מודול האלסטיות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
עקומת מאמץ-מעוות אופינית לפלדה רכה בעלת אזור נזילה (החלק השקוע בגרף).
שיפוע הקו עד גבול הפרופורציונליות הוא מודול האלסטיות או מודול יאנג של החומר
עקומת מאמץ-מעוות אופינית למתכת ללא נקודת נזילה

בהנדסת חומרים, מודול האלסטיות של חומר או מודול יאנג (על שם תומאס יאנג) הוא היחס בין מאמץ (כוח ליחידת שטח בחומר) למעוות (שינוי בממדי החומר), או בניסוח פשוט יותר ההתנגדות של החומר לשינוי קטן בצורתו באמצעות כוח המופעל עליו, בתחום האלסטי, כלומר התחום בו היחס בין מאמץ למעוות שומר על לינאריות. בשינוי אלסטי החומר חוזר למצבו המקורי כאשר הכוח מוסר. הדיאגרמה המציגה את היחס בין המאמץ והמעוות מכונה עקומת מאמץ-מעוות (או דיאגרמת מאמץ-מעוות), והיא מציגה את היחס ביניהם בכל תחום נתון (כולל זה שאינו מתחום מודול האלסטיות). במודלים פשוטים של חוזק, הדיאגרמה פשוטה יחסית והחומר מתנהג בצורה עקבית. במודלים מסובכים יותר ובחומרים מורכבים הקשר בין מאמץ למעוות חדל להיות לינארי. מודול האלסטיות הוא ערך המבטא את הגמישות של החומר.

מודול האלסטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עמוד ראשיPostscript-viewer-shaded.png
ראו גם – עקומת מאמץ-מעוות

הקשר בין המאמץ לבין המעוות היחסי מגדיר את מודול האלסטיות:

\ E =\frac{\sigma}{\varepsilon}

או

\sigma = E * \varepsilon

הביטוי הזה ידוע גם כחוק הוק.

  • \ E - מודול האלסטיות
  • \ \varepsilon - מעוות יחסי
  • \ \sigma - מאמץ

במוט המועמס למתיחה, המעוות היחסי הוא ההתארכות היחסית:

{\varepsilon}= \frac{\Delta L}{L}
  • L - אורך החלק
  • {\Delta L} - השינוי באורך

תחום האלסטיות (המגדיר את מודול האלסטיות) הוא התחום בו התיאור של עקומת מאמץ - מעוות בצורת הוא לינארי (הקו הישר שבדיאגרמה).

מודול הגזירה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך מורחב: מודול הגזירה

הקשר בין מודול האלסטיות לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי:

\ G=\frac{E}{2(1+\nu)}

הערה: הערכים של מודול האלסטיות, מודול הגזירה, המעוות וערכי המאמץ בדיאגרמת מאמץ - מעוות הם ערכים התלויים ומושפעים מהטמפרטורה של החומר. מבחן המתיחה נערך בטמפרטורת סביבה מוגדרת ומבוקרת.

מצב מאמצים ומעוותים מרחבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאמץ מתיחה בכוון x גורם למתיחת המוט בכוון x, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים y,z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכוון x במקדם פואסון. כך גם בכוונים y,z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה:

 \epsilon_{x} = \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{x} - \nu (\sigma_{y} + \sigma_{z})]
 \epsilon_{y} = \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{y} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{z})]
 \epsilon_{z} = \frac{\sigma_{z}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{z} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{y})]

בחוק הוק עבור חומרים כלליים יותר מקפיץ, k הוא טנזור והוא מיוצג על ידי מטריצה של קשיחות החומר בגודל 9x9. אם החומר הוא לינארי, אלסטי ואיזוטרופי, נדרשים שני קבועים על מנת לקבוע את התנהגותו תחת מאמצים: מודול האלסטיות \ E ומודול הגזירה \ G . כאשר עוסקים במקרה של קפיץ שלא מופעלים עליו כוחות גזירה אז מקבלים את המקרה הפרטי של הקפיץ בו מודול האלסטיות הוא קבוע הקפיץ \ k.

ערכים של מודול האלסטיות למספר חומרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודול האלסטיות לחומרים שונים
חומר מודול האלסטיות (E)בג’יגה פסקל מודול האלסטיות(E) ליברה לאינצ’ מרובע
גומי בתזוזות קטנות 0.01-0.1 1,500-15,000
פוליאתילן 1.5-2 217,000-290,000
פוליאסטר 3-3.5 435,000-505,000
נילון 2-4 290,000-580,000
בטון בלחיצה 30 4,350,000
מגנזיום 45 6,500,000
אלומיניום 69 10,000,000
זכוכית 72 10,400,000
ברונזה 103-124 17,000,000
טיטניום 105-120 15,000,000-17,500,000
ברזל ופלדה 190-210 30,000,000
יהלום 1,050-1,200 150,000,000-175,000,000



הקשר בין מודולי האלסטיות בחומרים אחידים בעלי תכונות זהות בכל הכוונים

מודול יאנג (\ E) | מודול הגזירה (\ \mu) | מקדם פואסון (\ \nu) | הקבוע הראשון של לאמה (\ \lambda) | מודול הנפח (\ K)
כל אחד מקבועי האלסטיות יכול להיות מוגדר באמצעות אחד מזוגות הקבועים האחרים.

(\lambda,\,\mu) (E,\,\mu) (K,\,\lambda) (K,\,\mu) (\lambda,\,\nu) (\mu,\,\nu) (E,\,\nu) (K,\, \nu) (K,\,E)
=K \,
מודול הנפח
\lambda+ \frac{2\mu}{3} \frac{E\mu}{3(3\mu-E)} / / \lambda\frac{1+\nu}{3\nu} \frac{2\mu(1+\nu)}{3(1-2\nu)} \frac{E}{3(1-2\nu)} / /
=E \,
מודול יאנג
\mu\frac{3\lambda + 2\mu}{\lambda + \mu} / 9K\frac{K-\lambda}{3K-\lambda} \frac{9K\mu}{3K+\mu} \frac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} 2\mu(1+\nu)\, / 3K(1-2\nu)\, /
=\lambda \,
הקבוע של לאמה
/ \mu\frac{E-2\mu}{3\mu-E} / K-\frac{2\mu}{3} / \frac{2 \mu \nu}{1-2\nu} \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \frac{3K\nu}{1+\nu} \frac{3K(3K-E)}{9K-E}
=\mu \,
מודול הגזירה
/ / 3\frac{K-\lambda}{2} / \lambda\frac{1-2\nu}{2\nu} / \frac{E}{2+2\nu} 3K\frac{1-2\nu}{2+2\nu} \frac{3KE}{9K-E}
=\nu \,
מקדם פואסון
\frac{\lambda}{2(\lambda + \mu)} \frac{E}{2\mu}-1 \frac{\lambda}{3K-\lambda} \frac{3K-2\mu}{2(3K+\mu)} / / / / \frac{3K-E}{6K}

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0882754203
  • Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
  • S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970. 1991.
  • Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867
  • McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Book Company 1983, ISBN 0-07-045486-8

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]