שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

לחלק מהאינטגרלים הלא מסוימים ניתן למצוא פתרון אנליטי כללי, כלומר פתרון של האינטגרל מהצורה:  \int f \left( x \right) dx. בעזרת פתרון כזה ניתן לקבל (בעזרת המשפט היסודי) גם פתרון לאינטגרל מסוים.

להלן רשימה חלקית של שיטות לביצוע תהליך האינטגרציה:

פונקציות אלמנטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפונקציות שהן חזקות של X, פונקציות טריגונומטריות רגילות והופכיות, פונקציית אקספוננט, לוגריתם, פונקציות היפרבוליות רגילות והפוכות וכיוצא באלו יש נגזרות אנליטיות. מכיוון שאם מתקיים \ F'(x)=f(x) אזי \ F(x)+C הוא האינטגרל הלא מסוים של \ f(x) ניתן לקבל מנגזרות אלו נוסחאות מיידיות לאינטגרציה.

דוגמאות לכך הן:

 ( x^n )^\prime = nx^{n-1} \Rarr \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C,   n \neq -1
\sin' (x)=\cos(x) \Rarr \int \cos(x)\, dx = \sin(x) + C
\ln' (x)=\frac{1}{x} \Rarr \int \frac{1}{x} \,dx = \ln (x) + C
 (a^x)^\prime =\ln a \cdot a^x \Rarr \int a^x\, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

תכונת הלינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם f ו־g הן אינטגרביליות בקטע I ו-\alpha \ , \ \beta קבועים אזי מתקיים:

\int \left[ \alpha f(x)+ \beta g(x) \right]\, dx = \alpha \int f(x)\, dx + \beta \int g(x)\, dx


לדוגמה:

\int \left[ \frac{8}{\sin^2 (x)}+3 \cdot 8^x \right]\, dx = 8\int \frac{1}{\sin^2 (x)} dx + 3 \int 8^x dx = -8 \cot(x) + 3 \frac{8^x}{\ln 8} + C

אפשר להכליל את הנוסחה גם למספר גדול יותר של פונקציות ומקדמיהם.

אינטגרציה של פונקציות עם פרמטר לינארי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר ניתן לכתוב את הפונקציה בתוך האינטגרל בצורה \ f(ax+b) ומתקיים \ F'(x)=f(x) אזי ניתן להשתמש בנוסחה:

\int f \left( ax+b \right) dx = \frac{1}{a} F \left( ax+b \right) + C

אינטגרציה בחלקים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – אינטגרציה בחלקים

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות \ f,g, מתקיים:

\ \int f(x)\cdot g'(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,dx

דוגמה:

\int \ln \left( x \right) dx = \int 1 \cdot \ln \left( x \right) dx = x \cdot \ln \left( x \right) -\int 1 dx = x \cdot \ln \left( x \right) - x + C\

הצגה שונה של הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעתים ניתן להציג את הפונקציה שבתוך האינטגרל בצורה שונה, שניתן לבצע עליה אינטגרציה בצורה קלה יותר. דוגמאות לכך הן למשל:

\int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \left[ \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx \right] = \frac{1}{2} \left( \ln \left | x-1 \right| - \ln \left | x+1 \right| \right) + C=
 \frac{1}{2}\ln \left | \frac{x-1}{x+1} \right| + C
\begin{matrix} \int e^x \sin x dx  & = & \int e^x \cdot \operatorname{Im} e^{ix} dx & = &  \operatorname{Im} \int e^{x+ix} dx & = & \operatorname{Im} \left[ \frac{e^{x+ix}}{1+i} \right] & = & \operatorname{Im} \left[ \frac{(1-i)e^{x+ix}}{2} \right] = \\ & = & \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{2} + C\end{matrix}

פירוק לשברים חלקיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרלים מהצורה

\int \frac{1}{a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n}dx

אפשר לפתור על ידי פירוק הפולינום לשברים חלקיים.

