משתמש:Mintz l/זמני/שיטות אנרגיה

שיטות אנרגיה הן שם כולל לטכניקות בתורת האלסטיות לפתרון בעיות סטטיות, אשר מבוססות על עקרון שימור האנרגיה. במבנה אלסטי קיימים קשרים פשוטים יחסית בין מאמצים, עיבורים, הזזות, תכונות החומר ועומסים חיצוניים. בעזרת טכניקה זו ניתן לפתור בעיות לא מסוימות סטטית חיצונית ובעיות לא מסוימות סטטית פנימית. כלומר, כאשר משוואות שווי המשקל אינן מספיקות. כמו כן, ניתן להשתמש בשיקולים אנרגטיים לשם מציאת פתרון מקורב לבעיות מסובכות אשר היו מצריכות לפתור משוואות דיפרנציאליות חלקיות.

קיטלוג

עקרונות כלליים

• עקרון העבודה הוירטואלית
  • עקרון התזוזות הוירטואליות
  • עקרון הכוחות הוירטואליים
    • שיטת dummy force load
• עקרונות בחשבון וריאציות

מערכות אלסטיות

• עקרון אנרגיה פוטנציאלית כוללת מינימלית
• עקרון פוטנציאל העבודה הסטציונרי (אנרגיה משלימה)
• החוק הראשון של קסטיליאנו (עבור כוחות)

מערכות אלסטיות לינאריות

• החוק השני של קסטיליאנו (עבור תזוזות)
• משפט בטי
• עקרון מילר-ברסלאו

יישומים

• חשבון וריאציות
• שיטות קירוב
• שיטת אלמנטים סופיים

קיימות מספר שיטות אנרגיה:

• חוקי קסטיליאנו
• עקרון האנרגיה המשלימה.
• עבודה וירטואלית.
• עקרון האנרגיה המינימלית.
• עקרון ריילי-ריץ.
• משפט קלפרון.
• משפט בטי-מקסוול.
• עקרון העומס המדומה (Dummy force load).

הגדרות

• $\ Q_{i}$ - "כוחות מוכללים" (עומסים): מומנטים, כוחות, ומתייחסים אליהם כאל בלתי תלויים זה בזה.
• $\ q_{i}$ - "תזוזות מוכללות" (שקיעות): תזוזה, זוית. רכיב ההזזה יילקח תמיד בכיוון הכוח המוכלל.
• $\ W$ - עבודת העומסים החיצוניים.
• $\ U$ - אנרגיית עיבורים אלסטיים האגורה במבנה. אנו מניחים כי העמיסה היא קווזיסטטית, ולכן $\ W=U$.
• $\ f_{ij}$ - מטריצת מקדמי ההשפעה (מעין מטריצת קשיחות מוכללת). מקדמי ההשפעה הם מודול יאנג עבור תזוזות, ואילו עבור דפורמציה זוויתית הם ההתנגדות לפיתול. מטריצת מקדמי ההשפעה יכולה להכיל את שני סוגי הקשיחויות.
• $\ k_{ij}$ - המטריצה ההפוכה של f. על פי משפט ההדדיות של מקסוול, שתי המטריצות האלה הן סימטריות: $\ f_{ij}=f_{ji},k_{ij}=k_{ji}$.

מהגדרות אלו נוכל לכתוב את הביטויים הבאים:

$\ Q_{i}=k_{ij}q_{j}\quad ,\quad dW=Q_{i}dq_{i}$

$W={\frac {1}{2}}Q_{i}q_{i}={\frac {1}{2}}k_{ij}q_{i}q_{j}={\frac {1}{2}}f_{ij}Q_{i}Q_{j}$

בעיות לא מסוימות סטטית חיצונית

ע"פ עקרון הסופרפוזיציה, בבעיה לא מסוימת סטטית נחליף סמכים או ריתומים בכח לא ידוע ונכתיב עבורו אילוץ, אשר בדרך כלל יהיה תזוזה 0. במצב סטטי לא מסוים, למרות שאנו יודעים את הQים, יש בעיה בלחשב ריאקציות של ריתומים וסמכים "מיותרים". לכן מבצעים העברה מלאכותית למצב סטטי מסוים: מחליפים סמכים (אילוצים) בכוחות לא ידועים, עד אשר הבעיה הופכת לסטטית מסוימת. בכל שלבי הפתרון יופיעו ביטויים לכוחות לא ידועים אלו, ובסוף נציב תנאים על התזוזות עקב כוחות אלה. למעשה, אנו עוקפים בעיה מתמטית בכך שאנו מתייחסים לכוחות (המדומים!) כאל כוחות בלתי תלויים בבעיה.

