קוסינוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף Cos)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרף הפונקציה קוסינוס
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

קוסינוס (מסומן ב-\ \cos) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה בסיסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במשולש זה, קוסינוס הזווית A שווה \frac{b}{c}

בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את היחס בין הניצב ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או \frac{\pi}{2} רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית מוגדר היטב.

הרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y). עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל מספר ממשי: הקוסינוס של מספר \ \theta הוא שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא \ \theta (ברדיאנים).

טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות טור טיילור:

 \cos x  = \ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב קוסינוס לזוויות קטנות: \cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}\approx 1, מכיוון שכאשר x קטן החזקה הרביעית שלו (לפעמים אפילו השנייה) וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:

\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנגזרת של פונקציית הקוסינוס היא מינוס פונקציית הסינוס:

{d \over dx} \cos x = -\sin x

זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה כאן) ובעזרת כלל השרשרת מקבלים:

{d \over dx} \cos x = {d \over dx} \sin (\frac{\pi}{2} - x) = - \cos (\frac{\pi}{2} - x) = -\sin x.

מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה \ f''(x) = - f(x) כאשר \ f(0) = 1 ו-\ f'(0) = 0.‏[1]

הפונקציה הקדומה של הקוסינוס היא סינוס: \int \cos x  \,dx = \sin x+C

ערכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זויות נפוצות:

x (זווית) cos x
מעלות רדיאנים גראדים במדויק קירוב עשרוני
0 0g 1 1
15° \frac{\pi}{12} 162/3g \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 0.965925826289068
30° \frac{\pi}{6} 331/3g \frac{\sqrt{3}}{2} 0.866025403784439
45° \frac{\pi}{4} 50g \sqrt{\frac{1}{2}} 0.707106781186548
60° \frac{\pi}{3} 662/3g \frac{1}{2} 0.5
75° \frac{5 \cdot \pi}{12} 831/3g \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0.258819045102521
90° \frac{\pi}{2} 100g 0 0

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות
  • פונקציית הקוסינוס מקיימת: \ \cos(-\theta) = \cos\theta וכן \ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta
  • בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} , \tan\theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} , \cot\theta = {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}, \csc\theta = {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}} , \sec\theta = {1 \over \cos \theta}
  • סכום זוויות: \cos(\theta \pm \varphi) = \cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi
  • זווית כפולה: \ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta , \ \cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta ובאופן כללי \cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)
  • חצי זווית: \cos \tfrac{\theta}{2} =  \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
  • סכום קוסינוסים: \cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right), \cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)

הפונקציה ההפוכה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרף הפונקציה ארכקוסינוס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הקוסינוס נקראת ארכקוסינוס ומסומנת  \ \arccos או  \ \cos^{-1} . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע \ [-1 ,1], וכיוון שפונקציית הקוסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים \ [0 ,\pi]. הנגזרת שלה היא {d \over dx} \arccos x = -{ 1 \over \sqrt{1 - x^2}}.

משפט הקוסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס, והוא קובע את הקשר בין צלעות המשולש ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:

\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma

כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו- \ \gamma נמצאת מול הצלע c.

כאשר זווית c ישרה, \ \cos \gamma = 0 ומתקבל משפט פיתגורס.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא קוסינוס בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]