לדוגמה:

\int \frac{1}{x(1-x)}dx

נרשום

\frac{1}{x(1-x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x}

ניקח מכנה משותף

\frac{ A(1-x) + Bx}{x(1-x)}

נפתח סוגריים

\frac{ A-Ax + Bx}{x(1-x)}

ונשווה את מקדמי המונה איבר-איבר:

 A = 1 , B-A = 0

שכן בביטוי המקורי לא מופיע x במונה. פתרון מערכת המשוואות הוא A=1 ו-B=1. בסך הכל:

\int \frac{1}{x(1-x)}dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} \right) dx = \ln|x| - \ln|1-x| + C

שיטת ההצבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצבה היא שיטה לפתרון אינטגרלים לא מסוימים על ידי פישוט זמני של הפונקציה. בעזרת "הצבה" זמנית נמיר את הפונקציה לפונקציה פשוטה יותר, שעבורה נמצא פונקציה קדומה. בסיומו של ההליך נבצע הצבה נוספת, כדי לחזור לצורה המקורית, ונקבל את משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית.

לאורך התהליך נהוג להחליף את האות המייצגת את משתנה האינטגרציה בכל הצבה, על מנת לזכור את ההצבות שבוצעו. בסוף התהליך, לאחר שחושבה פונקציה קדומה, ניתן להחליף את האותיות חזרה על מנת להשלים את הפעולה.

הצבה כאשר הנגזרת הפנימית מופיעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה הפשוט ביותר, ננסה לחשב אינטגרל בלתי מסוים מהצורה \int f \left( \varphi \left( x \right) \right) \cdot \varphi ' \left( x \right) dx. כדי לפשט את האינטגרל, "נציב" באופן זמני \begin{bmatrix} t = \varphi \left( x \right) \\ dt = \varphi ' \left( x \right) dx \end{bmatrix}, ונחשב את האינטגרל \int f \left( t \right) dt. לאחר שמצאנו קדומה כלשהי F, נרכיב עליה חזרה F \circ \varphi , ונקבל כי משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית היא F \left( \varphi \left( x \right) \right) + C.


דוגמה: נחשב את האינטגרל \int \frac{dx}{x \sqrt {1 - \ln ^2 x}} בעזרת הצבה t = \ln x:

\int \frac{dx}{x \sqrt {1 - \ln ^2 x}}=\begin{bmatrix} t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x}dx \end{bmatrix} = \int \frac {dt} {\sqrt {1-t^2}}= \sin ^{-1} t +C = \sin ^{-1} \left( \ln x \right) + C


נוכיח את נכונות השיטה בעזרת כלל השרשרת. הפונקציה F \left( x \right) היא קדומה של הפונקציה f \left( x \right), ולכן מתקיים F' \left( x \right) = f \left( x \right). נסתמך על כלל השרשרת, ונקבל כי -

\left[ F \left( \varphi \left( x \right) \right) \right] ' = f \left( \varphi \left( x \right) \right) \cdot \varphi ' \left( x \right)

כלומר, F \left( \varphi \left( x \right) \right) היא קדומה של f \left( \varphi \left( x \right) \right) \cdot \varphi ' \left( x \right), כפי שרצינו.


הצבה הפוכה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה הכללי, בהינתן אינטגרל \int f \left( x \right) dx נבצע "הצבה" \begin{bmatrix} x=\varphi \left( t \right) \\ dx = \varphi ' \left( t \right)dt \end{bmatrix}, ונחשב את האינטגרל \int f \left( \varphi \left( t \right) \right) \cdot \varphi ' \left( t \right) dt. לאחר שמצאנו קדומה כלשהי H, נרכיב עליה חזרה H \circ \varphi ^{-1}, ונקבל כי משפחת הקדומות של הפונקציה המקורית היא H \left( \varphi ^{-1} \left( x \right) \right) + C.


דוגמה: נחשב את האינטגרל \int \frac{dx}{\sqrt x \left(1+ \sqrt[3]{x} \right)} בעזרת הצבה x=t^6:

\int \frac{dx}{\sqrt x \left(1+ \sqrt[3]{x} \right)}= \begin{bmatrix} x = t^6 \\ dx=6t^5dt \end{bmatrix} = \int \frac {6 t^5 dt} {t^3 ( 1 + t^2 )}dt=6\int \left(1 - \frac{1}{1+t^2} \right)dt =

 = 6t -6 \tan ^{-1} t + C =_{t=\sqrt[6]{x}} 6\sqrt[6]{x} -6 \tan ^{-1} \sqrt[6]{x} + C


