חוק הוק

חוק הוק מודגם באמצעות קפיץ המשנה אורכו בהשפעת כוח חיצוני. היחס בין התזוזה לבין הכוח הוא קבוע הקפיץ

התארכות הקפיץ יחסית לעומס. כוח כפול גורם לתזוזה כפולה, כך גם התארכות הגוף יחסית למאמץ

חוק הוק הוא חוק פיזיקלי המציג את היחס הישר בין מאמץ לבין מעוות יחסי והיחס ביניהם הוא מודול האלסטיות.

כוח הפועל על קפיץ גורם לתזוזה יחסית לכוח ויחסית לקבוע הקפיץ . החוק נקרא על שמו של הפיזיקאי בן המאה ה-17 רוברט הוק. מתקיים:

$\ F=-k \Delta x$

כאשר:

• $\ F$ הוא הכוח של הקפיץ
• $\ k$ הוא קבוע הקפיץ
• $\ \Delta x$ היא תזוזת הקפיץ בהשפעת הכוח

חוק הוק

המאמץ משמש כאן בתפקיד הכוח הפועל על הקפיץ. המעוות היחסי משמש בתפקיד התזוזה של הקפיץ ומודול האלסטיות משמש בתפקיד קבוע הקפיץ. גוף הנתון במאמץ משנה את אורכו כתלות במאמץ ובתכונת החומר. אם המאמץ הוא מאמץ מתיחה, נסמן אותו בסימן + (פלוס) והגוף יתארך. אם המאמץ הוא מאמץ לחיצה, נסמן אותו בסימן - (מינוס) והגוף יתכווץ. הקשר בין המאמץ לבין המעוות היחסי במצב מאמצים חד ממדי מגדיר את מודול האלסטיות:

$\ E =\frac{\sigma}{\varepsilon}$

ובצורה שתאפשר דיון תלת ממדי:

מצב מאמצים ומעוותים מרחבי. מאמץ המשיכה גורם למתיחת הגוף לאורכו ולהתכווצות הגוף בשני הממדים הניצבים

$\varepsilon= \frac{\sigma}{E}$

• $\ E$ - מודול האלסטיות
• $\varepsilon$ - מעוות יחסי
• $\ \sigma$ - מאמץ

במוט המועמס למתיחה או לחיצה, המעוות היחסי הוא ההתארכות היחסית:

${\varepsilon}= \frac{\Delta L}{L}$

• ההתארכות היחסית יכולה להיות חיובית או שלילית
• L - אורך החלק
• ${\Delta L}$ - השינוי באורך

התאור הגרפי של חוק הוק הוא הקו המשופע הישר (מראשית הצירים עד נקודה 3) בדיאגרמת מאמץ - מעוות

הקשר בין מודול האלסטיות (במתיחה) לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי:

$\ G=\frac{E}{2(1+\nu)}$

• $\ G$ - מודול הגזירה
• $\ \nu$ - מקדם פואסון

דיאגרמת מאמץ - מעוות

הנקודות המסומנות על גבי הדיאגרמה:

1. מאמץ מרבי

2. מאמץ בתחום הפלסטי

3. מאמץ הכניעה, גבול האלסטיות

4. מאמץ ההרס

5. מעוות שיורי

תחום האלסטיות הוא התחום בו התאור של עקומת מאמץ - מעוות בצורת קו ישר והוא בקרוב מהראשית עד אזור מאמץ הכניעה. בחומרים שאזור הכניעה איננו ברור כמו בפלדה ואיננו מוצג בצורת נזילה, מגדירים בדרך כלל את נקודת הכניעה כנקודה בה המעוות היחסי שווה למעוות בשעור 0.2%.

מצב מאמצים ומעוותים מרחבי

מאמצים בקוביה דיפרנציאלית

מאמץ מתיחה בכוון x גורם למתיחת המוט בכוון באותו כוון X, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים Y,Z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכוון X במקדם פואסון. כך גם בכוונים Y,Z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה:

$\epsilon_{x} = \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{x} - \nu (\sigma_{y} + \sigma_{z})]$

$\epsilon_{y} = \frac{\sigma_{y}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{z}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{y} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{z})]$

$\epsilon_{z} = \frac{\sigma_{z}}{E} - \nu \frac{\sigma_{x}}{E} - \nu \frac{\sigma_{y}}{E} = \frac{1}{E} [\sigma_{z} - \nu (\sigma_{x} + \sigma_{y})]$

בחוק הוק עבור חומרים כלליים יותר מקפיץ, k הוא טנזור והוא מיוצג על ידי מטריצה של קשיחות החומר בגודל 9x9. אם החומר הוא לינארי, אלסטי ואיזוטרופי, נדרשים שני קבועים על מנת לקבוע את התנהגותו תחת מאמצים: מודול האלסטיות $\ E$ ומודול הגזירה $\ G$. כאשר עוסקים במקרה של קפיץ שלא מופעלים עליו כוחות גזירה מקבלים את המקרה הפרטי בו מודול האלסטיות הוא קבוע הקפיץ $\ k$.

אנרגיה

במונחים של אנרגיה חוק הוק הוא קירוב הרמוני של האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ עבור הפרעות קטנות ("קירוב תנודות קטנות"). קירוב בו מפתחים את האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ סביב מצב שיווי המשקל שלו. אם בנקודה $\ x_0$ הקפיץ נמצא בשיווי משקל (אנרגיה פוטנציאלית מינימלית), אזי בקירוב, האנרגיה הפוטנציאלית שלו כתלות במרחק מנקודת שיווי המשקל יהיה:

$\ U = \frac{1}{2} k ( x - x_0 )^2$

קישורים חיצוניים

• חוק הוק, קבועי Lamé, ויחסי מאמץ - מעוות, באנגלית
• מאמצים ומעוותים, באנגלית
• מאמץ, מעוות וחוק הוק, באנגלית
• היחס בין מאמץ לבין מעוות, באנגלית
• דוידסון אונליין - שאל את המומחה: מהו חוק הוק וקבוע הכוח (K)?

לקריאה נוספת

• Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. ISBN 0882754203
• Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983, ISBN 0070454868
• S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970..
• Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867