בערך זהסימון מתמטי .
המחשה גרפית לארבעת המקרים הראשונים של נוסחת הבינום של ניוטון במתמטיקה , הבינום של ניוטון היא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום של שני איברים (בינום ):
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}
על פי נוסחת הבינום, ניתן לפתח את החזקה
(
x
+
y
)
n
{\displaystyle \ (x+y)^{n}}
a
x
b
y
c
{\displaystyle \ a\ x^{b}\ y^{c}}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
+
c
=
n
{\displaystyle b+c=n}
מקדם
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
.
{\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.}
המקדם
a
{\displaystyle a}
a
x
b
y
c
{\displaystyle \ a\ x^{b}\ y^{c}}
מקדם בינומי :
(
n
b
)
{\displaystyle {n \choose b}}
(
n
c
)
{\displaystyle {n \choose c}}
על פי הבינום של ניוטון ניתן לפתח כל חזקה שלמה של
x
+
y
{\displaystyle x+y}
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
n
y
0
+
(
n
1
)
x
n
−
1
y
1
+
(
n
2
)
x
n
−
2
y
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
x
1
y
n
−
1
+
(
n
n
)
x
0
y
n
{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n}}
נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל־1 תמיד, משום ש:
a
0
=
a
n
−
n
=
a
n
a
n
=
1
{\displaystyle \ a^{0}=a^{n-n}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=1}
בנוסף, המספר 1 הוא איבר יחידה ביחס לכפל כך ש:
1
⋅
x
=
x
⋅
1
=
x
{\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1=x}
a
0
⋅
x
=
x
⋅
a
0
=
x
{\displaystyle a^{0}\cdot x=x\cdot a^{0}=x}
בהתאם לכך, נהוג לעיתים לכתוב בנוסחת הבינום גם
(
n
0
)
x
n
+
…
{\displaystyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\ldots }
(
n
0
)
x
n
y
0
+
…
{\displaystyle {\binom {n}{0}}x^{n}y^{0}+\ldots }
y
0
{\displaystyle \ y^{0}}
מכאן שניתן לכתוב את נוסחת הבינום גם בדרך זו:
(
x
+
y
)
n
=
(
n
0
)
x
n
+
(
n
1
)
x
n
−
1
y
1
+
(
n
2
)
x
n
−
2
y
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
x
1
y
n
−
1
+
(
n
n
)
y
n
{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}y^{n}}
בעזרת סימן הסכום סיגמא גדולה (Σ), ניתן לסמן את נוסחת הבינום בדרך מקוצרת. כך שאם n מספר שלם, אז לכל
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}
כאשר הביטוי האחרון נובע מקודמו, עקב הסימטריה בין
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
מקדם בינומי כל מספר במשולש פסקל מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו המקדמים של
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle x^{n-k}y^{k}}
מספרים שלמים חיוביים המכונה מקדמי הבינום
לכל
0
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq k\leq n}
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
הסימן "!" מציין עצרת , שהיא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד למספר נתון.
כלומר:
n
!
=
1
×
2
×
⋯
×
n
{\displaystyle \ n!=1\times 2\times \cdots \times n}
ובאופן דומה:
k
!
=
1
×
2
×
⋯
×
k
{\displaystyle \ k!=1\times 2\times \cdots \times k}
(
n
−
k
)
!
=
1
×
2
×
⋯
×
(
n
−
k
)
{\displaystyle \ (n-k)!=1\times 2\times \cdots \times (n-k)}
כמו כן,
0
!
=
1
{\displaystyle \ 0!=1}
ניתן לכתוב את הנוסחה של מקדם הבינום גם כך:
(
n
k
)
=
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
(
k
−
1
)
)
k
!
=
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
k
(
k
−
1
)
⋯
1
=
∏
ℓ
=
1
k
n
−
ℓ
+
1
ℓ
=
∏
ℓ
=
0
k
−
1
n
−
ℓ
k
−
ℓ
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-(k-1))}{k!}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}
אף על פי שנוסחת הבינום מורכבת משבר, הערכים של המקדמים הבינומיים הם תמיד מספרים שלמים .
ניתן לסדר את המקדמים הבינומיים כך שירכיבו יחדיו את משולש פסקל . זהו סידור של מספרים בצורת משולש, שקודקודו העליון מכיל את המספר 1 וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו, כאשר המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1.
ניתן להרכיב את משולש פסקל ממקדמי הבינום של ניוטון, כך שכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו.
