ספין פרוטון המימן בסריקת ה-MRI" בפורטל ה-MRI הישראלי
• Nature: "Nature Milestones in Spin", מתוך Nature Physics – סדרת מאמרים על אבני-דרך בחקר הספין משנת 1896
• ECE 495N הרצאה 36: ספין הרצאה מקוונת על ספין.