תורת הקבוצות - מונחים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-dialog-question.svg חשיבותו האנציקלופדית של הערך אינה מובהרת בו, לדעת מניח/ת תבנית זו. אתם מוזמנים להרחיב את הערך על מנת להסיר את הספקות, או להסביר את חשיבותו בדף השיחה שלו.
מקובל להקצות לדיון פרק זמן של שבוע. אם במהלכו לא תובע תמיכה מנומקת בהשארת הערך בידי ויקיפד/ית עם זכות הצבעה, מלבד יוצר/ת הערך, הערך יימחק (התבנית הוצבה ב-26.04.2015).
  • קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
  • תת קבוצה: קבוצה B היא תת קבוצה של הקבוצה A אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: B\subseteq A.
  • הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן \emptyset (שמקורו באות הנורבגית "Ø" ) או בצורה {}.
  • יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
  • פעולות על קבוצות:
    • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
    • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
      • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
        • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך.
    • הפרש: ההפרש בין A ל־B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־A ולא שייכים ל־B.
      • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות A ו-B הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A שלא שייכים ל-B וכל איברי B שלא שייכים ל־A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
      • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-A והשני שייך ל-B. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
      • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • בחירה
  • קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
  • עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה A תסומן  \left|A\right| .
    • 0א: עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
    • א או c: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם 'עוצמת הרצף'.
  • השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין 0א ו-א, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZF).
  • קבוצה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים, כלומר ניתן למנות את איבריה.
  • קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה A תסומן \mathcal{P}(A).
  • יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B (לא בהכרח שונה מ-A). בכתיב פורמלי: קבוצה R תיקרא יחס מ-A ל-B אם \!\,R\subseteq A\times B.
    • פונקציה: יחס בו לכל איבר של A קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
      • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה \!\,f:X\rarr Y תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל y בטווח Y קיים לכל היותר x אחד בתחום X המקיים \!\,f(x)=y.
      • פונקציה על: פונקציה \!\,f:X\rarr Y תקרא על אם לכל y בטווח Y קיים לפחות x אחד בתחום X המקיים \!\,f(x)=y.
      • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל \ y קיים \ x יחיד כך ש- \ f(x)=y (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
    • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה A המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
    • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
      • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
      • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר חלקי בו לכל תת-קבוצה של הקבוצה עליה הוגדר יש איבר ראשון.
      • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
  • קבוצת כל הפונקציות מקבוצה A לקבוצה B: קבוצה המסומנת B^A והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה A אל תוך הקבוצה B.
  • ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.