תורת הקבוצות - מונחים
מראה
- תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
- תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
- תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.
- קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
- תת קבוצה: קבוצה היא תת קבוצה של הקבוצה אם כל איבר של שייך גם ל-. נסמן זאת בצורה: .
- הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
- יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
- פעולות על קבוצות:
- איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: .
- הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
- חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: .
- הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר ו-
- הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- הפרש: ההפרש בין ל־ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־ ולא שייכים ל־.
- פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
- הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות ו- הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי שלא שייכים ל- וכל איברי שלא שייכים ל־ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
- הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל- והשני שייך ל-. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
- הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
- בחירה
- איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: .
- קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
- קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
- עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה תסומן .
- (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
- או : עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.
- השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ו-, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
- קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס).
- קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
- קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה תסומן .
- יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - , והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - (לא בהכרח שונה מ-). בכתיב פורמלי: קבוצה תיקרא יחס מ- ל- אם .
- פונקציה: יחס בו לכל איבר של קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
- פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל בטווח קיים לכל היותר אחד בתחום המקיים .
- פונקציה על: פונקציה תקרא על אם לכל בטווח קיים לפחות אחד בתחום המקיים .
- פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל קיים יחיד כך ש- (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
- יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
- סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
- פונקציה: יחס בו לכל איבר של קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
- קבוצת כל הפונקציות מקבוצה לקבוצה : קבוצה המסומנת והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה אל תוך הקבוצה .
- הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
- ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
- משפטים:
- משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
- האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
- משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה לקבוצה , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה לקבוצה , אז שתי הקבוצות שקולות.