משלים (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
Dginzbourg (שיחה | תרומות) מ הוספת תרגום המילה לאנגלית |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: לעיתים |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
==הגדרה פורמלית== |
==הגדרה פורמלית== |
||
[[קובץ:MashlimU-G.png|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של המשלים של G בקבוצת U הוא השטח המסומן בצבע אפור.]] |
[[קובץ:MashlimU-G.png|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של המשלים של G בקבוצת U הוא השטח המסומן בצבע אפור.]] |
||
תהא <math>\!\, U</math> קבוצה, ותהא <math>\!\, G\subseteq U</math> קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של <math>\!\, G</math> ב<math>\!\, U</math> יוגדר כך: <math>\!\, G^\complement=U-G</math>. סימונים מקובלים נוסף למשלים הם <math>\!\, G',\ \complement_UG,\ \overline G,\ -G</math>. עם זאת, הסימון <math>\overline G</math> מתנגש |
תהא <math>\!\, U</math> קבוצה, ותהא <math>\!\, G\subseteq U</math> קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של <math>\!\, G</math> ב<math>\!\, U</math> יוגדר כך: <math>\!\, G^\complement=U-G</math>. סימונים מקובלים נוסף למשלים הם <math>\!\, G',\ \complement_UG,\ \overline G,\ -G</math>. עם זאת, הסימון <math>\overline G</math> מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו. |
||
==דוגמה== |
==דוגמה== |
גרסה מ־06:17, 2 בינואר 2018
בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה G (באנגלית: complement of set G) הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.
על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.
הגדרה פורמלית
תהא קבוצה, ותהא קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של ב יוגדר כך: . סימונים מקובלים נוסף למשלים הם . עם זאת, הסימון מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.
דוגמה
תהא קבוצה N המכילה את כל המספרים הטבעיים 1,2,3,....
תהא קבוצה A המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6.... הקבוצה B היא המשלים של A ביחס ל-N אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-N אך לא ב-A, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים 1,3,5....
ניתן לראות כי החיתוך של A עם B נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה N.
תכונות בסיסיות
, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הוא הקבוצה עצמה.
, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.
, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.
, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.
, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.
כללי דה מורגן
כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |