מודול האלסטיות

דיאגרמת מאמץ – מעוות.
שיפוע הקו עד גבול הפרופורציוניות הוא מודול האלסטיות או מודול יאנג של החומר

מוט עמוס למתיחה

בהנדסת חומרים, מודול האלסטיות של חומר או מודול יאנג (על שם תומאס יאנג) הוא היחס בין מאמץ (כוח ליחידת שטח בחומר) למעוות (שינוי בממדי החומר) בתחום האלסטי, או בניסוח פשוט יותר, ההתנגדות של החומר לשינוי קטן בצורתו באמצעות כוח חלש. שינוי אלסטי חוזר למצבו המקורי כאשר הכוח מוסר. במודלים פשוטים של חוזק, גודל זה קבוע, אך במודלים מורכבים יותר ובחומרים שונים הקשר בין מאמץ למעוות חדל להיות לינארי. מודול האלסטיות הוא ערך המבטא את הגמישות של החומר.

מודול האלסטיות

הקשר בין המאמץ לבין המעוות היחסי מגדיר את מודול האלסטיות:

$\ E =\frac{\sigma}{\varepsilon}$

או

$\sigma = E * \varepsilon$

הביטוי הזה ידוע גם כחוק הוק.

• $\ E$ - מודול האלסטיות
• $\ \varepsilon$ - מעוות יחסי
• $\ \sigma$ - מאמץ

במוט המועמס למתיחה, המעוות היחסי הוא ההתארכות היחסית:

${\varepsilon}= \frac{\Delta L}{L}$

• L - אורך החלק
• ${\Delta L}$ - השינוי באורך

עקומת מאמץ - מעוות:

1. מאמץ מרבי

2. מאמץ נזילה או מאמץ הכניעה

3. גבול הפרופורציוניות

4. מאמץ הרס

5. מעוות שיורי בשעור של 0.2%

תחום האלסטיות הוא התחום בו התאור של עקומת מאמץ - מעוות בצורת קו ישר והוא בקרוב מהראשית עד אזור מאמץ הכניעה. בחומרים שאזור הכניעה איננו ברור כמו בפלדה ואיננו מוצג בצורת נזילה, מגדירים בדרך כלל את נקודת הכניעה כנקודה בה המעוות היחסי שווה למעוות בשעור 0.2%.

מודול הגזירה

ערך מורחב: מודול הגזירה

הקשר בין מודול האלסטיות לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי:

$\ G=\frac{E}{2(1+\nu)}$

• $\ G$ - מודול הגזירה
• $\ \nu$ מקדם פואסון

הערה: הערכים של מודול האלסטיות, מודול הגזירה, המעוות וערכי המאמץ בדיאגרמת מאמץ - מעוות הם ערכים התלויים ומושפעים מהטמפרטורה של החומר. מבחן המתיחה נערך בטמפרטורת סביבה מוגדרת ומבוקרת.

מצב מאמצים ומעוותים מרחבי

מאמץ מתיחה בכוון x גורם למתיחת המוט בכוון x, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים y,z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכוון x במקדם פואסון. כך גם בכוונים y,z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה:

$\epsilon_{x} = \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{x} - \nu (\sigma_{y} + \sigma_{z})]$

$\epsilon_{y} = \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{y} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{z})]$

$\epsilon_{z} = \frac{\sigma_{z}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{z} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{y})]$

בחוק הוק עבור חומרים כלליים יותר מקפיץ, k הוא טנזור והוא מיוצג על ידי מטריצה של קשיחות החומר בגודל 9x9. אם החומר הוא לינארי, אלסטי ואיזוטרופי, נדרשים שני קבועים על מנת לקבוע את התנהגותו תחת מאמצים: מודול האלסטיות $\ E$ ומודול הגזירה $\ G$. כאשר עוסקים במקרה של קפיץ שלא מופעלים עליו כוחות גזירה אז מקבלים את המקרה הפרטי של הקפיץ בו מודול האלסטיות הוא קבוע הקפיץ $\ k$.

ערכים של מודול האלסטיות למספר חומרים

מודול האלסטיות לחומרים שונים
חומר	מודול האלסטיות (E)בג’יגה פסקל	מודול האלסטיות(E) ליברה לאינצ’ מרובע
גומי בתזוזות קטנות	0.01-0.1	1,500-15,000
פוליאתילן	1.5-2	217,000-290,000
פוליאסטר	3-3.5	435,000-505,000
נילון	2-4	290,000-580,000
בטון בלחיצה	30	4,350,000
מגנזיום	45	6,500,000
אלומיניום	69	10,000,000
זכוכית	72	10,400,000
ברונזה	103-124	17,000,000
טיטניום	105-120	15,000,000-17,500,000
ברזל ופלדה	190-210	30,000,000
יהלום	1,050-1,200	150,000,000-175,000,000

הקשר בין מודולי האלסטיות בחומרים אחידים בעלי תכונות זהות בכל הכוונים
מודול יאנג ($\ E$) | מודול הגזירה ($\ \mu$) | מקדם פואסון ($\ \nu$) | הקבוע הראשון של לאמה ($\ \lambda$) | מודול הנפח ($\ K$) כל אחד מקבועי האלסטיות יכול להיות מוגדר באמצעות אחד מזוגות הקבועים האחרים.
$(\lambda,\,\mu)$ $(E,\,\mu)$ $(K,\,\lambda)$ $(K,\,\mu)$ $(\lambda,\,\nu)$ $(\mu,\,\nu)$ $(E,\,\nu)$ $(K,\, \nu)$ $(K,\,E)$ $=K \,$ מודול הנפח $\lambda+ \frac{2\mu}{3}$ $\frac{E\mu}{3(3\mu-E)}$ / / $\lambda\frac{1+\nu}{3\nu}$ $\frac{2\mu(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$ $\frac{E}{3(1-2\nu)}$ / / $=E \,$ מודול יאנג $\mu\frac{3\lambda + 2\mu}{\lambda + \mu}$ / $9K\frac{K-\lambda}{3K-\lambda}$ $\frac{9K\mu}{3K+\mu}$ $\frac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$ $2\mu(1+\nu)\,$ / $3K(1-2\nu)\,$ / $=\lambda \,$ הקבוע של לאמה / $\mu\frac{E-2\mu}{3\mu-E}$ / $K-\frac{2\mu}{3}$ / $\frac{2 \mu \nu}{1-2\nu}$ $\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$ $\frac{3K\nu}{1+\nu}$ $\frac{3K(3K-E)}{9K-E}$ $=\mu \,$ מודול הגזירה / / $3\frac{K-\lambda}{2}$ / $\lambda\frac{1-2\nu}{2\nu}$ / $\frac{E}{2+2\nu}$ $3K\frac{1-2\nu}{2+2\nu}$ $\frac{3KE}{9K-E}$ $=\nu \,$ מקדם פואסון $\frac{\lambda}{2(\lambda + \mu)}$ $\frac{E}{2\mu}-1$ $\frac{\lambda}{3K-\lambda}$ $\frac{3K-2\mu}{2(3K+\mu)}$ / / / / $\frac{3K-E}{6K}$

לקריאה נוספת

• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0882754203
• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970. 1991.

• Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867
• McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Book Company 1983, ISBN 0-07-045486-8

קישורים חיצוניים

• על חוזק וגמישות במוזיאון המדע
• מאגר נתונים לחומרים שונים, באנגלית