תורת הקבוצות - מונחים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
  • קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
  • תת קבוצה: קבוצה B היא תת קבוצה של הקבוצה A אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: B\subseteq A.
  • הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן \emptyset (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
  • יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
  • פעולות על קבוצות:
    • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
    • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
      • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
        • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) ו-A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)
    • הפרש: ההפרש בין A ל־B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־A ולא שייכים ל־B.
      • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות A ו-B הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A שלא שייכים ל-B וכל איברי B שלא שייכים ל־A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
      • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-A והשני שייך ל-B. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
      • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • בחירה
  • קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
  • עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה A תסומן  \left|A\right| .
  • השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין \aleph_0 ו-\aleph, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZF).
  • קבוצה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים, כלומר ניתן למנות את איבריה.
  • קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה A תסומן \mathcal{P}(A).
  • יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B (לא בהכרח שונה מ-A). בכתיב פורמלי: קבוצה R תיקרא יחס מ-A ל-B אם \!\,R\subseteq A\times B.
  • ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
  • משפטים:
    • משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
    • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
    • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה A לקבוצה B, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה B לקבוצה A, אז שתי הקבוצות שקולות.