גאומטריה אוקלידית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־22:11, 12 בפברואר 2013

הגאומטריה האוקלידית היא התורה המתמטית של נקודות, ישרים ומעגלים במישור, המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם אוקלידס בספרו יסודות, והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, אבל רק ביוון נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים משפט מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.

במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה הגאומטריה היחידה. נסיונות להוכיח את אקסיומת המקבילים הביאו במאה ה-19 לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מקבלות את האקסיומה הזו, והן קרויות גאומטריות לא אוקלידיות.

גאומטריה אוקלידית נמנית עם ענפי המתמטיקה המעטים הנלמדים בבית הספר היסודי והתיכון. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים דידקטיים, בין גאומטריית המישור (או הנדסת המישור), העוסקת בגופים מישוריים בלבד, כגון משולש ומעגל, ובין גאומטריית המרחב (או הנדסת המרחב), העוסקת בגופים תלת-ממדיים, כגון פירמידה, קובייה וכדור.

אקסיומות

אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "יסודות", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מושגי יסוד, הנקודה, הישר, שאינם מוגדרים, ומקבלים את משמעותם והתכונות שלהם מן האקסיומות שהם מקיימים. הנקודה והישר מאפשרים להגדיר את המעגל והזווית, המקיימים יחד חמש הנחות יסוד כלליות, וחמש אקסיומות:

אפשר להעביר קטע ישר בין שתי נקודות.
אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
אפשר לתאר מעגל על-פי מרכז ורדיוס.
כל הזוויות הישרות שוות ביניהן.
אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (השקולה לטענה: דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.)

האקסיומה החמישית, המכונה "אקסיומת המקבילים", נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה מובנת מאליה, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם במאה ה-19 הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת הגאומטריה ההיפרבולית שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא גאומטריה לא אוקלידית. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא-אוקלידית.

האקסיומות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש במערכת האקסיומות של הילברט שהציע דויד הילברט בסוף המאה ה-19.

פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג המישור, המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.

ראו גם

הצורות הגאומטריות: משולש - מרובע - מצולע - מעגל - פרבולה - אליפסה - היפרבולה - חרוט - קובייה - ארבעון - איקוסהדרון - דודקהדרון - כדור
מערכת האקסיומות של הילברט
גאומטריה לא-אוקלידית
משפט פיתגורס
משפט צ'בה
משפט מנלאוס

לקריאה נוספת

דיבשה אמירה, ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה, הוצאת עם עובד ודביר, 1962
Euclid's Elements, "היסודות", ספרו של אוקלידס, בתרגום לאנגלית