בעיות לא מסוימות סטטית פנימית

בעיות כאלו מסובכות יותר מאי מסוימות סטטית חיצונית, אך העקרון זהה. נסלק את אי המסוימות הפנימית על ידי הכנסת כוחות לא ידועים, עד אשר הבעיה החדשה הופכת לסטטית. לאחר מכן משתמשים במשפט קסטיליאנו ובאילוצים השונים במקומות בהם הכסנו את הכוחות. בבעיות רבות ניתן לנצל את הסימטריה אשר מקלה על הפתרון.

אנרגית עיבורים

אנרגיה משלימה

אנרגיית עיבורים היא האנרגיה האגורה בגוף כתוצאה מדפורמציה (אלסטית או פלסטית). השטח מתחת לגרף מאמץ עיבור הוא אנרגיית העיבור ליחידת נפח. מאחר והשינוי באנרגיה הפנימית שווה לעבודה החיצונית, על ידי מציאת ביטויים לאנרגיה האגורה במבנה, ניתן למצוא את השקיעה. לדוגמה, אם בקצה מסבך אחיד פועל כוח F אשר גורם לשקיעה δ, והעומס במוט ה-i-י הוא P_i, אז כפי שנראה בהמשך, נוכל לכתוב את הביטוי:

$\ {1 \over 2}F\delta =\sum _{i}{\frac {P_{i}^{2}l_{i}}{2A_{i}E_{i}}}$

משפט קסטיליאנו נותן לנו את הדפורמציות על ידי גזירת האנרגיה. לכן עלינו לפתח עבור כל בעיה שנתקל בה את הביטוי לאנרגיה. אבל אם נקבל ביטויים לאנרגיה עבור מקרים פשוטים, נוכל לשלב אותם במידת הצורך. אנו מניחים כי לא מתרחשת דפורמציה פלסטית וכי המבנה הוא משמר ולינארי. כמו כן, סדר ההעמסה אינו רלוונטי, מכיוון שבסופו של דבר נגיע לאותה צורת שקיעה. כלומר השקיעה תלויה רק במצב הסופי לאחר שהעמסנו את כל הכוחות, בדומה לאנרגיה פוטנציאלית, שאינה תלויה בדרך.

נניח כי ציר האורך של הקורה הוא ציר x, אורך הקורה הוא l, שטח החתך הוא A וכי הקורה יכולה להיות עמוסה בכוח P ובמומנטים M_x, M_y, M_z.

להלן מוצגים מקרים של האנרגיה האלסטית האגורה בקורה עקב עמיסות פשוטות.

קורה בעמיסה צירית

מטריצת המאמצים בעמיסה צירית מכילה רק מאמץ בכיוון הכוח המופעל: $\ \sigma _{xx}={\frac {P}{A}}$, ולכן המכפלה עם מטריצת העיבורים תתן רק את האיבר המוכפל ב: $\ \epsilon _{xx}={\frac {\sigma _{xx}}{E}}$ כך שהאנרגיה:

$\ U={\frac {1}{2}}\int \limits _{V}\sigma _{xx}\epsilon _{xx}dV={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{l}{\frac {P^{2}}{AE}}dx$

במקרים פשוטים, כאשר P, E, A קבועים לאורך החתך ולאורך הקורה, נקבל: $\ U={\frac {P^{2}l}{2AE}}$.
נבדוק את התזוזה בכיוון הכח: $\ {\frac {\partial U}{\partial P}}={\frac {P}{E}}{\frac {l}{A}}$. מתורת החוזק ידוע שזהו בדיוק העיבור הנגרם עקב מתיחה או לחיצה צירית.

בבעיות משולבות בהן קיים גם מומנט כפיפה, נזניח את תרומת האנרגיה של העומס הצירי כי האנרגיה הנובעת מעמיסה צירית זניחה יחסית לתרומה שנובעת מכפיפה, כפי שנראה בהמשך.

