מכניקה של גוף קשיח

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גירוסקופ המאופיין בתנועה סיבובית מורכבת הנחקרת במסגרת מכניקת הגוף הקשיח

מכניקה של גוף קשיח הנה ענף פיזיקלי החוקר את תכונותיהם ותנועתם של גופים קשיחים (הנקראים לעתים "צפידים"). "גוף קשיח" הוא גוף אשר איננו משנה את צורתו במהלך התנועה או, במינוח מדויק יותר, זהו צבר חלקיקים אשר המרחק בין כל שניים מהם נותר קבוע במהלך כל התנועה. מודל זה מוגבל לתיאור מצבים בהם ניתן להניח כי הגוף לא שינה את צורתו במהלך התנועה, או לחלופין, ששינוי הצורה של הגוף אינו משמעותי לניתוח התופעה. ענף זה של המכניקה מטפל במספר תופעות הנוגעות לגופים קשיחים ובפרט מאפשר לנתח את תנועתם הסיבובית של גופים קשיחים סביב עצמם. הכלים של מכניקת הגוף הקשיח מאפשרים את ניתוחם ותכנונם של גופים כדוגמת הסביבון, הנדנדה וגירוסקופ, כמו גם גלגלי שיניים ורכיבים מכניים נוספים.

הקשר לדינמיקה של חלקיק יחיד[עריכת קוד מקור | עריכה]

באיור מומנטי התמד של גופים שונים. מומנט ההתמד הוא מדד להתנגדות של גוף קשיח לשינוי במהירות הזוויתית שלו.

בדינמיקה הקלאסית של חלקיק יחיד, (בהקשר זה בכוונה של "גוף נקודתי") על מנת לתאר תנועה של חלקיק יש צורך בשלושה גדלים (לדוגמה: קואורדינטות האורך, הרוחב והגובה שלו), היות שהחלקיק יכול לנוע בשלושה כיוונים. במינוח פיזיקלי, לחלקיק יחיד יש 3 דרגות חופש מרחביות. עקב היותו קשיח אין לו דרגות חופש פנימיות. ניתן להראות כי לגוף קשיח, על אף שהוא מורכב ממספר גדול מאוד של חלקיקים, יש בדיוק 6 דרגות חופש: תנועה בשלושה כיוונים, וסיבוב סביב שלושה צירים. בדומה לדינמיקה של חלקיק יחיד (ובאופן כללי יותר, בדומה לכל מערכת המילטונית עם מספר סופי של דרגות חופש), הדינמיקה של הגוף הקשיח מתארת את השינוי בזמן של שש הקואורדינטות של הגוף בכפוף לכוחות הפועלים עליו. ניתן לפרק את תנועתו של גוף קשיח לתנועה קווית של מרכז המסה ולתנועה סיבובית של הגוף סביב עצמו. פירוק זה שימושי במיוחד, כיוון שתנועתו של מרכז המסה מתוארת לחלוטין על ידי הדינמיקה של חלקיק יחיד. באופן ציורי ניתן לומר כי מרכז המסה נע כאילו הוא היה חלקיק יחיד, והוא בכלל "לא יודע" שמחובר אליו גוף גדול. לעומת זאת, תנועתו הסיבובית של הגוף סביב עצמו היא מסובכת יותר ודורשת כלים מתמטיים מורכבים יותר כדי לנתחה.

הגדלים היסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניתוח דינמיקה של חלקיק יחיד נהוג להגדיר מספר גדלים: מהירות, תנע, אנרגיה, וכיוצא בזה. ניתן להגדיר גדלים דומים עבור תנועה של גוף קשיח.

