בעיית מונטי הול

בעיית מונטי הול או בעיית "עשינו עסק" היא בעיה בתורת ההסתברות שפתרונה אינו אינטואיטיבי. הבעיה מכונה גם "הפרדוקס של מונטי הול".

הבעיה

לאחר שהשחקן בחר דלת, המנחה פותח אחת משתי הדלתות הנותרות ומאחוריה נמצאת עז

הבעיה קרויה על שם שעשועון הטלוויזיה האמריקאי המצליח "Let's Make a Deal " בהנחיית מונטי הול. בסוף התוכנית מציגים בפני השחקן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן מצוי פרס יקר ערך – מכונית – ומאחורי שתי הדלתות האחרות – עזים. השחקן מעדיף את המכונית, אבל הוא אינו יודע איזו דלת מסתירה אותה, ונאלץ לבחור באקראי. אם יבחר בדלת הנכונה, יזכה בפרס; אחרת, לא יקבל דבר.

הגרסה הראשונה

הגרסה הפשוטה של הבעיה מנוסחת כך:

לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות, נניח דלת מס' 1, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, פותח אחת משתי הדלתות האחרות, נניח דלת מס' 3, ומגלה מאחוריה עז. כעת מאפשרים לשחקן להחליט האם לדבוק בבחירה המקורית שלו, או לשנות את ההחלטה ולהעדיף במקומה את הדלת האחרונה שנותרה סגורה - דלת מס' 2.

בניתוח פשטני של הסיטואציה, אפשר לטעון נותרו שתי דלתות סגורות, שאחת מהן מסתירה את הפרס, ולשחקן אין מושג באיזו דלת מדובר. עבור כל אחת מהן הסיכוי שהפרס מאחוריה הוא 1/2, ולכן השחקן יכול לבחור באחת מהן לפי תחושת הבטן שלו, וההסתברות לקבל פרס תהיה זהה. מצד שני, אפשר לטעון שהעובדה שהמנחה הציע לשחקן להחליף את הדלת שבחר מגדילה את הסיכוי שמאחוריה נמצאת המכונית, כי המנחה לא רוצה שהשחקן יזכה במכונית, ולכן על השחקן לדבוק בבחירתו. מצד שלישי, אפשר לטעון שהמנחה דווקא רודף סנסציות וכיוון שהוא ראה שהשחקן בחר בדלת שמאחוריה עז הוא מציע לו להחליף אותה בדלת שמאחוריה מכונית, ולכן לשחקן עדיף לקבל את ההצעה. התשובה תלויה בהיכרותו של השחקן עם המנחה והערכתו לגבי רצונותיו. אם אין לו דרך להכריע בזה, הוא חוזר למסקנה שאין זה משנה מה הוא יבחר.

בניסוח זה של הבעיה, היא הופכת להיות סוגיה בפסיכולוגיה של מנחי טלוויזיה, ולא בהסתברות, ועל כן נתגלו אי-הסכמות בין מי שניסו לחשב מהי הבחירה שכדאי לשחקן לעשות.

הגרסה השנייה

נתבונן בניסוח מדוקדק יותר של הבעיה:

לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, מחויב על-פי כללי המשחק לפתוח אחת משתי הדלתות האחרות ולגלות מאחוריה עז. כעת, השחקן צריך להחליט האם להישאר עם אותה דלת, או להחליף אותה באחרת.

בניסוח הזה של הבעיה, אי אפשר לתלות את ההסתברות בפסיכולוגיה של המנחה, כי המנחה היה חייב לפתוח את אחת הדלתות ולגלות מאחוריה עז. במבט ראשון אפשר לחזור לטעון שהפתיחה של אחת הדלתות לא שינתה עבור השחקן מאומה, ועדיין נותרו לו שתי דלתות שאין לו דרך להכריע ביניהן, והסיכוי שהפרס נמצא מאחורי כל אחת מהן זהה.

אולם מתברר שהעובדה שהמנחה היה חייב לפתוח את אחת הדלתות שהשחקן לא בחר, היא מידע חשוב שמאפשר לשחקן לחשב במדויק את סיכויו שהפרס נמצא מאחורי כל אחת מהדלתות. הסיכוי שהפרס נמצא מאחורי הדלת שבחר נשאר 1/3 כמקודם, והמידע החדש לא משפיע עליה כיוון שהמנחה לא היה יכול לפתוח אותה לפי חוקי המשחק. אולם הסיכוי שהפרס נמצא מאחורי הדלת הנותרת הוא 2/3, כיוון שהמנחה היה יכול לפתוח אותה ולא פתח אותה.

