|משוואה = {{גופן|4|דוד|יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> תחום פשוט קשר ופתוח במישור המרוכב, <math>\ f(z):U\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה הולומורפית בתחום זה ו־<math>\ \gamma</math> מסלול סגור ובעל אורך. אז מתקיים <math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 </math>.}}
|משוואה = {{גופן|4|דוד|יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> תחום פשוט קשר ופתוח במישור המרוכב, <math>\ f(z):U\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה הולומורפית בתחום זה ו־<math>\ \gamma</math> מסלול סגור ופשוט, אז מתקיים <math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 </math>.}}
|ריווח תא = 6
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1}}
|מסגרת = 1}}
גרסה מ־13:42, 26 בפברואר 2024
שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי-גורסה (על שמם של אוגוסטין קושי ואדואר גורסה (אנ')) הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציותמרוכבותהולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר שאם פונקציה היא הולומורפית בתחום פשוט קשר מסוים אז האינטגרל שלה לאורך מסלול סגור ופשוט המוכל בתחום מתאפס. ניתן להכליל את המשפט כך שאין צורך לדרוש שהמסלול יהיה פשוט אלא מספיק שיהיה סגור.
המשפט המקורי שקושי הוכיח כלל את ההנחה שהנגזרת רציפה. כחצי מאה לאחר קושי, הוכיח אדואר גורסה את המשפט אך ללא הנחה זו. הוכחה זו משמעותית כי לאחר מכן ניתן להוכיח את נוסחת האינטגרל של קושי עבור פונקציות הולומורפיות, וממנה ניתן להוכיח שכל פונקציה הולומורפית היא אנליטית.
ניסוח פורמלי
משפט האינטגרל של קושי־גורסה
יהא תחום פשוט קשר ופתוח במישור המרוכב, פונקציה הולומורפית בתחום זה ו־ מסלול סגור ופשוט, אז מתקיים .
המשפט נובע מן הגרסה החלשה שלו: תהא קבוצה פתוחה כך שהשפה היא איחוד סופי של מסילות סגורות בעלות אורך . על כל מושרית מגמה[א]. בנוסף, תהא פונקציה הולומורפית ב-. אזי .
גם גרסה חלשה זו נובעת מגרסה חלשה עוד יותר: תהי הולומורפית ב- ו- משולש המוכל ב-, אז .
הוכחת משפט קושי
אם מניחים ש־ רציפה, ניתן להוכיח את משפט האינטגרל של קושי ישירות ממשפט גרין ומהעובדה שהחלקים הממשיים והמדומים של מקיימים את משוואות קושי-רימן בתחום התחום ב־ בפרט ובסביבה הפתוחה של התחום בכלל. זו השיטה בה השתמש קושי להוכחת המשפט. מאוחר יותר הוכיח גורסה את המשפט בלי להניח את רציפות הנגזרת . הוא לא היה צריך להניח את רציפות הנגזרת משום שהוכחתו לא נסמכה על אנליזה וקטורית.
ניתן להפריד את האינטגרנד וכן את הדיפרנציאל לחלקיהם הממשיים והמדומים:
במקרה זה קיבלנו:
על פי משפט גרין, ניתן להחליף את האינטגרל הקווי על העקומה באינטגרל הכפול על התחום החסום על ידי כדלהלן:
אך החלק הממשי והחלק המדמה של פונקציה הולומורפית בתחום , ו־ חייבות לקיים את משוואות קושי-רימן בתחום:
ומכך נובע ששני האינטגרנדים הם 0, ולכן גם האינטגרלים הם 0: