מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
![פירוש נוסף](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Disambig_RTL.svg/25px-Disambig_RTL.svg.png)
ערך זה עוסק במושג מתורת הקבוצות. אם התכוונתם ליחס
![{\displaystyle Y={\frac {\lambda }{X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b13a20c9538f2f57fdb97f1173905c6b030afc)
, ראו
יחס הפוך.
במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי
על קבוצה
, הוא היחס המסומן
ומוגדר על ידי
. לדוגמה, היחס ההופכי ליחס
על
הוא היחס
.
- הוכחה:
.
- הוכחה: מההגדרה
נובע כי
, ולכן
.
- סימטריה. בפרט אם
סימטרי, אז
.
- הוכחה:
.
- הוכחה:
ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה:
ולכן אם
א-סימטרי אז
א-סימטרי.
- הוכחה:
.
- ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו:
. תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב-
אז ב-
" ל"ב-
אם ורק אם ב-
".
- הוכחה: לכל
מתקיים ![{\displaystyle x({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}^{-1}x\iff x{\mathcal {R}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52466dc85dc261fca64153d5cf1cd5459eda2c25)
- הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
ולכן
.
- ההופכי מתפלג מעל החיתוך:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
.
- ההופכי מתפלג מעל האיחוד:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
.
- ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
.
- מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.