מכפלה וקטורית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ובפיזיקה, מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת ממדי, שמחזירה וקטור (בניגוד למכפלה הסקלרית שמחזירה סקלר). הווקטור המוחזר תמיד ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תיאור גרפי של מכפלה וקטורית. ניתן לראות כי וקטור התוצאה (הכחול) ניצב לשני וקטורים המוכפלים, ולכן גם לכל המישור המכיל אותם. בנוסף ניתן לראות כי כאשר הופכים את סדר המכפלה, מתקבל וקטור זהה בגודלו והפוך בכיוונו.

יהיו שני וקטורים \vec A,\vec B, אז מכפלתם הווקטורית (שמסומנת ב-\ \times) תוגדר כ:
\vec A\times\vec B=\hat n|A||B|\sin\theta

כאשר \!\, \theta היא הזווית הקטנה יותר מבין שתי הזווית שבין \vec A,\vec B, ו- \hat n הוא וקטור יחידה, שמאונך למישור הנקבע על ידי שני הווקטורים. חשוב לשים לב כי המכפלה הווקטורית בין שני וקטורים שונים מאפס מתאפסת אם ורק אם הם מקבילים (בניגוד למכפלה סקלרית, בה המכפלה מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים).

כיוונו של \hat n נקבע על פי כלל היד הימנית המוגדר באופן הבא- אם מכופפים את כף יד ימין בצורת חצי עיגול, כך שהיא מתווה מעגל בכיוון של הווקטור הראשון במכפלה אל עבר הווקטור השני במכפלה, האגודל מצביע בכיוון של וקטור התוצאה.

ניתן להגדיר מכפלה וקטורית באופן שקול על ידי הגדרת הכפל על וקטורי היחידה. בשלושה ממדים, וקטורי היחידה מוכפלים כך:

\ \hat x \times \hat y = - \hat y \times \hat x = \hat z

\ \hat y \times \hat z = - \hat z \times \hat y = \hat x

\ \hat z \times \hat x = - \hat x \times \hat z = \hat y

\hat x \times \hat x = \hat y \times \hat y = \hat z \times \hat z = 0

ולכן, מתקבל כי באופן כללי, שני וקטורים נכפלים כך:

\ \vec A \times \vec B = (A_x,A_y,A_z)\times (B_x,B_y,B_z)=(A_yB_z-A_zB_y,A_z B_x-A_x B_z, A_x B_y-A_y B_x).

חוק היד הימנית. אם האצבעות מתוות את הקשת הקצרה מהווקטור הראשון לווקטור השני, האגודל מצביע בכיוון תוצאת המכפלה.

בעזרת מכפלה סקלרית, קל לוודא כי וקטור התוצאה ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.


עוד דרכים לחשב את כיוון הווקטור:

  • כלל הבורג - אם מסובבים בורג בעל תבריג ימני, כך שכיוון סיבובו מתווה את הכיוון מהווקטור הראשון לוקטור השני, וקטור התוצאה נקבע על פי כיוון ההתקדמות של הבורג (קדימה או אחורה).
  • דרך נוספת היא על ידי כיפוף אצבעות יד ימין כך שהאגודל מזדקר מעלה, האצבע נשארת זקופה, והאמה מכופפת בזווית של 90 מעלות. כעת, אם מתאימים את האצבעות כך שהאגודל הוא בכיוון הווקטור הראשון ואילו האצבע בכיוון הווקטור השני, האמה תצביע בכיוון וקטור התוצאה.