תוצאה זו נראית אבסורדית, שכן על עצם הקיום של דלת מסתירת-עז שהשחקן לא בחר בה, הוא ידע ממילא, וקשה להבין אינטואיטיבית כיצד פתיחה של דלת זו משפיעה על הסיכויים שמאחורי השנייה נמצאת מכונית. ברור שאם לאחר שהדלת נפתחה, יזדמן לאולפן אורח שלא יודע איזו דלת השחקן בחר, הוא לא יוכל להכריע בין הדלתות הסגורות ומבחינתו הסיכויים לכל אחת מהן שווים.

מקורה של הבעיה

גרסה מוקדמת של הבעיה הופיעה לראשונה עוד בשנת 1889, בספרו של ז'וזף ברטראן Calcul des probabilités.

השם "הבעיה של מונטי הול" ניתן לבעיה זו על ידי סטיב סלווין , לאחר שהציג אותה במאמר שפורסם בפברואר 1975 בכתב העת American Statistician , אף שבשעשועון המקורי אין בחירה חוזרת - לאחר שהשחקן בחר באחת משלוש הדלתות, מסתיים הסיפור.

הבעיה הוצגה עוד קודם לכן, בשנת 1959, על ידי מרטין גרדנר, בטורו בירחון Scientific American. אצל גארדנר היא קרויה "בעיית שלושת האסירים" וניסוחה:

שלושה אסירים, א', ב' וג' נידונו למוות. המושל בחר באופן אקראי אחד מהם והחליט להעניק לו חנינה, ואת בחירתו גילה רק לסוהר. הסוהר מסרב לגלות לא' מה יהיה גורלו, אך מוכן לגלות לו מי מבין שני האסירים האחרים יצא להורג בתנאים הבאים:

אם ב' זכה בחנינה יאמר הסוהר את שמו של ג', אם ג' זכה בחנינה יאמר הסוהר את שמו של ב', אם א' זכה בחנינה יבחר הסוהר באקראי בין ב' לג'.

הסוהר אומר שב' יוצא להורג כך שהזוכה בחנינה הוא א' או ג'. מה ההסתברות שהזוכה בחנינה הוא א'? קל לראות ששתי הבעיות שקולות זו לזו, למרות שבמבט ראשון נראה שהסיכוי של א' וג' שווה זה לזה, הסיכוי של א' לזכות בחנינה נותר 1/3 וסיכויו של ג' עלה ל2/3.

ב-1990 התפרסמה הבעיה מחדש בגרסתה הרגילה כאשר היא נשאלה במדור 'שאל את מרילין' בעיתון Parade מרילין ווס סוואנט ענתה את התשובה הנכונה והוצפה באלפי פניות בחלקם גם מאת מתמטיקאים שטענו שמרילין טועה והפתרון הנכון הוא שההסתברות למכונית בשתי הדלתות היא 1/2, מרילין השיבה לטענות נגדה והציעה לפונים לערוך ניסוי בעצמם ולבחון את תוצאותיו.

ניתוח הפתרון לגרסה השנייה

נקודת המפתח בגרסה השנייה של הבעיה, היא מחויבות המנחה לפתיחת דלת שמאחוריה מסתתרת עז, מה שמשאיר במשחק שתי דלתות. אם השחקן צודק בניחוש הראשון ובוחר במכונית (הסיכוי לכך הוא 1/3), החלפת הדלת תגרום לו להפסיד. ואם טעה ובחר בעז, המנחה פותח את הדלת השגויה האחרת, ומשאיר סגורה את הדלת הנכונה; במקרה כזה ההחלפה תבטיח לשחקן את הפרס, וזה קורה בסיכוי של 2/3.

היתרון של השחקן על-פני האורח שנכנס אחרי פתיחת הדלת הוא באינפורמציה שאינה ידועה לו: השחקן בחר את הדלת שלו כשהיא הייתה אחת משלוש, ולכן הסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/3. מבחינת האורח, דלת זו היא אחת משתיים, והסיכוי שלה להסתיר את הפרס הוא 1/2. האבחנה הזו (איזו דלת נכונה בסיכוי 1/3 ואיזו נכונה בסיכוי 2/3) היא הדבר שהשחקן יודע והאורח אינו יודע. הסיכוי תלוי בנקודת המבט. נאמר שהאורח מצביע על אחת הדלתות. מבחינתו, הסיכוי שזוהי הדלת הנכונה הוא חצי. השחקן יודע שהסיכוי הוא שליש או שני שלישים (תלוי כמובן באיזו דלת מדובר). באותה עת, מבחינת המנחה הכל-יודע, הסיכוי הוא אפס או אחת.