קורה בפיתול

בפיתול טהור מתקיים $\sigma _{xy}=\sigma _{yx}={\frac {M_{x}r}{J}}\quad ,\quad \epsilon _{xy}=\epsilon _{yx}={\frac {\sigma _{xy}}{2G}}$, מכיוון שקיימים רק מאמצי גזירה והמטריצות סימטריות, ולכן מכפלת המטריצות תניב שני איברים זהים:

$\ U={\frac {1}{2}}\int \limits _{V}2\sigma _{xy}\epsilon _{xy}dV={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{l}{\frac {M_{x}^{2}}{GJ}}dx$

במקרים פשוטים, כאשר M, G, J קבועים לאורך החתך ולאורך הקורה, נקבל: $\ U={\frac {M_{x}^{2}l}{2GJ}}$.

קורה בכפיפה

נחשב את תרומת האנרגיה רק עקב הכפיפה, ללא התחשבות בגזירה הן משום שהיא זניחה יחסית לאנרגיה עקב הכפיפה, והן משום שנפתח זאת בנפרד בסעיף הבא.
נשארנו אם כן, עם הביטויים $\ \sigma _{xx}={\frac {M_{yy}}{I_{z}z}}\quad ,\quad \epsilon _{xx}={\frac {\sigma _{xx}}{E}}$. האנרגיה לכן:

$\ U={\frac {1}{2}}\int \limits _{V}\sigma _{xx}\epsilon _{xx}dV={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{l}{\frac {M_{z}^{2}}{EI_{zz}}}dx$

כאן לא ניתן לפשט את האינטגרל מכיוון שפילוג המומנט אינו קבוע לאורך הקורה עקב הפעלת כוח בקצה.

קורה בגזירה

נזכר כי פילוג מאמץ הגזירה בחתך מבוטא על ידי $\ \sigma _{xy}={\frac {QV}{Ib}}$ כאשר Q הוא המומנט הסטטי, V הוא כח הגזירה ו-b הוא עובי החתך. לכן לפני שנחשב את האנרגיה עקב הגזירה, נגדיר פרמטר גאומטרי המשתנה מחתך לחתך, על מנת שלאחר מכן נקבל ביטויים נוחים. נניח כי מאמץ הגזירה נגרם עקב כפיפה סביב ציר z וכי כוח הגזירה לאורך ציר y הוא $\ V_{y}$. נגדיר:

$\ \kappa _{z}=\int \limits _{A}{\frac {A}{I_{zz}^{2}}}({\frac {Q_{z}}{t}})^{2}dA$

לדוגמה: עבור חתך מלבני, $\ \kappa _{z}={\frac {6}{5}}$ ועבור חתך מעגלי דק דופן, $\ \kappa _{z}=2$.

נסתכל כעת רק על אפקטים של גזירה: $\ \sigma _{xy}={\frac {Q_{z}V_{y}}{I_{zz}b}}\quad ,\quad \epsilon _{xy}={\frac {\sigma _{xy}}{2G}}$

ואז האנרגיה:

$\ U={\frac {1}{2}}\int \limits _{V}2\sigma _{xy}\epsilon _{xy}dV={\frac {1}{2}}\kappa _{z}\int \limits _{0}^{l}{\frac {V_{y}^{2}}{AG}}dx$

בדרך כלל נזניח תרומה זו מכיוון שהאנרגיה הנובעת מכוחות גזירה זניחה יחסית לתרומה שנובעת מכפיפה.

יישום

בבעיה כללית, כאשר פועלים עומס צירי, מומנט פיתול, מומנט כפיפה סביב ציר y, מומנט כפיפה סביב ציר z, גזירה לאורך ציר y וגזירה לאורך ציר z בהתאמה, נכתוב ביטוי כללי לאנרגיה ונגזור אותו לפי הכוחות המעניינים אותנו:

$U={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{l}{\frac {P^{2}}{AE}}dx+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{l}{\frac {M_{x}^{2}}{GJ}}dx+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{l}{\frac {M_{y}^{2}}{EI_{yy}}}dx+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{l}{\frac {M_{z}^{2}}{EI_{zz}}}dx+{\frac {\kappa _{z}}{2AG}}\int \limits _{0}^{l}V_{y}^{2}dx+{\frac {\kappa _{y}}{2AG}}\int \limits _{0}^{l}V_{z}^{2}dx$

ראו גם

• אנרגיה
• חוקי קסטיליאנו
• עבודה וירטואלית
• חשבון וריאציות

קישורים חיצוניים

• שיטת קסטיליאנו בוויקיפדיה האנגלית.