תורת שטורם-ליוביל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מסוימות ומציאת התנאים שבהם יש להן פתרון ששונה מהפתרון הטריוואלי, \ y \equiv 0 . לתורה שימושים רבים במתמטיקה שימושית ובתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות.

תיאור[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת שטורם-ליוביל (על שם המתמטיקאים שארל שטורם וז'וזף ליוביל) עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מהצורה

{d\over dx}\left(p(x){dy\over dx}\right)+q(x)y=\lambda w(x)y

כאשר \ \lambda הוא פרמטר, המהווה ערך עצמי של אופרטור גזירה הרמיטי מעל מרחב פונקציות שמוגדר על ידי תנאי הקצה, וכל פתרון למשוואה הוא פונקציה עצמית. תנאי ההרמיטיות מבטיח שהערכים העצמיים הם ממשיים.

דוגמאות ושימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת החום[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת החום (נקראת גם משוואת הדיפוזיה) היא משוואה הבאה מעולם התרמודינמיקה ועוסקת במעבר חום דרך הולכה או פעפוע. המשוואה נתונה על ידי

\ \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} = \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}

או בכתיב מקוצר

\ \partial_x^2 \Psi(x,t) = \partial_t \Psi(x,t)

נפתור אותה עם תנאי התחלה

\ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)

ותנאי שפה

\ \Psi(0,t) = \Psi( \pi , t) = 0

נבצע הפרדת משתנים \ \Psi(x,t) = R(x) \cdot T(t) ונקבל אחרי העברת אגפים

\ R''(x)/R(x) = T'(t)/T(t)

מאחר שאגף ימין תלוי רק ב t ושווה לאגף שמאל שתלוי רק ב x נובע שכל אגף שווה לקבוע. (באופן כללי הקבוע יכול להיות שלילי, חיובי או אפס, אבל יש לשים לב שרק קבוע שלילי יתן לנו דעיכה של הטמפרטורה בזמן, ולכן משיקולים פיזיקליים נכון לבחור בו) כלומר:

\ T'(t) = -\omega T(t) \quad , \quad R''(x) = -\omega R(x)

לכן, קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות לכל קבוע הפרדה \ -\omega ובסה"כ מערכת של אינסוף משוואות. נפתור כל משוואה דיפרנציאלית לחוד ונקבל

\ T(t) = T_0 \exp( -\omega t)
\ R(x) = A \sin( \sqrt{\omega} x) + B \cos( \sqrt{\omega} x) .

אם נציב את תנאי השפה נקבל שהפתרון עבור x יהיה מהצורה

\ R_n(x) = A_n \sin(n x) לכל \ 1 \le n \in \mathbb{N}

לכן, יש לנו רק מספר בן מנייה של קבועי הפרדה, והם נתונים על ידי

\ \omega_n = n^2 \quad n = 1,2,3, \cdots.

לכן, קיבלנו אינסוף (ליתר דיוק \aleph_0) פתרונות מהצורה:

\ \Psi_n(x,t) = A_n \sin (nx) \exp( -n^2 t)

זהו בעצם בסיס למרחב הפתרונות של המד"ח.

ואכן, מכיוון שהמד"ח המקורית היא לינארית, כל צירוף לינארי של פתרונות, הפתרון הכללי יהיה

\ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n \sin (nx) \exp( -n^2 t) } = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n e^{-n^2 t} \sin(n x)}

את הקבועים A_n נמצא באמצעות תנאי ההתחלה ושיקולים של אורתוגונליות. מציבים t=0 ואז מקבלים טור פורייה, שהוא פיתוח בבסיס ההרמוני (בסיס של סינוסים וקוסינוסים) בקטע \ [-\pi,\pi]. מאחר שבידינו יש רק סינוסים בטור, נוכל לעשות המשכה אי-זוגית של הפתרון ותנאי ההתחלה ולמצוא את המקדמים A_n כמקדמי הפיתוח של טור פורייה של תנאי ההתחלה.


כעת נפתור אותה עם תנאי התחלה

\ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)

ועם תנאי השפה

\ \Psi(0,t)  = 0 בלבד.

שיטת הפתרון זהה למקרה הקודם, רק שהפעם סט הפתרונות שאנו מקבלים הוא סט רציף:

\ 0 < \omega \in \mathbb{R} \ : \ \Psi_{\omega}(x,t) = \hat{\Psi}(\omega)  \sin( \sqrt{\omega}x) e^{-\omega t}

והפתרון במקרה זה הוא צירוף לינארי אינטגרלי (ולא טור):

\ \Psi(x,t) = \int_{0}^{\infty}{ \hat{\Psi}(\omega) e^{-\omega t} \sin( \sqrt{\omega} x) \ d\omega}

את המקדמים היינו מוצאים על ידי הצבת t=0 וביצוע התמרת פורייה על תנאי ההתחלה.

משוואת שרדינגר[עריכת קוד מקור | עריכה]

דוגמה לפתרון משוואה דיפרנציאלית חלקית בשיטת שטורם-ליוביל ניתן למצוא בערך משוואת שרדינגר. כדי להבין את הסימונים מומלץ לעיין גם במאמר על סימון דיראק.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]