מרחב האוסדורף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מרחב האוסדורף הוא מרחב טופולוגי שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות, כלומר, לכל שתי נקודות במרחב יש סביבות פתוחות וזרות. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי פליקס האוסדורף. הם נקראים גם מרחבי T_2, על-פי עוצמתה של אקסיומת ההפרדה שהם מקיימים. כל המרחבים המטריים הם מרחבי האוסדורף.

התכנסות במרחבי האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב האוסדורף X לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד, שהרי, אילו x,y היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, אז כל סביבה שלהן הייתה צריכה להכיל כמעט את כל אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות.

במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה הקו-סופית, סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האברים). משום כך, מושג הגבול שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף.

תכונות של מרחבי האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב האוסדורף כל נקודה היא קבוצה סגורה. הוכחה: תהי P נקודה כלשהי במרחב. לכל נקודה אחרת יש קבוצה פתוחה שאינה מכילה את P. איחוד כל הקבוצות האלו נותן את המשלים של P. מאחר שזהו איחוד של קבוצות פתוחות, מתקבלת קבוצה פתוחה. והמשלים שלה הוא {P}. המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, כנדרש.

דוגמה למרחב האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרבית המרחבים שנתקלים בהם הם מרחבי האוסדורף. למשל R (המספרים הממשיים) או C (המספרים המרוכבים) הם מרחבי האוסדורף, עם הטופולוגיה המטרית המושרית עליהם.

מישור מור הוא דוגמה למרחב טופולוגי ספרבילי המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו קומפקטי מקומית ואינו נורמלי.

דוגמה למרחב שאינו האוסדורף[עריכת קוד מקור | עריכה]

לבניית מרחב שאינו האוסדורף ניתן להסתכל על הישר הממשי R, בתוספת נקודה, נסמנה 0'. נרצה לתאר כאילו 0' מקבילה ל- 0 הממשי הרגיל, אך אינה אותה נקודה. כלומר כל קבוצה מהצורה (x,0-) איחוד (x,0) איחוד {0'} היא קבוצה פתוחה. בנוסף כל קבוצה פתוחה בישר הממשי תחשב פתוחה, זהו למעשה הבסיס הפתוח של הטופולוגיה במרחב.

ניתן לראות כי במרחב זה אין שתי קבוצות פתוחות זרות כך שאחת מכילה את 0 והשנייה מכילה את 0'. ולכן אינו האוסדורף.

דוגמה נוספת: טופולוגיה קו-סופית על קבוצה אינסופית מגדירה מרחב שאינו האוסדורף, שכן כל קבוצה פתוחה לא-ריקה כוללת את כל הנקודות ב-X פרט למספר סופי, ולכן אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.