  • התנע הקווי של גוף נקודתי מוגדר כמכפלת מהירותו של הגוף במסתו, או בניסוח מתמטי: \vec p=m\vec v. ההיטל של וקטור התנע על ציר מסוים מהווה, באופן אינטואיטיבי, מדד ל"כמות התנועה" בציר זה. באופן דומה, ההיטל של וקטור התנע הזוויתי על ציר מסוים מהווה מדד ל"כמות הסיבוב" סביב ציר זה. התנע הזוויתי מוגדר כמכפלה וקטורית של מיקום הגוף בתנעו הקווי, או בשפה מתמטית:\vec L=\vec r\times\vec p. יש לשים לב שבעוד שהתנע הקווי מקביל למהירות, וקטור התנע הזוויתי ניצב למישור הסיבוב של הגוף. ניתן גם להציג את התנע הזוויתי על ידי מכפלת מומנט ההתמד שלו במהירותו הזוויתית \ \vec L = I\vec\omega (ראו הסבר בהמשך).
  • החוק השני של ניוטון קובע כי נגזרתו של התנע הקווי לפי הזמן היא גודל הכוח הפועל הגוף, או בשפה מתמטית: \sum \vec F=m \vec a. בפשטנות, גודל זה הוא ה"גורם" לשינוי בתנועה הקווית. המקביל הסיבובי אליו, ה"גורם" לשינוי בתנועה הסיבובית של הגוף הקשיח, נקרא מומנט כוח ומוגדר כמכפלה ווקטורית בין הכוח למיקומו של הגוף. בשפה מתמטית:  \vec \tau = \vec{r} \times \vec{F} . הכללה ישירה של החוק השני של ניוטון קובעת כי  \vec\tau=\frac{d}{dt}\vec L=I\vec\alpha. כלומר, בהיעדר מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי במערכת נשמר.
  • בדינמיקת החלקיק, מהווה המסה מדד להתנגדותו של גוף לשינוי תנועתו הקווית. הגודל המקביל בדינמיקה של גוף קשיח נקרא מומנט התמד, המבטא מדד להתנגדותו של גוף לשינוי בתנועה הסיבובית שלו. היות שניתן לסובב גוף במספר כיוונים, מומנט ההתמד לא יכול להיות מורכב ממספר אחד בלבד (כמו המסה) אלא צריך להכיל מידע על התנגדות הגוף לסיבוב בכל הכיוונים. בשפה פיזיקלית אומרים כי מומנט ההתמד הוא טנזור (בניגוד למסה שהיא סקלר). עם זאת, בבעיות פשוטות שבהן הגוף מסתובב תמיד סביב ציר אחד (כמו במקרה של קרוסלה, לדוגמה) ניתן להחליף את הטנזור המלא של מומנט ההתמד במספר יחיד. קל לייצג את מומנט ההתמד על ידי מטריצה, ובכל פעם ש \ \vec I מופיע באחת המשוואות הרשומות למעלה יש להבין את המשוואה כמכפלה של מטריצה בוקטור (לדוגמה, בנוסחא \ \vec L = I\vec\omega מתקבל כי יש מצבים בהם התנע הזוויתי אינו מקביל למהירות הזוויתית).

תובא להלן טבלה המדגימה את הגדלים המקבילים המתארים את תנועתו הקווית והסיבובית של הגוף:

תנועה קווית של גוף נקודתי תנועה סיבובית של גוף קשיח
תנע קווי - \vec{{P}} תנע זוויתי - \vec{{L}}
כוח - \vec{{F}} מומנט הכוח - \vec{{\tau}}
מסה - \ {{m}} מומנט ההתמד - \ I_{{ab}}
העתק קווי - \vec{{x}} זווית הסיבוב - \theta
מהירות קווית - \vec{{v}} מהירות זוויתית - \vec{{\omega}}
תאוצה קווית - \vec{{a}} תאוצה זוויתית - \vec{{\alpha}}
\vec{{F}}=m \vec a \vec{{\tau}}=I \vec \alpha
אנרגיה קינטית קווית - K=\frac{{mv^2}}{{2}} אנרגיה קינטית זוויתית- K=\frac{{I \omega^2}}{{2}}
תנועה מורכבת של גוף קווי המורכבת מסיבוב סביב צירו (בירוק), תזוזה של ציר הסיבוב הנקראת "נקיפה" (בכחול) ומסטיות ממנה הנקראות "נוטציות" (באדום)

תוצאות חשובות של התורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת הגוף הקשיח ישנן מספר תוצאות חשובות הנוגעות לתנועתם של גופים קשיחים. תובא כאן סקירה של מספר נקודות מרכזיות.

