בור פוטנציאל אינסופי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בור פוטנציאל אינסופי הוא בור פוטנציאל המגדיר בעיה תאורטית בפיזיקה קוונטית הנקראת חלקיק בקופסה. בור פוטנציאל אינסופי מתואר על ידי אנרגיה פוטנציאלית קבועה (לרוב אפס) בקטע סופי מהמרחב, ואינסופית מחוצה לו. החלקיק שנמצא תחת פוטנציאל כזה תחום באזור סופי של המרחב ואיננו יכול לצאת ממנו, אף לא על ידי מינהור קוונטי. זאת, בניגוד לבור פוטנציאל סופי - אזור במרחב שבו האנרגיה הפוטנציאלית נמוכה יותר מאשר זו שמחוץ לו ולכן קיימת הסתברות למצוא את החלקיק מחוץ לבור. בור פוטנציאל סופי יכול גם לתאר אזור של מינימום מקומי בפוטנציאל שבו החלקיק קשור.

במציאות קיימים רק בורות פוטנציאל סופיים, אך פתרון בעיית הבור האינסופי הוא פשוט והוא משמש לעתים קרובות ביישומים מעשיים משום שהוא מהווה קירוב טוב לבור הפוטנציאל האמיתי (בור פוטנציאל סופי מצריך פתרון של משוואה טרנסצנדנטלית, שאינה פתירה אנליטית). סיבה נוספת לשימוש בקירוב זה היא הפיכת מרחב הילברט של מצבי החלקיק למרחב ספרבילי על ידי מעבר מבסיס מקום רציף (של מרחב אינסופי) לבסיס מקום בן מנייה (של מרחב סופי וחסום).

חלקיק בקופסה חד ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור סכמטי של חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי.
הפתרון לפונקציית הגל

בור פוטנציאל אינסופי המגדיר במרחב אזור סופי שרק בתוכו החלקיק יכול להימצא ובו הוא נע באופן חופשי (ללא השפעת כוח כלשהו) יהיה מהצורה כללית הבאה:

\ V(\vec{r}) = \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{if } \vec{r} \in S \\ \infty & \mbox{if } \vec{r} \notin S 
\end{matrix}\right.

פוטנציאל המגדיר בור פוטנציאל במימד אחד יכול להיות מהצורה:

\ V(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{if } 0 < x < L \\ \infty & \mbox{if } x \leq 0 , x \geq L \end{matrix}\right.

פונקציית צפיפות ההסתברות למציאת החלקיק בנקודה x נתונה על ידי \left | \psi \right |^2, כאשר \psi פונקציית הגל המקיימת את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x)

כאשר \hbar קבוע הפלאנק המצומצם, m מסת החלקיק ו-E האנרגיה שלו.

הפתרון מחייב התאפסות של \ \psi(x) באזורים שבהם הפוטנציאל הוא אינסופי, ובפרט בדפנות הקופסה. בתוך הבור, הפוטנציאל הוא אפס ומשוואת שרדינגר היא:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x) = E\psi(x)

הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית הזו הוא מהצורה:

\ \psi (x) = A\sin{ (k x)} + B\cos{ (k x)}

כאשר A,B קבועים כלשהם ו-k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.

תנאי השפה של התאפסות של \ \psi(x) בקצוות מאלצים את הפתרון:

\ \psi_n (x) = \sqrt{2/L} \sin{ ( n \pi x / L)}

כאשר הקבוע A=\sqrt{2/L} קובע את ההסתברות השלמה להיות 1, ומתנאי השפה: B=0 ו-k=n\pi / L כאשר n מספר טבעי. זהו הביטוי לפונקציות הגל העצמיות בתוך הבור, ומחוץ לבור הן מתאפסות. לכל פונקציה עצמית מתאימה אנרגיה עצמית:

\ E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{ \hbar^2}{2m} \frac{\pi^2 n^2}{L^2}

כלומר, האנרגיות האפשריות של חלקיק שמצוי בבור פוטנציאל אינסופי הן בדידות כתוצאה מכך שמספרי הגל האפשריים של פונקציית הגל חייבים להיות כאלה שמאפסים אותה בקצוות הבור. זאת, לעומת מכניקה קלאסית בה החלקיק נע במהירות קבועה ומוחזר מהקירות בהתנגשויות אלסטיות באופן מחזורי, ויכול לקבל כל אנרגיה קינטית.

בור פוטנציאל דו ממדי ותלת ממדי[עריכת קוד מקור | עריכה]

באותו אופן ניתן למצוא פתרון עבור בור דו ממדי ובור תלת ממדי

המקרה הדו ממדי:

\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( k_{n_x} x \right) \sin \left( k_{n_y} y\right),
E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y}^2}{2m},
 = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right] \,\!

כאשר k הוא וקטור גל

\mathbf{k_{n_x,n_y}} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}}.

המקרה התלת ממדי:

\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( k_{n_x} x \right) \sin \left( k_{n_y} y \right) \sin \left( k_{n_z} z \right),
E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y,n_z}^2}{2m},
 = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right]\,\!

כאשר

\mathbf{k_{n_x,n_y,n_z}} = k_{n_x}\mathbf{\hat{x}} + k_{n_y}\mathbf{\hat{y}} + k_{n_z}\mathbf{\hat{z}} = \frac{n_x \pi }{L_x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{n_y \pi }{L_y} \mathbf{\hat{y}} + \frac{n_z \pi }{L_z} \mathbf{\hat{z}}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]