מרכז מסה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מרכז המסה הוא מונח בפיזיקה שנמצא בשימוש רב במיוחד במכניקה. מרכז המסה של מערכת גופים או חלקיקים הוא נקודה במרחב שמסת המערכת כולה מתנהגת (לצרכים רבים) כאילו היא מרוכזת בה. מקומו של מרכז המסה הוא פונקציה של המקום והמסה של כל הגופים המרכיבים את המערכת. בהקשר לכוח הכובד מכונה מרכז המסה גם "מרכז הכובד". בתורת היחסות הפרטית מוחלף מושג זה במרכז האנרגיה שהוא בעל משמעויות דומות.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מרכז המסה של אוסף בדיד של מסות נקודתיות \ m_i הממוקמות בנקודות  \vec r_i מוגדר על ידי:
\vec{R}_{c.m.} = \frac 1M \sum_i m_i \vec{r}_i
כאשר \ M=\sum_i m_i היא המסה הכוללת של המערכת.
  • מרכז המסה של גוף רציף בעל צפיפות מסה  \rho(\vec r) מוגדר על ידי:
\vec R_{c.m.} =\frac 1M \int \vec{r} \; dm = \frac 1M \int\rho(\vec{r})\, \vec{r} \ dV
כאשר האינטגרל הוא על נפח הגוף.

בכל מקרה מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של מיקום המסות המרכיבות את המערכת/הגוף.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרכז מסה של שני גופים
  • מרכז מסה של מערכת המורכבת משתי מסות  m_1 , m_2 הנמצאות במרחק x זו מזו, נמצא על הקו המחבר בין שתי המסות, במרחק  \frac{m_2}{m_1+m_2} x מהמסה  m_1 ובמרחק  \frac{m_1}{m_1+m_2} x מהמסה  m_2 .

מרכז המסה קרוב יותר למסה הגדולה יותר ונמצא בדיוק באמצע (בין שתי המסות) עבור מסות שוות.

מרכז מסה של שולחן, נמצא מחוץ לשולחן עצמו
  • מרכז המסה של גוף יכול להיות מחוץ לגוף עצמו, לדוגמה מרכז המסה של שולחן יכול להיות מתחת לשולחן.
  • עבור גופים פשוטים בעלי צפיפות אחידה, מרכז המסה מתלכד עם המרכז הגאומטרי של הגוף, לדוגמה:

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרים רבים נח להשתמש במערכת צירים שראשיתה ממוקמת במרכז המסה ונעה יחד איתו. זאת כיוון שמרכז המסה של מערכת נע בהשפעת כוחות חיצוניים בלבד, כלומר רק כוחות שמפועלים על המערכת מבחוץ משפיעים על תנועתו. כמו כן ניתן לפרק את האנרגיה הקינטית של מערכת לאנרגיה הקינטית של החלקים המרכיבים אותה יחסית למרכז המסה ועוד האנרגיה הקינטית של גוף נקודתי בעל המסה הכוללת של המערכת שנמצא במרכז המסה. במקרים בהם לא פועלים כוחות חיצוניים או פועל כח הגרביטציה בלבד, תנועת מרכז המסה פשוטה לחישוב. כך ניתן לדוגמה לפרק תנועה מורכבת של גוף צפיד לתנועה של מרכז המסה שלו וסיבוב של הגוף סביב מרכז המסה.

שני גופים (כוכב ולווין) מסתובבים סביב מרכז המסה שלהם

למרכז המסה יש חשיבות גדולה באסטרונומיה. זאת כיוון שבמערכת המורכבת משני גופים הנמשכים זה לזה על ידי כח הגרביטציה (כגון כוכב ולוויין), כל אחד מן הגופים נע במסלול אליפטי סביב מרכז המסה המשותף שלהם. כך למשל כדור הארץ נע במסלול אליפטי סביב מרכז המסה של כדור הארץ והשמש (ולא סביב השמש עצמה).

מרכז כובד[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרכז המסה מכונה גם בשם מרכז הכובד. זאת כיוון שבאופן אפקטיבי כח הכובד, שהוא בקירוב אחיד בקרבת כדור הארץ, פועל על מרכז המסה של המערכת. לפיכך בחישובי מומנטים הפועלים על גוף, נקודת הפעולה של כח הכובד היא במרכז המסה של הגוף.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]