למקדמי הבינום שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות . זאת משום שהמקדם הבינומי
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
תת-הקבוצות בגודל k שניתן לבחור מתוך קבוצה בגודל n. כלומר, זהו מספר האפשרויות לבחור
k
{\displaystyle \ k}
n
{\displaystyle \ n}
תכונה מעניינת של מקדמי הבינום מתקבלת על ידי הצבה של
x
=
y
=
1
{\displaystyle x=y=1}
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}
במקרה זה כל החזקות של X ושל Y בבינום הופכות ל-1, וכעת הבינום מבטא למעשה את סכום המקדמים בלבד:
(
2
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
{\displaystyle (2)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}}
ניתן לראות כי סכום המקדמים (כלומר הסכום של כל שורה ושורה במשולש פסקל) יהיה שווה תמיד לחזקה שלמה של 2.
ייצוג גרפי למקרה השני של נוסחת הבינום של ניוטון:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
ייצוג גרפי למקרה השלישי של נוסחת הבינום של ניוטון המקרים הראשונים של הנוסחה הם:
(
x
+
y
)
1
=
x
+
y
{\displaystyle \ (x+y)^{1}=x+y}
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle \ (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle \ (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
{\displaystyle \ (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}
(
x
+
y
)
5
=
x
5
+
5
x
4
y
+
10
x
3
y
2
+
10
x
2
y
3
+
5
x
y
4
+
y
5
{\displaystyle \ (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}}
(
x
+
y
)
6
=
x
6
+
6
x
5
y
+
15
x
4
y
2
+
20
x
3
y
3
+
15
x
2
y
4
+
6
x
y
5
+
y
6
{\displaystyle \ (x+y)^{6}=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}}
(
x
+
y
)
7
=
x
7
+
7
x
6
y
+
21
x
5
y
2
+
35
x
4
y
3
+
35
x
3
y
4
+
21
x
2
y
5
+
7
x
y
6
+
y
7
{\displaystyle \ (x+y)^{7}=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}}
דוגמה נוספת עבור
(
x
+
y
)
3
{\displaystyle \ (x+y)^{3}}
ראשית, נשים לב כי
(
x
+
y
)
n
=
(
x
+
y
)
⋅
(
x
+
y
)
⋅
⋯
⋅
(
x
+
y
)
{\displaystyle \ (x+y)^{n}=(x+y)\cdot (x+y)\cdot \dots \cdot (x+y)}
n
{\displaystyle \ n}
(
x
+
y
)
2
=
(
x
+
y
)
⋅
(
x
+
y
)
=
x
⋅
x
+
x
⋅
y
+
y
⋅
x
+
y
⋅
y
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle \ (x+y)^{2}=(x+y)\cdot (x+y)=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y=x^{2}+2xy+y^{2}}
מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי
x
k
y
j
{\displaystyle \ x^{k}y^{j}}
(
n
k
)
{\displaystyle \ {n \choose k}}
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle \ x^{k}y^{n-k}}
צריך להוכיח:
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}
בדיקה עבור n=1 (ניתן לבדוק גם החל מ-n=0):
(
a
+
b
)
1
=
∑
k
=
0
1
(
1
k
)
a
k
b
1
−
k
{\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{k}b^{1-k}}
∑
k
=
0
1
(
1
k
)
a
k
b
1
−
k
=
(
1
0
)
a
0
b
1
+
(
1
1
)
a
1
b
0
=
b
+
a
{\displaystyle \sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{k}b^{1-k}={1 \choose 0}a^{0}b^{1}+{1 \choose 1}a^{1}b^{0}=b+a}
הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n=i :
(
a
+
b
)
i
=
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
{\displaystyle (a+b)^{i}=\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}}
ונוכיח נכונות עבור n=i+1:
(
a
+
b
)
i
+
1
=
∑
k
=
0
i
+
1
(
i
+
1
k
)
a
k
b
i
+
1
−
k
{\displaystyle (a+b)^{i+1}=\sum _{k=0}^{i+1}{i+1 \choose k}a^{k}b^{i+1-k}}
הוכחה:
(
a
+
b
)
i
+
1
=
(
a
+
b
)
i
(
a
+
b
)
{\displaystyle \ (a+b)^{i+1}=(a+b)^{i}(a+b)}
(
a
+
b
)
i
{\displaystyle \ (a+b)^{i}}
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}}
(
a
+
b
)
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
=
a
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
+
b