מנקודת המבט של השחקן, אם מאחורי הדלת שהוא בחר יש מכונית, שינוי הבחירה תמיד יגרום לו לקבל עז, ואם מאחורי הדלת שהוא בחר ישנה עז, שינוי הבחירה תמיד יגרום לו לקבל מכונית. כיוון שבתחילה היו 2 עיזים ומכונית אחת, ההסתברות שהוא בחר עז גדולה פי שניים מההסתברות שהוא בחר מכונית, ולכן שינוי הבחירה יכפיל את הסיכוי שלו לקבל מכונית.

במבט ראשון פתרון הבעיה נראה מנוגד לאינטואיציה, אבל ניתן גם להציג את הבעיה באופנים אחרים, שהופכים את הפתרון לקל יותר להבנה:

• אם אחרי בחירת הדלת היה המנחה מציע (תמיד) לנטוש אותה ולבחור במקומה בשתי הדלתות האחרות, כך שאם מסתתרת מכונית מעברו השני של אחת מהן - נזכה בה, היה ברור שכדאי לקבל את ההצעה. אבל בכך שהוא פותח רק אחת משתי הדלתות האחרות, וחושף את העז, המנחה מציע לשחקן בדיוק את ההצעה הזו: לקבל את שתי הדלתות שלא בחרנו, שידוע כי באחת מהן נמצאת עז. כאן קל יותר להשתכנע שהסיכויים לזכות בפרס אחרי החלפה הם 2/3.
• דרך אחרת להסביר את הפתרון היא בניתוח אסטרטגי. האסטרטגיה "הצמד למה שבחרת בהתחלה" מבטיחה לשחקן הסתברות זכייה של 1/3, משום שזו הייתה ההסתברות מרגע הבחירה הראשון. האסטרטגיה "החלף בכל מקרה" היא האסטרטגיה המשלימה (המנחה השאיר רק שתי דלתות), ולכן ההסתברות להצליח בעזרתה היא 2/3.
• נניח שמתקיים אותו משחק עם אלף דלתות, כאשר בצידה השני של אחת מהן מסתתר פרס, ומאחורי 999 הדלתות הנוספות נמצאות עזים. בתחילה נבחר דלת, והמנחה יפתח עוד 998 דלתות נוספות, שבצידן השני עזים. במצב כזה, השחקן צריך לשאול את עצמו "מה הסיכויים שההחלפה תגרום לי להפסד"? זה יקרה רק כאשר הוא בחר את הדלת הנכונה כבר בהתחלה, אירוע שהסיכוי לו הוא 0.1%. לעומת זאת, אם יחליף את הבחירה, יש סיכוי של 99.9% לקבל מכונית, כיוון שזו הדלת היחידה שהמנחה לא פתח למרות שהיה יכול לפתוח אותה.

פתרון הסתברותי לגרסה השנייה

• מאורע X: המכונית מאחורי וילון 1.
• מאורע Y: המכונית מאחורי וילון 2.
• מאורע Z: המכונית מאחורי וילון 3.
• מאורע B: המנחה פותח את וילון 2 שמאחוריו עז.

נבחין כי בתחילת השעשועון כאשר המשתתף יבחר את הווילון באופן שרירותי (נניח כי הבחירה שלו היא X) ההסתברות לבחירה שווה ולכן - P(X)=P(Y)=P(Z)=1/3

כעת נחשב את ההסתברות לזכייה במכונית כאשר המשתתף החליף וילון, וכאשר הוא לא החליף וילון.

מקרה ראשון - המשתתף לא החליף וילון - P(X|B):

נחשב את ההסתברות שהמכונית תהייה מאחורי הווילון הראשון בהינתן שהיא לא מאחורי הווילון השני.

P(X ∩ B) = P(B|X)xP(X)=1/2 x 1/3=1/6

1/2=P(B)=P(B|X)xP(X)+P(B|Y)xP(Y)+P(B|Z)xP(Z)=1/6+0 x 1/3 +1 x 1/3

P(X|B)=P(X ∩ B) / P(B) =(1/6)/(1/2)=1/3

הסיכוי לזכייה במכונית נשמר והוא 1/3.

מקרה שני - המשתתף החליף וילון - P(Z|B):

נחשב את ההסתברות שהמכונית תהייה מאחורי הווילון השלישי בהינתן שהיא לא מאחורי הווילון השני.

P(Z|B)=P(Z ∩ B) / P(B)=(P(B|Z)xP(Z))/P(B)=(1/3)/(1/2)=2/3

הסיכוי לזכייה במכונית הוא 2/3.

נבחין כי הסיכויים לזכות במכונית לאחר החלפת הווילון אכן גדולים יותר מהסיכויים לזכות במכונית ללא החלפת הווילון הנבחר בתחילת השעשועון.

