תורת הקבוצות - מונחים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
  • קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
  • תת קבוצה: קבוצה B היא תת קבוצה של הקבוצה A אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: .
  • הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
  • יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
  • פעולות על קבוצות:
    • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
    • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
      • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
        • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר ו-
    • הפרש: ההפרש בין A ל־B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־A ולא שייכים ל־B.
      • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות A ו-B הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A שלא שייכים ל-B וכל איברי B שלא שייכים ל־A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
      • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-A והשני שייך ל-B. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
      • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • בחירה
  • קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
  • השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ו-, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
  • קבוצה בת מנייה: קבוצה אינסופית שניתן למנות את אבריה; כלומר, כזו שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים. (לפעמים כוללים בהגדרה גם קבוצות סופיות).
  • קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה A תסומן .
  • יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B (לא בהכרח שונה מ-A). בכתיב פורמלי: קבוצה R תיקרא יחס מ-A ל-B אם .
    • פונקציה: יחס בו לכל איבר של A קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
      • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל y בטווח Y קיים לכל היותר x אחד בתחום X המקיים .
      • פונקציה על: פונקציה תקרא על אם לכל y בטווח Y קיים לפחות x אחד בתחום X המקיים .
      • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל קיים יחיד כך ש- (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
    • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה A המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
    • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
      • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
        • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
      • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
  • ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
  • משפטים:
    • משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
    • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
    • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה A לקבוצה B, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה B לקבוצה A, אז שתי הקבוצות שקולות.