חוג ארטיני

באלגברה, חוג ארטיני (שמאלי) הוא חוג המקיים את "תנאי השרשרת היורדת" על אידאלים שמאליים: לא קיימת שרשרת יורדת אינסופית $\ ...\subset L_{2}\subset L_{1}$ של אידאלים שמאליים של החוג. התכונה נקראת על-שמו של אמיל ארטין, שראה בה דרך להכליל רבות מהתכונות של אלגברות בעלות ממד סופי מעל שדה.

ארטיניות קשורה באידאלים השמאליים של החוג. חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידאלים ימניים נקרא "ארטיני ימני", ומקיים תכונות דומות לשל חוגים ארטיניים. לתנאי השרשרת היורדת על אידאלים דו-צדדיים אין שם מיוחד (זוהי הנחה חלשה מאד, שקשה להסיק ממנה על מבנה החוג). ישנם מקורות שבהם חוג ארטיני (כפי שהוגדר כאן) נקרא "ארטיני שמאלי", וחוג שהוא גם ארטיני ימני וגם ארטיני שמאלי נקרא "חוג ארטיני". כמובן, בחוגים קומוטטיביים מונחים אלה מתלכדים.

מבנה ודוגמאות

חוגים ראשוניים ופשוטים

כל אלגברה בעלת ממד סופי מעל שדה היא ארטינית. כל חוג ארטיני ראשוני הוא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין); ולכן כל חוג ארטיני ראשוני הוא פשוט, ויש לו ממד סופי מעל המרכז שלו. מכאן נובע שכל אידאל ראשוני של חוג ארטיני הוא אידאל מקסימלי (ולכן לחוגים אלה יש ממד קרול אפס).

כל אידיאל נילי בחוג ארטיני הוא נילפוטנטי. בפרט, רדיקל ג'ייקובסון של חוג ארטיני הוא נילפוטנטי. מודולו הרדיקל, החוג הוא סכום ישר של מספר סופי של חוגים פשוטים ארטיניים.

חוגים ארטיניים קומוטטיביים

חוג ארטיני קומוטטיבי (עם יחידה) הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים ארטיניים קומוטטיביים מקומיים. כל חוג ראשי ארטיני קומוטטיבי מקומי הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית.

באופן כללי יותר, חוג ארטיני קומוטטיבי בלי יחידה הוא מכפלה של חוג ארטיני עם יחידה וחוג נילפוטנטי מפותל (כלומר כזה שבו לכל איבר יש סדר חיבורי סופי), כשהפיתול נשען על מספר סופי של גורמים ראשוניים.

פעולות על חוגים ארטיניים

חוג מטריצות מעל חוג ארטיני הוא ארטיני. אם R ארטיני ו-e אידמפוטנט אז eRe ארטיני. מנה של חוג ארטיני היא ארטינית. סכום ישר סופי של חוגים ארטיניים הוא ארטיני.

חוג חבורה RG הוא ארטיני אם ורק אם R ארטיני ו-G חבורה סופית. תחום שלמות אינו ארטיני אלא אם הוא שדה.

תורת ההצגות

לחוג ארטיני R יש מספר סופי של מודולים פשוטים (עד כדי איזומורפיזם). יש להם גם אותו מספר של מודולים אינג'קטיביים אי-פרידים, ואותו מספר של מודולים פרויקטיביים אי-פרידים. האחרונים הם מהצורה Re, כאשר e אידמפוטנט פרימיטיבי.

חוג שכל מודול מעליו משוכן בסכום ישר של מודולים נוצרים סופית, הוא ארטיני.

ארטיניות ונותריות

תנאי השרשרת היורדת דואלי לתנאי השרשרת העולה, המגדיר חוגים נותריים. תנאי השרשרת היורדת שקול לכך שבכל קבוצה של אידאלים, ישנו אידאל מינימלי (ביחס להכלה); בדומה, תנאי השרשרת העולה שקול לכך שבכל קבוצה של אידאלים ישנו אידאל מקסימלי. למרות הדמיון בין התכונות, קיומם של אידאלים מקסימליים באוסף מובטח במקרים רבים על ידי הלמה של צורן, בעוד שיש חוגים ללא אידאלים מינימליים כלל. התכונות אינן סימטריות כלל וכלל: ארטיניות היא תכונה חזקה ביחס, ומשפט הופקינס-לויצקי קובע שכל חוג ארטיני הוא נותרי.

לדוגמה, תחום שלמות לעולם אינו ארטיני (אלא אם הוא שדה); אבל חוג המספרים השלמים (וכל חוג שלמים בשדה מספרים) הם חוגים נותריים.

מקורות

• Commutative Artinian Principal Ideal Rings, K. R. McLean, Proc. London Math. Soc. 26(3), (1973), 249--272.