נוכיח את נכונות השיטה. הפונקציה H \left( x \right) היא קדומה של הפונקציה h \left( x \right) = f \left( \varphi \left( x \right) \right) \cdot \varphi ' \left( x \right), ולכן מתקיים H' \left( x \right) = h \left( x \right). כעת נוכל להסתמך על כלל השרשרת ועל נוסחת הגזירה של פונקציה הפוכה, ונקבל כי -

\left[ H \left( \varphi ^{-1} \left( x \right) \right) \right] ' = f \left( \varphi \left( \varphi ^{-1} \left( x \right) \right) \right) \cdot \varphi ' \left( \varphi ^{-1} \left( x \right) \right) \left[ \varphi ^{-1} \left( x \right) \right] ' =

= f \left( x \right) \cdot \frac {1} { \left[ \varphi ^{-1} \left( \varphi \left( \varphi ^{-1} \left( x \right) \right) \right) \right] '} \cdot \left[ \varphi ^{-1} \left( x \right) \right] ' = f \left( x \right) \cdot \frac {1} {\left[ \varphi ^{-1} \left( x \right) \right] '} \cdot \left[ \varphi ^{-1} \left( x \right) \right] ' = f \left( x \right)

כלומר, H \left( \varphi ^{-1} \left( x \right) \right) היא אכן קדומה של f כפי שרצינו.


אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצבות לפתרון אינטגרל מהצורה \int R \left[ \sin x , \cos x \right]\, dx, כאשר R פונקציה רציונלית (מנת פולינומים):

  • אם \ R \left[ -\sin x , \cos x \right]=-R \left[ \sin x , \cos x \right] מומלץ להציב \ u= \cos x
  • אם \ R \left[ \sin x ,- \cos x \right]=-R \left[ \sin x , \cos x \right] מומלץ להציב \ u= \sin x
  • אם \ R \left[ -\sin x , -\cos x \right]=R \left[ \sin x , \cos x \right] מומלץ להציב \ u= \tan x או \ u= \cot x

הצבה טריגונומטרית מקובלת נוספת היא מהסוג: \tan  {\frac{x}{2}} = t. ואז מתקיים:

\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}
\ \tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}
dx = 2\frac{dt}{1+t^2}

הצבה זו נקראת ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית והיא מתאימה לכל אינטגרל טריגונומטרי מהצורה לעיל. ברוב המקרים, אם ניתן להשתמש באחת מההצבות האחרות, היא תביא לפתרון מהיר יותר. דוגמה לשימוש בהצבה זו:

\int \frac {dx}{sinx} =\left[\begin{matrix} t\equiv  \tan \frac{x}{2} \\ dx=\frac{2}{1+t^2}dt \\ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\end{matrix}\right] = \int \frac{1+t^2}{2t} \cdot \frac {2} {1+t^2} dt= \int \frac {dt}{t} = \ln \left| t \right| + C =_{t= \tan \frac {x}{2}} \ln \left|\tan \frac {x}{2}\right| + C

הצבות לחיסול שורשים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרל מהצורה \int x^{b}\sqrt{a^2-x^2}\,dx כאשר b מספר אי-זוגי ניתן לפתור למשל באמצעות ההצבה: \ t^2={a^2-x^2}. כאשר b זוגי, ניתן לפתור את האינטגרל באמצעות ההצבות הבאות:

הצבות טריגונומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באינטגרלים שונים, נדרשת הצבה מסוג זה כדי לפשט את האינטגרל, ולהביא לפתירתו, אף על פי שהאינטגרל עלול לא להכיל אף פונקציה טריגונומטרית אחת.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור a\, קבוע חיובי ו- b\ge 0 שלם:

  • עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2-x^2}\,dx תתאים ההצבה: x=a\sin t \,
  • עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2}\,dx תתאים ההצבה: x=a\tan t \,
  • עבור \int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,dx תתאים ההצבה x=\frac{a}{\cos t} או x=\frac{a}{\sin t}

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

  • חצי העיגול העליון של מעגל היחידה:
\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \left[ \begin{matrix} x\equiv  \sin t \\ dx = \cos t dt \\ t = \arcsin x\end{matrix}\right] = \int \sqrt{1-\sin^2 t}\cdot \cos t\,dt = \int \cos t\sqrt{\cos^2 t},dt = \int \cos^2 t\,dt
הערה: בהמשך החישוב נעזר בשוויון \sqrt{\cos^2 t} = \cos t שהוא נכון עבור כל t\,, לכן לכל \cos t\, שנמצא לאחר ההצבה, נחליפו שוב ב- \sqrt{\cos^2 t}.


