תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים של חבורה נתונה היא התת-חבורה הנוצרת ע"י כל הקומוטטורים האפשריים. הקומוטטור הוא מעין מדד ל"מידת האבליות" של החבורה: תת-חבורת הקומוטטורים של חבורה היא החבורה הטריויאלית $\ \lbrace e\rbrace$ אם ורק אם החבורה אבלית.

הגדרה פורמלית

בהינתן חבורה $\ G$, הקומוטטור של שני איברים $\ g,h\in G$ מוגדר ע"י:

$\ [h,g]=hgh^{-1}g^{-1}$.

תת-חבורת הקומוטטורים של $\ G$ מוגדרת להיות החבורה הנוצרת ע"י כל הקוממוטטורים של $\ G$ ומסומנת $\ [G,G]=\langle [h,g]|h,g\in G\rangle$

תת-חבורת הקומוטטורים נקראת גם תת-חבורת הנגזרת של $\ G$ ומסומנת $\ G'$. ניתן לחזור על הפרוצדורה:

• נסמן: $\ G^{(0)}:=G$
• $\ G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]$, לכל $\ n$ טבעי.

חבורה נקראת פתירה אם"ם קיים $\ n$ טבעי כך ש - $\ G^{(n)}=\lbrace e\rbrace$ . חבורות פתירות מקיימות תכונות אלגבראות המקנות להן את מקומן בבסיסה של תורת גלואה.

תכונות

• תת-חבורת הקומוטטורים היא תת חבורה נורמלית: יהי $\ g\in G,[h,k]\in G'$. יש להראות: $\ g[h,k]g^{-1}\in G'$. ואכן:

$\ g[h,k]g^{-1}=ghkh^{-1}k^{-1}g^{-1}={}$

$\ {}=ghg^{-1}gkg^{-1}gh^{-1}g^{-1}gk^{-1}g^{-1}$

$\ \left(ghg^{-1}\right)\left(gkg^{-1}\right)\left(ghg^{-1}\right)^{-1}\left(gkg^{-1}\right)^{-1}={}$

$\ {}=[ghg^{-1},gkg^{-1}$

ולפיכך $\ G'\triangleleft G$.

• תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $\ G/G'$ אבלית, ובאופן מקביל, תת-חבורת הקומוטטורים היא תת חבורה נורמלית המקיימת שחבורת המנה המתאימה היא הגדולה ביותר האפשרית מבין חבורות המנה האבליות. פורמלית, אם $\ G/N$ חבורת מנה אבלית, אז $\ G'\subseteq N$.

• אם $\ f:G\to H$ הוא הומומורפיזם של חבורות, אזי $\ f(G')\subseteq H'$ (למעשה, $\ f(G')$ היא תת-חבורה של $\ H'$).

דוגמאות

• תת-חבורת הקומוטטורים של חבורה אבלית כלשהי היא $\ \lbrace e\rbrace$.

• תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $\ S_{n}$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $\ A_{n}$.

ראו גם

• חבורה (מבנה אלגברי)
• חבורה פתירה