מעוות

ערך זה עוסק בשינוי בחומר בהנדסה. אם התכוונתם למונח בגאולוגיה סטרוקטורלית, ראו מעוות (גאולוגיה).

מאמץ - מעוות במערכת צירים קרטזית

מעוות הוא השינוי החל בגוף הנתון תחת מאמץ. מעוות יכול להיות אחיד (הומוגני) בכל חלקי הגוף או בלתי אחיד. הביטוי הכללי למעוות הוא טנזור מעוות סימטרי. לרוב מתייחסים למעוות היחסי שהוא ערך חסר יחידת מידה המגדיר את השינוי ביחס לערך הראשוני לפני הפעלת המאמץ. בחומר אלסטי, הקשר בין המאמץ לבין המעוות נתון על ידי חוק הוק ומתואר באופן גרפי על ידי קו ישר. דיאגרמת מאמץ - מעוות נותנת ערך נסיוני למעוות היחסי כתלות במאמץ הפועל על דגם של החומר הנבדק.

מעוות יחסי במוט

כאשר המוט מתארך במאמץ מתיחה, $\delta \ell$ הוא בעל ערך חיובי וכך גם המעוות היחסי $\varepsilon$. כאשר המוט מתקצר במאמץ לחיצה, $\delta \ell$ בעל ערך שלילי וגם המעוות היחסי $\varepsilon$ בעל ערך שלילי. האורך הראשוני של המוט $\ell_o$ הוא ערך חיובי.

המעוות היחסי כתוצאה ממאמץ הגורם לשינוי אורך של מוט נתון על ידי הביטוי:

$\varepsilon = \frac {\delta \ell}{\ell_o} = \frac {\ell - \ell_o}{\ell_o}$

כאשר

• $\varepsilon$ - המעוות היחסי
• $\ell_o$ - האורך הראשוני של המוט
• $\ell$ - האורך הנוכחי של המוט
• $\delta \ell$ - שינוי האורך של המוט

מעוות צירי לינארי

הביטוי למעוות היחסי בנקודה כלשהי בגוף מתקבל מהשינוי היחסי במרחק בין שתי נקודות:

$\varepsilon = \mathop {\lim_{\ell \to 0}} \frac {{\delta} {\ell} } {\ell}$

כאשר:

• $\varepsilon$ - המעוות היחסי
• ${{\delta} {\ell} }$ - שינוי המרחק בין שתי נקודות קרובות
• $\ell$ - המרחק הנוכחי בין שתי נקודות קרובות לאחר הפעלת המאמץ

באופן כללי נגדיר את המעוות הלינארי בגוף על ידי שינוי המרחק בין שתי נקודות בגוף שנסמן אותן באופן אקראי על ידי A,B.

$\varepsilon_x = \mathop {\lim_{B \to A}}{{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}$

לשדה כלשהו של תזוזות $\overrightarrow u$ המעוות הלינארי נתון על ידי הנגזרות החלקיות:

$\varepsilon_x = {{\partial u_x} \over {\partial x}}$ ; $\varepsilon_y = {{\partial u_y} \over {\partial y}}$ ; $\varepsilon_z = {{\partial u_z} \over {\partial z}}$

כאשר

• $\varepsilon_i$ - מעוות בכוון ציר "i"
• ${{\partial u_i} \over {\partial i}}$ - הנגזרת החלקית של שדה התזוזות$\overrightarrow u$ בנקודה כלשהי בכוון ציר i

מעוות גזירה

מעוות הגזירה מוגדר כשינוי הזוויתי בנקודה כלשהי בגוף בין שני קווים העוברים דרך הנקודה.

$\gamma_{xy} = {{\partial u_x} \over {\partial y}} + {{\partial u_y} \over {\partial x}}$ ; $\gamma_{yz} = {{\partial u_y} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial y}}$ ; $\gamma_{xz} = {{\partial u_x} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial x}}$

כאשר:

• $\ \gamma_{ij}$ - המעוות הזוויתי היחסי

מעוות נפחי

המעוות הלינארי ומעוות הגזירה מגדירים באוםן מלא את המעוות שעובר הגוף. ניתן להגדיר גם מעוות ניפחי

$\vartheta = \lim_{V^{(0)} \to 0}{V - V^{(0)} \over {V^{(0)}}}$

כאשר:

• $\vartheta$ - מעוות נפחי יחסי
• $V^{(0)}\!$ - הנפח ההתחלתי
• $V$ - הנפח הסופי לאחר הפעלת המאמץ

במערכת קורדינטות ישרת זווית (קרטזית) המעוות הנפחי היחסי הוא בקרוב:

$\vartheta = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$

כאשר:

• $\vartheta$ - מעוות נפחי יחסי
• $\varepsilon_x , \varepsilon_y , \varepsilon_z$ הם מעוותים יחסיים בכוון הצירים x, y , z

טנזור מעוותים

נבטא את המעוותים בצורה של טנזור:

$\varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left({\nabla_i u_j + \nabla_j u_i}\right)$

בסימון של אינדכסים:

$\varepsilon = {1 \over 2} ( \vec{\nabla}\vec{u} + (\vec{\nabla}\vec{u})^T)$

במערכת קורדינטות ישרת זווית:

$\varepsilon_{ij}= \left[{\begin{matrix} {\varepsilon _x } & \frac {\gamma _{xy} } {2} & \frac {\gamma _{xz} } {2} \\ \frac {\gamma _{yx} } {2} & {\varepsilon _y } & \frac {\gamma _{yz} } {2} \\ \frac {\gamma _{zx} } {2} & \frac {\gamma _{zy} } {2} & {\varepsilon _z } \end{matrix}}\right]$

המעוות הנפחי הוא:

$\vartheta = \varepsilon_{ij}g^{ij}$

g^ij $\vartheta = tr(\varepsilon)$

נכתוב טנזור מעוותים דו ממדי:

$\varepsilon_{ij}= \left[{\begin{matrix} {\varepsilon _x } & {\frac {\gamma _{xy}} {2}} \\ {\frac {\gamma _{xy}} {2}} & {\varepsilon _y } \\ \end{matrix}}\right]$

המעוותים הראשיים $\varepsilon _1, \varepsilon _2$

$\varepsilon _1 = \frac {\varepsilon _x + \varepsilon _ y}{2} + \sqrt{ \left( \frac {\varepsilon _x - \varepsilon _y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma _{xy}} {2}\right)^2 }$

$\varepsilon _2 = \frac {\varepsilon _x + \varepsilon _ y}{2} - \sqrt{ \left( \frac {\varepsilon _x - \varepsilon _y}{2} \right)^2 + \left( \frac{\gamma _{xy}} {2}\right)^2 }$

קישורים חיצוניים

• מעוות גזירה, אוניברסיטת ויסקונסין-גרין ביי
• מעוות באי פאנדה

לקריאה נוספת

• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976.
• Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983.
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970.
• Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991.