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
=
=
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
+
1
b
i
−
k
+
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
+
1
=
=
∑
k
=
1
i
+
1
(
i
k
−
1
)
a
k
b
i
−
k
+
1
+
∑
k
=
0
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
+
1
=
=
(
i
i
)
a
i
+
1
b
0
+
∑
k
=
1
i
(
i
k
−
1
)
a
k
b
i
−
k
+
1
+
(
i
0
)
a
0
b
i
+
1
+
∑
k
=
1
i
(
i
k
)
a
k
b
i
−
k
+
1
=
=
a
i
+
1
+
b
i
+
1
+
∑
k
=
1
i
(
(
i
k
−
1
)
+
(
i
k
)
)
a
k
b
i
−
k
+
1
=
a
i
+
1
+
b
i
+
1
+
∑
k
=
1
i
(
i
+
1
k
)
a
k
b
i
−
k
+
1
=
∑
k
=
0
i
+
1
(
i
+
1
k
)
a
k
b
i
−
k
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}&=a\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}+b\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}=\\&=\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k+1}b^{i-k}+\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\\&=\sum _{k=1}^{i+1}{i \choose k-1}a^{k}b^{i-k+1}+\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\\&={i \choose i}a^{i+1}b^{0}+\sum _{k=1}^{i}{i \choose k-1}a^{k}b^{i-k+1}+{i \choose 0}a^{0}b^{i+1}+\sum _{k=1}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\\&=a^{i+1}+b^{i+1}+\sum _{k=1}^{i}\left({i \choose k-1}+{i \choose k}\right)a^{k}b^{i-k+1}\\&=a^{i+1}+b^{i+1}+\sum _{k=1}^{i}{i+1 \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\sum _{k=0}^{i+1}{i+1 \choose k}a^{k}b^{i-k+1}\end{aligned}}}
כאשר השתמשנו בזהות
(
i
k
−
1
)
+
(
i
k
)
=
(
i
+
1
k
)
{\displaystyle {i \choose k-1}+{i \choose k}={i+1 \choose k}}
משולש פסקל . בכך הושלמה הוכחת צעד האינדוקציה.
מ.ש.ל.
גרסה פשוטה של נוסחת הבינום מתקבלת על ידי הצבת המספר 1 במשתנה y, כך שהיא תכיל רק משתנה יחיד.
בגרסה זו הנוסחה תראה כך:
(
1
+
x
)
n
=
(
n
0
)
x
0
+
(
n
1
)
x
1
+
(
n
2
)
x
2
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
x
n
−
1
+
(
n
n
)
x
n
,
{\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}
או כך:
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
.
{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}
"משולש פסקל ", המשמש להצגת מקדמי הבינום, בספרו של המתמטיקאי הסיני בן המאה ה-13 , יאנג חווי הנוסחה עבור חזקה שלמה הייתה ידועה זמן רב לפני ניוטון . בלז פסקל חקר אותה במהלך המאה ה-17 , אך הייתה ידועה גם למתמטיקאים שקדמו לו, ובהם הסיני יאנג חווי בן המאה ה-13 , הפרסי עומר ח'יאם בן המאה ה-11 , וההודי פינגלה בן המאה ה-3 .
את הגרסה הכללית, שבה החזקה יכולה להיות מספר כלשהו, פיתח ניוטון בעזרת השיטות של החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שהמציא (במקביל לגוטפריד וילהלם לייבניץ ).
ניוטון הראה שלכל r ממשי מתקיים
(
1
+
x
)
r
=
∑
j
=
0
∞
(
r
j
)
x
j
{\displaystyle \ (1+x)^{r}=\sum _{j=0}^{\infty }{r \choose j}x^{j}}
(
r
j
)
=
r
(
r
−
1
)
⋯
(
r
−
j
+
1
)
j
!
{\displaystyle \ {r \choose j}={\frac {r(r-1)\cdots (r-j+1)}{j!}}}
טור אינסופי , המתכנס אל הערך הנכון לכל x, ותקף גם כאשר r מרוכב . את המקרה הכללי אפשר לחשב לפי
(
x
+
y
)
r
=
x
r
(
1
+
y
x
)
r
{\displaystyle (x+y)^{r}=x^{r}(1+{\tfrac {y}{x}})^{r}}
אם r טבעי, רק r+1 המקדמים הראשונים שונים מאפס, והטור הוא למעשה סכום סופי.
עבור r=1/2, מתקבלת הנוסחה השימושית:
(
1
+
x
)
1
2
=
1
+
x
=
1
+
1
2
x
−
1
8
x
2
+
…
{\displaystyle \ (1+x)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+\dots }
עבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי:
(
1
+
x
)
−
1
=
1
1
+
x
=
1
−
x
+
x
2
−
x
3
+
…
{\displaystyle \ (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots }
הוכחת הנוסחה נעשית באמצעות פיתוח טור טיילור עבור הפונקציה המרוכבת
f
(
z
)
=
(
1
+
z
)
r
{\displaystyle \ f(z)=(1+z)^{r}}
ערך מורחב – מקדם בינומי
3.svg)