צירי התנועה ה"טבעיים" של המטוס

הערכים העצמיים של המטריצה המייצגת את מומנט ההתמד של הגוף הקשיח נקראים "מומנטי ההתמד שסביב הצירים הראשיים". כיוון שטנזור ההתמד מיוצג על ידי מטריצה סימטרית, ניתן ללכסן אותו עבור כל גוף קשיח. בצורתו המלוכסנת של הטנזור, הצירים המתאימים לרכיביו נקראים "צירי התנועה העיקריים" (או, "צירי התנועה הטבעיים") והערכים על האלכסון הם מומנטי ההתמד העיקריים. לצירים הראשיים של גוף יש חשיבות רבה, כיוון שכאשר גוף מסתובב סביב ציר ראשי שלו, ציר הסיבוב נשאר קבוע. כלומר, לא מתרחשת נקיפה. תוצאה חשובה זו מראה שלכל גוף קשיח קיימים שלושה צירים (לפחות) שסביבם ניתן לסובב את הגוף וציר הסיבוב יישאר קבוע. פרט לחשיבות התאורטית של התופעה, יש לה גם שימוש מעשי חשוב: במוסך מאזנים את גלגל הרכב, המכונאי בעצם דואג לכך שציר הסיבוב הראשי של הגלגל יהיה מקביל לסרן המכונית, שאם לא כן, הגלגל "ירצה" לשנות את ציר הסיבוב שלו, מה שיגרום להפעלת כוח על הסרן ויכול אף להביא לשבירתו.

מבחינה מתמטית, מקלה צורתו המלוכסנת של הטנזור על כתיבת חלק מן המשוואות. כך, למשל, האנרגיה הקינטית הכוללת במצב זה היא סכום האנרגיות המתקבלות מתנועה סביב כל אחד מהצירים. [1]

המשוואות המתארות תנועות מורכבות של גוף קשיח, בפרט כאלו הכוללות נקיפה ונוטציה, נקראות משוואות אוילר, על שמו של הפיזיקאי והמתמטיקאי לאונרד אוילר. אלו הן שלוש משוואות הקושרות את מומנטי ההתמד של הגוף סביב ציריו העיקריים, מומנטי הכוח הפועלים עליו, המהירויות הזוויתיות סביב צירים אלו וקצב השינוי שלהן(התאוצה הזוויתית) במערכת הייחוס של הגוף הנע. ‏‏[2]

משפט שטיינר[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט שטיינר הוא כלי חישובי המאפשר את קביעת מומנט ההתמד של גוף סביב ציר תנועה מסוים, בהינתן מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר מקביל, הממוקם במרכז המסה של הגוף. אם \ I_{cm} הוא מומנט ההתמד סביב ציר העובר במרכז המסה, אז \ I_s, מומנט ההתמד סביב ציר אחר המקביל לציר הקודם נתון על ידי הנוסחא \ I_s = I_{cm} + m d^2 כאשר m היא מסת הגוף ו-d המרחק בין הצירים.

גוף קשיח בתורת היחסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת היחסות שוללת את קיומם של גופים קשיחים, שכן כאשר מתחיל לפעול כוח על גוף לא ייתכן שכל חלקיו יתחילו לנוע באופן מיידי, בגלל המגבלה של העברת האינפורמציה (קרי – תגובת חלקיו הרחוקים ביחס לנקודת הפעלת הכוח) במהירות הנמוכה ממהירות האור. לכן, אין טעם לדבר על מכניקה יחסותית של גוף קשיח במובן הפשוט. עם זאת, למושגים כמו תנע זוויתי יש חשיבות רבה בתורת היחסות.


ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיינו גם בפורטל

P physics-2.png

פורטל הפיזיקה מהווה שער לחובבי הפיזיקה ולמתעניינים בתחום. בפורטל תוכלו למצוא מידע על פיזיקאים חשובים, על ענפי הפיזיקה, על תאוריות פיזיקליות ועוד.

תחומים קרובים

בפיזיקה ובמתמטיקה

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏בכתיב מתמטי: K=\frac{{1}}{{2}}I_{11} \omega_1^2+\frac{{1}}{{2}}I_{22} \omega_2^2+\frac{{1}}{{2}}I_{33} \omega_3^2.‏
  2. ^ ‏המשוואות הן
    
\begin{matrix}
I_1\dot{\omega}_{1}+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3 &=& M_{1}\\
I_2\dot{\omega}_{2}+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1 &=& M_{2}\\
I_3\dot{\omega}_{3}+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2 &=& M_{3}
\end{matrix}
    כאשר \ M הוא מומנט כוח. ‏