תכונות המכפלה הווקטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מכיוון שכיוון הווקטור תלוי בסדר הופעת האיברים במכפלה, המכפלה אינה קומוטטיבית, אך היא אנטי-קומוטטיבית, כלומר מתקיים \vec A\times\vec B=-\vec B\times\vec A.
  • מכפלה ווקטורית אינה אסוציאטיבית, כלומר \ \vec A\times (\vec B \times\vec C)\ne( \vec A\times \vec B) \times\vec C. לכן, ללא סוגריים, הביטוי \ \vec A\times\vec B\times\vec C לא מוגדר.
  • המכפלה הווקטורית דיסטריבוטיבית מעל החיבור: \vec A\times\left(\vec B+\vec C\right)=\vec A\times\vec B+\vec A\times\vec C.
  • המכפלה הומוגנית ביחס לכפל בסקלר: \left(\lambda\vec A\right)\times\vec B=\vec A\times\left(\lambda\vec B\right)=\lambda\left(\vec A\times\vec B\right).
  • כפל של שני וקטורים שכיוונם זהה, או שכיווניהם מנוגדים, מחזיר 0.
  • "באץ מינוס צאב" ("BAC minus CAB"): \vec A\times(\vec B\times\vec C)=\vec B(\vec A\cdot\vec C)-\vec C(\vec A\cdot\vec B) .
  • (\vec A\times\vec B)\times\vec C = -\vec C\times(\vec A\times\vec B) =(\vec A\cdot\vec C)\vec B - (\vec B\cdot\vec C)\vec A
  • המכפלה הווקטורית מקיימת את זהות יעקובי: \vec A\times (\vec B \times\vec C)+\vec B\times (\vec C \times\vec A)+\vec C\times (\vec A \times\vec B)= 0
  • גם אם עבור \ \vec A\ne0 מתקיים \ \vec A\times \vec B=\vec A\times \vec C לא ניתן להסיק כי  \ \vec B=\vec C, אלא רק כי \vec A מקביל ל \vec B- \vec C. לעומת זאת, אם לכל וקטור \vec A מתקיים \ \vec A\times \vec B=\vec A\times \vec C, אז בהכרח \vec B= \vec C.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שימושים מתמטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מציאת אנך למישור. כאמור, מכפלה וקטורית של שני וקטורים בת"ל מחזירה וקטור המאונך לשניהם. ישר המאונך לשני ישרים במישור, מאונך למישור הנוצר על ידם ולכן מכפלה וקטורית של שני וקטורים במישור תניב וקטור שלישי המאונך לכל וקטור במישור. וקטור זה נקרא וקטור המקדמים של המישור.
  • מציאת שטח מקבילית במרחב - גודלו של וקטור המכפלה הפנימית \vec A\times\vec B שווה לשטח המקבילית הנוצרת על ידי הווקטורים \vec A ו- \vec B.
  • מציאת שטח משולש במרחב
  • מציאת היטל וקטור אחד על אחר
  • מציאת נפח מקבילון במרחב
  • מציאת מרחק נקודה מישר במרחב

שימושים פיזיקליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תיאור על פי וקטורי יחידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, לעתים קרובות נוח יותר לחשב את המכפלה הווקטורית באמצעות הצגת הווקטורים המוכפלים על ידי וקטורי יחידה, כלומר:

\!\, \vec A=A_x\hat x+A_y\hat y+A_z\hat z
\!\, \vec B=B_x\hat x+B_y\hat y+B_z\hat z

לאחר חישוב ישיר, ניתן לקבל כי

\!\, \vec A\times\vec B=(A_yB_z-A_zB_y)\hat x+(A_zB_x-A_xB_z)\hat y+(A_xB_y-A_yB_x)\hat z.

קל יותר לזכור צורה זו על ידי כתיבת הדטרמיננטה הבאה:

\vec A\times\vec B=
\begin{vmatrix} 
\hat x & \hat y & \hat z \\
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{vmatrix}

כאשר הדטרמיננטה מפותחת על פי השורה הראשונה.

חשוב להדגיש שהשימוש בדטרמיננטה כאן הוא רק בתור סימון שמטרתו להקל על זכירת הנוסחה, ואין מדובר בדטרמיננטה אמיתית: המטריצה איננה מעל השדה שבו אנו עוסקים, והתוצאה איננה סקלר כמו בדטרמיננטה רגילה אלא וקטור.

הכללה ל-n ממדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

את המכפלה הווקטורית ניתן לכתוב בצורה טנזורית בצורה:

C_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}A_jB_k
כאשר \!\, \epsilon_{ijk} - טנזור לוי-צ'יוויטה, הוא טנזור אנטי סימטרי לחלוטין, שערך כל איבר בו הוא 1 אם סדר האינדקסים הוא ציקלי, 1- אם הסדר הוא אנטי ציקלי, ואפס במקרה אחר (כלומר אם אינדקס חוזר פעמיים). האינדקסים i,j,k רצים על מספר הממדים (1,2,3 או x,y,z). הגדרה זו ניתן להרחיב למספר ממדים כלשהו:

C_{i_3\ldots  i_n} = \sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n \epsilon_{i_1 \ldots  i_n}A_{i_1}B_{i_2}

  • בשני ממדים מתקבל טנזור בלי אינדקסים \ C= A_x B_y - A_y B_x , לכן לכאורה הוא סקלר.
  • בשלושה ממדים מתקבל טנזור עם אינדקס אחד, לכן לכאורה הוא וקטור.
  • בארבעה ממדים מתקבל טנזור עם שני אינדקסים.
  • באופן כללי ב-n ממדים מתקבל טנזור עם n-2 ממדים.

דבר זה מרמז לנו שגם בשלושה ממדים התוצאה של כפל שני וקטורים אינה וקטור, כי אם פסאודו וקטור. השרירותיות של כיוון התוצאה גם היא דומה לשרירותיות בכיוון של הפסאודו-וקטור. לעומת זאת מכפלה וקטורית של וקטור ופסאודו וקטור תיתן וקטור.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]