P(Z|B) = 2/3 > 1/3 = P(X|B).

תרשים המתאר את התשובה לבעיית מונטי הול בדומה לתרשים בספר "המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה"

סימולציה

סימולטור של בעיית מונטי הול עם 100 דלתות, להמחשת האינטואיציה מאחורי ההסתברות להצלחה בעת החלפת דלת.

הקוד הבא בפייתון מבצע סימולציה של המשחק, והרצה שלו נותנת קירוב של הפתרון:

import numpy as np

N_ROUNDS = 10000

wins_with_switch = 0
wins_without_switch = 0

for i in range(N_ROUNDS):
    doors = [0, 1, 2]
    true_door = np.random.randint(3)
    # Intial guess of the contender
    initial_choice = np.random.randint(3)
    # Now the host opens an empty door and offers you to switch your selection to the remaining closed door.
    if initial_choice == true_door:
        wins_with_switch += 0
        wins_without_switch += 1
    if initial_choice != true_door:
        wins_with_switch += 1
        wins_without_switch += 0

print(f"For {N_ROUNDS} games, here are the results.")
print(f"With switch success rate: {wins_with_switch/N_ROUNDS}")
print(f"Without switch success rate: {wins_without_switch/N_ROUNDS}")

בתרבות

• בספר "המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה", מובאת החידה וההד האקדמי שהיא עוררה כהוכחה לכך שמתמטיקה היא דבר שאיננו ברור ואינטואיטיבי. בספר גם מופיע חישוב הסתברותי פשוט (באמצעות הסתברות מותנית) שממחיש את פתרון החידה בצורה מתמטית.
• בסרט "21", המספר את סיפורו של גאון מתמטי אשר מנצל את כישוריו בתחום המספרים על-מנת לזכות בהימורים בלאס וגאס, מארגן קבוצת המהמרים הוא מרצה באוניברסיטה, והוא מציג לתלמידו את בעיית מונטי הול כמבחן ליכולת החשיבה ההסתברותית שלו. בסרט מוצגת הגרסה הפתירה של הבעיה (המופיעה כאן שנייה). לאחר שהתלמיד מסביר מדוע כדאי להחליף את הבחירה ולהגדיל את הסיכוי ל-2/3, הוא עובר את המבחן בהצלחה ומגויס לצוות ההימורים שהרכיב המרצה.
• ברומן "דברי מתיקה" מאת איאן מקיואן מציגה גיבורת הרומן, סרינה פרום, בעלת תואר ראשון במתמטיקה, את בעיית מונטי הול לאהובהּ, הסופר טום היילי. הוא מחבר סיפור קצר שבמרכזו בעיית מונטי הול כבסיס להחלטה בחיים האמיתיים, אך בגרסתו יש טעות בהצגת הבעיה, הנובעת מחוסר בקיאותו בתורת ההסתברות. סרינה מזהה את הטעות ומציעה גרסה מתוקנת לסיפור. טום מקבל את הצעתה, ומתקן את סיפורו.
• בסדרה "סמוך על סול", עונה 2 פרק 4, הוזכרה הבעיה.

ראו גם

• פרדוקס המעטפות
• בעיית היפהפייה הנרדמת
• עקרון הבחירה המוגבלת

לקריאה נוספת

• חיים שפירא, שיחות על תורת המשחקים, כנרת, זמורה-ביתן, 2008, הפרק "פרדוקס מונטי הול", עמ' 115–119.

• Eosenhouse, Jason. The monty hall problem. Oxford University Press, 2009. ISBN 0199709904

קישורים חיצוניים

• יוסי לוי, המכונית והעזים, באתר "נסיכת המדעים"
• הפסיכולוגיה של בעיית מונטי הול, פוסט בבלוג של גיל גרינגרוז
• ניסוי מחשב (אורכב 23.10.2007 בארכיון Wayback Machine), המראה שמי שתמיד נשאר עם הדלת שלו זוכה בשליש מהפעמים, מי שתמיד מחליף דלת זוכה בשני שלישים מהפעמים, ומי שמגריל מחדש את הדלת שהוא בוחר אחרי שהמנחה פתח דלת אחת זוכה בממוצע בחצי מהנסיונות.
• הדמיית מחשב המאפשרת להריץ את המשחק מספר רב של פעמים
• גדי אלכסנדרוביץ', הבעיה של מונטי הול, באתר "לא מדויק", 23 בפברואר 2008
• סרטון המתאר את התופעה מערוץ AsapSIENCE ביוטיוב.
• פרדוקס מונטי הול(הקישור אינו פעיל, 10.7.2019)
• בעיית מונטי הול, באתר MathWorld (באנגלית)