משוואת קלאוזיוס-קלפרון

דיאגרמת פאזות T-P

משוואת קלאוזיוס-קלפרון (Clausius-Clapeyron, על שם רודולף קלאוזיוס ואמיל קלפרון) בתרמודינמיקה, היא משאווה המתארת את הקשר בין הלחץ והטמפרטורה במעבר בין שני מצבי צבירה של החומר.

נהוג לתאר את מצבי הצבירה של החומר בדיאגרמת פאזות T-P. זהו תרשים דו-ממדי שבו ציר x הוא הטמפרטורה T ואילו ציר y הוא הלחץ P. בתרשים מציירים את העקומות המפרידות בין מצבי הצבירה של החומר: גז, נוזל ומוצק. בקווים המחברים בין שני אזורים החומר יכול להימצא בשיווי משקל בשתי הפאזות - כלומר חלק מהחומר בפאזה אחת והשאר בפאזה השנייה, מסיבה זו הם נקראים "קווי דו-קיום". משוואת קלאוזיוס-קלפרון מאפשרת לחשב את הקווים האלה.

משוואת קלאוזיוס-קלפרון לקווי הדו-קיום היא:

$\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T\Delta V}$

כאשר $\ dP/dT$ הוא השיפוע (נגזרת) של עקומת הדו-קיום, $\ L$ הוא החום הכמוס, $\ T$ היא הטמפרטורה ו-$\ \Delta V$ הוא השינוי בנפח בעת שינוי הפאזה.

הסקת המשוואה

נניח שתי פאזות, I ו-II, שנמצאות במגע תרמי ושיווי משקל אחת עם השנייה. אזי הפוטנציאלים הכימיים מקיימים את הקשר μ_I = μ_II. מאחר שזה נכון בכל נקודה בעקומת הדו-קיום, על עקומה זו מתקיים dμ_I = dμ_II. כעת, נעזר בקשרי גיבס-דוהם

$\ d\mu = -sdT + vdP$ (כאשר s ו-v הם האנטרופיה והנפח פר חלקיק, בהתאמה)

כדי לקבל את הקשר

$\ -(s_I-s_{II}) dT + (v_I-v_{II}) dP = 0$

נעביר אגפים ונחלק dP ב-dT ונקבל

$\ \frac{dP}{dT} = \frac{s_I-s_{II}}{v_I-v_{II}}$

בתהליך הפיך מתקיים שהשינוי בחום δQ נתון על ידי δQ=T dS ולכן החום שהושקע בשינוי מצב הצבירה הוא

$\ L= T (s_I-s_{II})$

וזו בדיוק ההגדרה של חום כמוס.

נציב זאת במשוואה לעיל ונקבל את נוסחת קלאוזיוס-קלפרון.

יישומים

המשוואה משמשת כדי לחשב האם מעבר פאזה כלשהו יתרחש או לא.

לדוגמה, כדי להסביר החלקה על הקרח: הלחץ המוגבר של המחליק על הקרח גורם לו להתנזל. האם הסבר זה אכן נכון?

אם T = −2 °C אפשר להשתמש במשוואה עבור מעבר פאזה ממוצק לנוזל, ואז

${\Delta P} = \frac{L}{T\Delta V} {\Delta T}$

ובהצבת נתונים אופיינים: L = 3.34*10⁵ J/kg, T=271K, $\Delta V$ = -9.05 *10^-5m³/kg,

ואת העובדה שהלחץ גורם לשינוי ב-2 מעלות קלווין,

$\Delta T$ = 2K,

נקבל שהשינוי בלחץ יהיה

$\Delta P$ = 27.2 MPa.

השווה ללחץ שמפעיל מתאבק סומו (כ-150 ק"ג) שעומד על נעלי עקב (שטח של חצי סמ"ר)! כלומר, הלחץ גדול מדי מכדי שהקרח יתמוך בו ולכן זה לא ההסבר לתופעה.

ראו גם

• מצב צבירה
• טמפרטורה
• לחץ
• חום כמוס