\int \cos^2 t\,dt = \frac{1}{2} \int (\cos 2t +1)\,dt = \frac{1}{4} \sin 2t + \frac{t}{2} = \frac{\sin t \cos t}{2} + \frac{t}{2} = \frac{\sin t \sqrt{\cos^2 t} + t}{2} = \frac{\sin t \sqrt{1-\sin^2 t} +t}{2}
לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:
\int \sqrt{1-x^2}\,dx  = \frac{x \sqrt{1-x^2} + \arcsin x}{2} + C

הצבות היפרבוליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדומה לאינטגרלים שהוזכרו קודם, קיימים אינטגרלים שהצבה מסוג היפרבולית תסייע לפתירתם.
האינטגרלים הבאים ודומים להם, יפתרו בצורה די מיידית עבור a\, קבוע חיובי ו- b\ge 0 שלם:

  • עבור \int x^{2b}\sqrt{a^2+x^2}\,dx תתאים ההצבה: x=a\sinh t \,
  • עבור \int x^{2b}\sqrt{x^2-a^2}\,dx תתאים ההצבה: x=a\cosh t \,

זאת בשל הנוסחה היסודית \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

דוגמאות לשימוש בשיטה זו:

חישוב אורך קשת של הפרבולה y = x^2\,:

\int \sqrt{1+{(x^2)'}^2}\,dx = \int \sqrt{1+{(2x)}^2}\,dx = \int \sqrt{1+4x^2}\,dx = \left[ \begin{matrix} x\equiv  \frac{1}{2}\sinh t \\ dx = \frac{1}{2}\cosh t dt \\ t = {\sinh}^{-1} {2x}\end{matrix}\right]
 = \int \sqrt{1+\sinh^2 t}\cdot \frac{1}{2}\cosh t\,dt = \frac{1}{2}\int \cosh t\sqrt{\cosh^2 t},dt = \frac{1}{2}\int \cosh^2 t\,dt
\frac{1}{2}\int \cosh^2 t\,dt = \frac{1}{4} \int (\cosh 2t +1)\,dt = \frac{1}{8} \sinh 2t + \frac{t}{4}
 = \frac{\sinh t \cosh t}{4} + \frac{t}{4} = \frac{\sinh t \sqrt{\cosh^2 t} + t}{4} = \frac{\sinh t \sqrt{1+\sinh^2 t} +t}{4}
לכן אם נחליף משתנים חזרה, נקבל:
\int \sqrt{1+4x^2}\,dx  = \frac{2x \sqrt{1+4x^2} + {\sinh}^{-1} ({2x})}{4} + C

הצבות אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור פונקציה רציונלית (מנה של שני פולינומים) ב- \ x ושורש ריבועי של פולינום ריבועי מסוים \ \sqrt{ax^2+bx+c}, ניתן לפעמים להשתמש בהצבות שפיתח לאונרד אוילר.

  • אם \ a>0, נציב \ \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm \sqrt{a} x + t (את סימן המקדם של \ x ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:


 ax^2 + bx + c = ax^2 \pm 2 \sqrt{a} xt + t^2 \quad ,
 (b \mp 2 \sqrt{a} t)x = t^2 - c \quad ,
 x = \frac{t^2 - c}{b \mp 2 \sqrt{a} t}

מגזירת הביטוי האחרון אפשר לקבל את הנגזרת \ dx/dt כפונקציה רציונלית של \ t בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב-\ t.

  • אם \ c>0, נציב \ \sqrt{ax^2+bx+c} = xt \pm \sqrt{c} (שוב, את הסימן ניתן לבחור שרירותית). הצבה זו תיתן:


ax^2 + bx + c = x^2 t^2 \pm 2 \sqrt{c} xt + c \quad ,
ax^2 + bx = x^2 t^2 \pm 2 \sqrt{c} x t \quad ,
(a-t^2) x = \pm 2 \sqrt{c} t - b \quad ,
x = \frac{\pm 2 \sqrt{c} t - b}{a-t^2}

שוב, מגזירת הביטוי האחרון אפשר לקבל את הנגזרת \ dx/dt כפונקציה רציונלית של \ t בלבד, ובכך נהפך האינטגרל לאינטגרל של פונקציה רציונלית ב-\ t.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]