הבעיה החמישית של הילברט

הבעיה החמישית של הילברט היא אחת מ-23 הבעיות של הילברט, שאותן הציג המתמטיקאי הגרמני דויד הילברט בשנת 1900 בוועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים. הבעיה החמישית עוסקת באפיון של חבורות לי.

התאוריה של חבורות לי מתארת סימטריה רציפה. חשיבותה במתמטיקה ובפיזיקה עיונית (למשל בתורת הקווארקים) גדלה בהתמדה במהלך המאה העשרים. בפשטות, התאוריה של חבורות לי היא המכנה המשותף בין תורת החבורות לבין תורת היריעות טופולוגיות. שאלתו של הילברט הייתה: האם הגבלת התאוריה ליריעות חלקות תשפיע על המשפטים שניתן (או לא ניתן) להוכיח בתאוריה? במילים אחרות: האם ישנן חבורות רציפות שאינן גזירות? מלכתחילה שוער שהתשובה תהיה שלילית, שכן הדוגמאות העיקריות לחבורות לי הן יריעות חלקות. הוכחה מדוקדת להשערה זו ניתנה בתחילת שנות ה-50.

על אף זאת, כיוון שההגדרה המדויקת של "יריעה" לא הייתה ידועה בזמנו של הילברט, יש מקום לדיון בדבר הניסוח המדויק של הבעיה בטרמינולוגיה מתמטית עכשווית, וממילא ניתן לדון האם הבעיה אכן נפתרה.

ניסוח קלאסי של הבעיה

במשך תקופה ארוכה היה מקובל לנסח את הבעיה כשאלת האפיון של חבורות לי כחבורות טופולוגיות שהן גם יריעות טופולוגיות. במונחים קרובים יותר לאלה ששימשו את הילברט, ליד איבר היחידה e של החבורה G יש קבוצה פתוחה U במרחב האוקלידי שמכילה את e, ובתת-קבוצה V של U יש העתקה רציפה F:V × V → U שמקיימת את אקסיומות החבורות, במקום שבו הן מוגדרות. הבעיה היא להראות ש-F היא פונקציה חלקה ליד e (כיוון שחבורות טופולוגיות הן מרחבים הומוגניים, הן נראות בכל מקום כפי שהן נראות ליד e).

התוצאה המהותית הראשונה, לחבורות קומפקטיות הייתה של ג'ון פון נוימן ב-1933. המקרה של חבורות אבליות קומפקטיות לוקלית נפתר בשנת 1934 בידי לב פונטריאגין. השלמת הפתרון, לפחות במשמעות זו של דברי הילברט, ניתנה בשנות ה-50, בעבודתם של אנדרו גליסון, דין מונטגומרי ולאו זיפין.

בשנת 1953 נתן הידהיקו ימבה תשובה סופית לשאלתו של הילברט, במשפט:

אם חבורה קשירה קומפקטית לוקלית G היא גבול פרויקטיבי של סדרה של חבורות לי, והיא "ללא תת-חבורות קטנות" (הסבר להלן) אז G היא חבורת לי.

ללא תת-חבורות קטנות

חבורה טופולוגית G היא ללא תת-חבורות קטנות אם יש סביבה N של איבר היחידה e שאין בה תת-חבורה גדולה מאשר e. חבורת המעגל (מעגל היחידה במישור המרוכב) מקיימת תנאי זה, וכך גם החבורה הליניארית הכללית מעל שדה המספרים המרוכבים, ואילו המספרים ה-p-אדיים Z_p כחבורה אבלית אינם מקיימים תנאי זה.

ניסוחים אחרים

חוקרים אחדים מפרשים את הבעיה החמישית של הילברט בצורות אחרות, וכל אחת מדרכי פרשנות אלו דורשת הוכחה משלה. אחד הניסוחים האחרים, המייחס לחבורה הנידונה פעולה על קבוצה אחרת, הוא השערת הילברט-סמית, ולזו אין עדיין פתרון מלא.

בשנים 1969–1970 פרסם המתמטיקאי פר אנפלו מספר מאמרים המתייחסים לבעיה החמישית של הילברט כבעיה באנליזה פונקציונלית. דיון בגישה זו מופיע בפרק האחרון של ספרם של יורם לינדנשטראוס ויואב בנימיני, Geometric nonlinear functional analysis.