משוואה דיפרנציאלית רגילה

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה, כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ונגזרותיה. משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה הפונקציה היא פונקציה של משתנה יחיד, בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות.

למשוואות דיפרנציאליות יש חשיבות רבה בכל תחומי המדע - מפיזיקה וכימיה, דרך מטאורולוגיה, ועד כלכלה. הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, מיקום או מהירות של חלקיק, טמפרטורה של נקודות שונות במרחב, ביקוש והיצע של מוצרים, וכן הלאה. משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן צצות ועולות בכל תחום מדעי שבו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.

ניתן להפריד בין סוגים שונים של משוואות על פי הסדר שלהן. סדר של משוואה דיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת שמופיעה בה. כמו כן, ניתן להבדיל בין משוואה דיפרנציאלית יחידה ובין מערכת של מספר משוואות דיפרנציאליות, שבהן מחפשים יותר מפונקציה אחת. ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר $\ n$ ניתנת להצגה כמערכת של $\ n$ משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.

משוואות מסדר ראשון

באופן כללי, משוואה מסדר ראשון מתוארת על ידי הפונקציה $\ F\left(y,y',x\right)=0$. אנו מחפשים פונקציה $\ y(x)$ כך שכאשר נציב אותה בפונקציה $\ F$ נקבל 0.

לדוגמה, אם $\ F(y,y',x)=y'-2y$ המשוואה המתוארת על ידי הפונקציה היא $\ y'-2y=0$, והפתרון הכללי של המשוואה הוא $\ Ae^{2x}$, שכן $\ (Ae^{2x})'=2Ae^{2x}$, ולכן אם נציב נקבל $\ 2Ae^{2x}-2Ae^{2x}=0$, כמבוקש.

קיימים מספר סוגים של משוואות שיש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. עם זאת, פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וגם לא בהכרח קשה לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.

על פי רוב, למשוואה דיפרנציאלית לא קיים פתרון אחד אלא אוסף של פתרונות. לכן נהוג לספק תנאי התחלה שיצביע על הפתרון הפרטי המבוקש. עבור משוואות מסדר ראשון קיים משפט קיום ויחידות המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.

משוואות לינאריות מסדר ראשון

משוואה לינארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה $\ y'+h(x)y+g(x)=0$. כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל $\ \ln(y)$). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של $\ x$ ופונקציה נוספת של $\ x$ היא "גורם חופשי" של המשוואה.

משוואות לינאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן ישירה.

אם $\ g(x)\equiv 0$, כלומר המשוואה היא מהצורה $\ y'+h(x)y=0$, המשוואה נקראת "משוואה לינארית הומוגנית". יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות.

גידול ודעיכה מעריכית

מקרה פרטי של משוואה לינארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: $\ y'+by=c$, כאשר b ו-c קבועים. פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): $\ y = ke^{-bt} + c/b$, כאשר k קבוע כלשהו. זוהי דעיכה מעריכית לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע.

דוגמה לתופעה המתוארת כך היא בעיה הנקראת בעיית הצנחן: צנחן בעל מסה m צונח (ללא קפיצה, כלומר במהירות התחלתית 0) מגובה רב מעל פני הקרקע. הכוחות הפועלים עליו הם כוח הכבידה (שהוא קבוע) והחיכוך עם האוויר, שגודלו מתכונתי למהירות הרגעית של הצנחן. מהירות הצנחן כפונקציה של הזמן מקיימת את המשוואה: $\ mv' + bv = mg$, כאשר g תאוצת הכובד ו-b מקדם החיכוך עם האוויר. פתרון המשוואה הוא: $v = \frac{mg}{b} (1-e^{-bt/m})$. התאוצה של הצנחן היא דעיכה אקספוננציאלית: $\ a=v'=g e^{-bt/m}$.

גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו. משוואות לוטקה-וולטרה, למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות בביולוגיה. במעגלים חשמליים כמו מעגל RC או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו מתח חשמלי. ריכוז המגיבים בתגובה כימית מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות רדיואקטיבית וכמו כן הטמפרטורה של גוף חם בסביבה קרה גם הם גדלים או דועכים באופן מעריכי.

משוואות ספרביליות (ניתנות להפרדה)

ערך מורחב – הפרדת משתנים

משוואה דיפרנציאלית נקראת ספרבילית אם היא מהצורה $\ y'-M(x)/N(y)=0$ או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה $\ x$ והמשתנה $\ y$. דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא $\ M(x)dx=N(y)dy$, כלומר, "מפרקים" את הנגזרת $\ y'=\frac{dy}{dx}$ למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד.

פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה $\ M(x)dx=N(y)dy$ וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: $\ \int_{x_0}^x M(x)dx=\int_{y_0}^y N(y)dy$, כאשר $\ y_0=y(x_0)$ הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).

משוואות מדויקות וגורמי אינטגרציה

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת מדויקת אם היא מהצורה $\ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ כך שמתקיים $\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$.

כדי לפתור משוואה מדויקת, מחפשים פונקציה $\ \psi(x,y)$ אשר תקיים $\ \frac{\partial \psi}{\partial x}=M,\frac{\partial \psi}{\partial y}=N$. אם נמצאה פונקציה כזו, הפתרון של המשוואה נתון על ידי $\ d \psi(x,y)=0$, או $\ \psi (x,y)=\mbox{const}$.

אם משוואה איננה מדויקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדויקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי. פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדויקת נקראת גורם אינטגרציה.

בהינתן $y'+p(x)y=r(x)$ כאשר y הוא הפונקציה הנעלמת נרצה לכפול את השוויון בגורם אינטגרציה - פונקציה $\mu (x)$ כך שבאגף שמאל יהיה $(\mu (x) y)'$. על פי נגזרת של מכפלה ברצונינו שיהיה באגף שמאל $(\mu (x) y)'=\mu(x) y' +\mu '(x) y$ ועל זה להיות שווה ל: $\mu (x) y'+\mu (x)p(x)y$ מכאן נובע שצריך להתקיים התנאי: $\frac{\mu '(x)}{\mu(x)}=p(x)$ ניעזר בזהות $\frac{\mu '(x)}{\mu(x)}=(ln \mu (x))'$ ונגיע לכך שערך אפשרי $\mu (x)$ הוא $e^{\int p(x) dx}$ מכאן על ידי אינטגרציה פשוטה של שני האגפים נקבל את הפתרון. דוגמה: נפתור את המשוואה $y'+y=1$ נכפול בגורם האינטגרציה $e^{\int 1 dx}=e^x$ ונקבל $(e^x y)'=e^x$ ומכאן $e^x \cdot y=e^x+c$ ולכן $y=\frac{e^x+c}{e^{x}}=1+ce^{-x}$

משוואות הומוגניות

משוואה דיפרנציאלית הומוגנית היא משוואה מהצורה $\ y'+f(x,y)=0$ כאשר מתקיים $\ f(x,y)=f(tx,ty)$ לכל $\ t\in\mathbb{R}$. ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה $\ z=\frac{y}{x}$.

משוואת ברנולי

משוואה דיפרנציאלית מהצורה $\ y'+p(x)y=q(x)y^n$ נקראת משוואת ברנולי (על שם המתמטיקאי יאקוב ברנולי). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה $\ z=y^{1-n}$, שממנה מקבלים את המשוואה הלינארית $\ z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$.

משוואות מסדר שני

באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה $\ F\left(y,y',y'',x\right)=0$. משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות לינאריות מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה לינארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.

משוואות לינאריות הומוגניות מסדר שני

משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה $\ y''+p(x)y'+q(x)y=0$. סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו גם הוא פתרון, ועל כן הפתרונות מהווים מרחב וקטורי, לכן ניתן למצוא בסיס למרחב זה, כלומר שני פתרונות פרטיים בלתי תלויים של המשוואה כך שכל פתרון של המשוואה יכול להיכתב כצירוף לינארי שלהם.

תנאי הכרחי ומספיק לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת ורונסקיאן.

קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו. על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית לינארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעתים).

כאשר הפונקציות $\ p(x),q(x)$ הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה $\ y''+ay'+by$, קיימים פתרונות למשוואה מהצורה $\ e^{\lambda x}$, כאשר $\ \lambda$ הוא שורש של הפולינום $\ x^2+ax+b$ (פולינום זה מכונה הפולינום האופייני של המשוואה). אם יש שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, $\ xe^{\lambda x}$ הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם מספרים מרוכבים, ניתן על ידי חיבורם או חיסורם וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם $\ \lambda\pm i\mu$ הם השורשים, מקבלים את הפתרונות $\ e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)$.

קישורים חיצוניים

• משוואה דיפרנציאלית רגילה, באתר MathWorld (באנגלית)
• הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות, במיזם UnderWarrior
• משוואות דיפרנציאליות רגילות - סיכום הקורס בטכניון, הפתק הסגול