מרחב נורמי

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה מספר ממשי, ומצייתת לשלוש אקסיומות: היא חיובית ומתאפסת רק באפס; היא הומוגנית; והיא מקיימת את אי-שוויון המשולש.

מרחב נורמי שהוא מרחב שלם מכונה "מרחב בנך". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון צפוף בתוך מרחב בנך.

כל מרחב מכפלה פנימית הוא נורמי, על ידי הנורמה המושרית $\ \|\mathbf {v} \|={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}$.

נורמה על מרחב מגדירה מטריקה באופן הבא: $d(\mathbf {x,y} )=\|\mathbf {x-y} \|$. מטריקה זאת בתורה מגדירה טופולוגיה על המרחב - הטופולוגיה הנוצרת על ידי הכדורים הפתוחים במטריקה. לכן רואים במרחב נורמי מקרה פרטי של מרחב וקטורי טופולוגי.

שקילות של נורמות

שתי נורמות על אותו מרחב הן שקולות אם קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים $c,C$, כך שלכל $\mathbf {v} \in V$ מתקיים $c\|\mathbf {v} \|_{1}\leq \|\mathbf {v} \|_{2}\leq C\|\mathbf {v} \|_{1}$. במקרה זה הנורמות משרות את אותה טופולוגיה.

במרחב נורמי בעל ממד סופי כל הנורמות שקולות זו לזו.

קישורים חיצוניים

• מרחב נורמי, באתר MathWorld (באנגלית)
• Equivalence of Norms in Finite Dimension, Colorado State University

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.