קישורים חיצוניים

תבנית:Link GA

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[תמונה:Euklid2.jpg|ממוזער|אוקלידס]]
+'''הגאומטריה האוקלידית''' היא התורה המתמטית של [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]], [[ישר|ישרים]] ו[[מעגל|מעגלים]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם [[אוקלידס]] בספרו [[יסודות (ספר)|יסודות]], והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, אבל רק ביוון נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.
-מקורה של '''הגאומטריה האוקלידית''', המכונה גם גאומטריה פרבולית, ב[[יוון העתיקה]]. פירוש המילה "גאומטריה" ב[[יוונית]] הוא [[מדידה|למדוד]] (מטר) את ה[[אדמה]] (גאו), ומקור התואר '''אוקלידית''' הוא בשמו של ה[[מתמטיקאי]] [[אוקלידס]]. הגאומטריה האוקלידית מבוססת על מספר מצומצם של מושגי יסוד ([[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], [[ישר]] ו[[מישור (גאומטריה)|מישור]]) ועל [[אקסיומה|אקסיומות]] העוסקות בהם. מהאקסיומות ניתן [[הוכחה|להוכיח]] [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]].
-במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה ה[[גאומטריה]] היחידה. ב{{ה|מאה ה-19}} נוצרו גאומטריות אחרות, השונות מהגאומטריה האוקלידית באחת מהאקסיומות שלהן, ולכן נדרשה הבחנה בין גאומטריה אוקלידית ל[[גאומטריה לא-אוקלידית]].
+במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה ה[[גאומטריה]] היחידה. נסיונות להוכיח את [[אקסיומת המקבילים]] הביאו ב{{ה|מאה ה-19}} לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מקבלות את האקסיומה הזו, והן קרויות [[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות לא אוקלידיות]].
 גאומטריה אוקלידית נמנית עם [[מתמטיקה#ענפי המתמטיקה|ענפי המתמטיקה]] המעטים הנלמדים ב[[בית ספר יסודי|בית הספר היסודי]] ו[[בית ספר תיכון|התיכון]]. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים [[תורת ההוראה|דידקטי]]ים, בין '''גאומטריית המישור''' (או '''הנדסת המישור'''), העוסקת בגופים [[מישור (גאומטריה)|מישור]]יים בלבד, כגון [[משולש]] ו[[מעגל]], ובין '''גאומטריית המרחב''' (או '''הנדסת המרחב'''), העוסקת בגופים [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדיים]], כגון [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]], [[קובייה]] ו[[כדור (גאומטריה)|כדור]].
 ==אקסיומות==
-אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", ביסס אותה על חמש [[אקסיומה|אקסיומות]], העוסקות בעיקר בבנייה:
+אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", ביסס את הגאומטריה המישורית על שני מושגי יסוד, ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], ה[[ישר]], שאינם מוגדרים, ומקבלים את משמעותם והתכונות שלהם מן האקסיומות שהם מקיימים. הנקודה והישר מאפשרים להגדיר את המעגל והזווית, המקיימים יחד חמש הנחות יסוד כלליות, וחמש [[אקסיומה|אקסיומות]]:
 #אפשר להעביר [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] [[ישר]] בין שתי [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]].
 #אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
 #אפשר לתאר [[מעגל]] על-פי מרכז ו[[רדיוס]].
 #כל [[זווית ישרה|הזוויות הישרות]] שוות ביניהן.
-#אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.
+#אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו. (השקולה לטענה: דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.)
-האקסיומה החמישית, המכונה "[[אקסיומת המקבילים]]", נראתה למתמטיקאים מיותרת במשך מאות שנים, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם ב{{ה|מאה ה-19}} הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת [[גאומטריה היפרבולית|הגאומטריה ההיפרבולית]] שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא [[גאומטריה לא אוקלידית]]. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא-אוקלידית החדשה שנוצרה.
+האקסיומה החמישית, המכונה "[[אקסיומת המקבילים]]", נראתה למתמטיקאים לאורך ההיסטוריה מובנת מאליה, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם ב{{ה|מאה ה-19}} הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת [[גאומטריה היפרבולית|הגאומטריה ההיפרבולית]] שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא [[גאומטריה לא אוקלידית]]. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא-אוקלידית.
-אקסיומת המקבילים שקולה גם לטענה זו:
-*דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.
 האקסיומות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש ב[[מערכת האקסיומות של הילברט]] שהציע [[דויד הילברט]] בסוף המאה ה-19.
+פיתוח גאומטריית המרחב דורש את מושג ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]], המאופיין בכך שדרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.
-==מושגי יסוד==
-מושגי היסוד של הגאומטריה הם [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], [[ישר]] ו[[מישור (גאומטריה)|מישור]]. אלה מושגים שאין להם הגדרה והמשמעות שלהם מובנת בצורה [[אינטואיציה|אינטואיטיבית]] או על פי מאפייניהם.
-דוגמאות למאפיינים:
-===נקודה===
-* לנקודה אין ממדים.
-* נקודה מציינת מיקום במרחב.
-===קו ישר===
-* לקו ישר אין רוחב.
-* על ישר יש [[אינסוף]] נקודות.
-===מישור===
-* למישור אין עובי.
-* המישור הוא דו ממדי.
-* המישור הוא אינסופי.
-* דרך 2 ישרים נחתכים עובר מישור אחד ויחיד.
-* דרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.
-==מושגים מוגדרים==
-באמצעות מושגי היסוד וחמש ה[[אקסיומה|אקסיומות]] ניתן להגדיר בצורה חד משמעית כל מושג אחר בגאומטריה האוקלידית, כמו [[מלבן]], [[משולש]] או [[מעגל]].
-הגאומטריה האוקלידית, כמו כל ענף ב[[מתמטיקה]], נבנית על גבי האקסיומות שלה. לכן, הגאומטריה האוקלידית היא ענף סגור שאינו נדרש לענפים אחרים כמו ה[[טריגונומטריה]]. מסיבה זו כל המשפטים וההוכחות הגאומטריות מתבססות על הגאומטריה האוקלידית ועליה בלבד.
-==צורות גאומטריות==
-[[משולש]] - [[מרובע]] - [[מצולע]] - [[מעגל]] - [[פרבולה]] - [[אליפסה]] - [[היפרבולה]] - [[חרוט]] - [[קובייה]] - [[ארבעון]] - [[איקוסהדרון]] - [[דודקהדרון]] - [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
 ==ראו גם==
+* הצורות הגאומטריות: [[משולש]] - [[מרובע]] - [[מצולע]] - [[מעגל]] - [[פרבולה]] - [[אליפסה]] - [[היפרבולה]] - [[חרוט]] - [[קובייה]] - [[ארבעון]] - [[איקוסהדרון]] - [[דודקהדרון]] - [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
 * [[מערכת האקסיומות של הילברט]]
 * [[גאומטריה לא-אוקלידית]]

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: גאומטריה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: גאומטריה אוקלידית