מראה עקומה

השתקפויות במראה קמורה. הצלם משתקף בצד ימין למעלה

מראה עקומה היא מראה עם משטח מחזיר עקום. המשטח עשוי להיות קמור (בולט כלפי חוץ) או קעור (שקוע פנימה). לרוב המראות העקומות יש משטחים המעוצבים כחלק מכדור, אך לעיתים משתמשים במכשירים אופטיים בצורות אחרות. הסוג הלא-כדורי הנפוץ ביותר הוא מחזירי אור פרבוליים, הנמצאים במכשירים אופטיים כמו טלסקופים מחזירים המדמים עצמים (אובייקטים) רחוקים, מכיוון שמערכות מראה כדוריות, בדומה לעדשות כדוריות, סובלות מסטייה כדורית. מראות מעוותות משמשות לבידור. יש להם אזורים קמורים וקעורים המייצרים תמונות מעוותות במכוון. הם גם מספקים תמונות מוגדלות מאוד או קטנות יותר (קטנות יותר) כאשר האובייקט ממוקם במרחקים מסוימים.

מראות קמורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מראה קמורה או מראה מבדרת היא מראה עקומה בה המשטח המחזיר בולט לעבר מקור האור.^[1] מראות קמורות מחזירות אור כלפי חוץ, ולכן הן לא משמשות למיקוד האור. מראות כאלה תמיד יוצרות דמות מדומה (וירטואלית) של אובייקט הנמצא לפניהן, שכן המוקד (F) ומרכז העקמומיות (2F) הן נקודות דמיוניות "בתוך" המראה, באזור שאליו לא ניתן להגיע. כתוצאה מכך, לא ניתן להקרין על המסך תמונות שנוצרו על ידי מראות אלה, והדמות נראית כאילו היא נמצאת בתוך המראה. הדמות קטנה מהאובייקט, אך היא הולכת וגדלה ככל שהאובייקט מתקרב למראה.

קרני אור מקבילות מתבדרות אחרי השתקפות במראה קמורה, מפני שכיוונו של קו המאונך למשטח המחזיר משתנה מנקודה לרעותה.

שימושים במראות קמורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המראה בצד הנוסע ברכב היא בדרך כלל מראה קמורה. במדינות מסוימות יש לסמן מראות כאלה עם אזהרת הבטיחות "אובייקטים במראה קרובים יותר מאשר הם נראים". זאת, כדי להזהיר את הנהג מההשפעות המעוותות של המראה הקמורה על תפיסת המרחק. מראות קמורות מועדפות ברכבים מכיוון שהן נותנות דמות זקופה (לא הפוכה), אם כי קטנה יותר, ומכיוון שהם מספקים שדה ראייה רחב יותר בגלל קמירותן.

מראות קמורות נמצאות לעיתים קרובות במסדרונות של בניינים שונים כולל בתי חולים, בתי מלון, בתי ספר, חנויות ובנייני דירות. הם מותקנים בדרך כלל על קיר או תקרה שבהם מסדרונות מצטלבים זה בזה, או במקום בו הם מבצעים סיבובים חדים. המראות מאפשרות לאנשים לראות מכשולים בהם הם עלולים להיתקל במסדרון הבא או אחרי הפנייה הבאה. משתמשים במראות קמורות גם בכבישים, בחניונים, ובסמטאות כדי להגדיל את שדה הראיה בעקומות ובסיבובים.^[2]

מראות קמורות משמשות לעיתים במכשירי בנק אוטומטיים – ATM כדי לאפשר למשתמשים לראות מה קורה מאחוריהם.

מראות קמורות עגולות בשם "Oeil de Sorcière" (בצרפתית "עין מכשף") היו פריט יוקרה פופולרי מהמאה ה-15 ואילך, פריט שהוצג בתיאורים רבים של חללי פנים מאותה תקופה. בעזרת הטכנולוגיה של המאה ה-15 היה קל יותר ליצור מראה עקומה רגילה (על ידי ניפוח זכוכית) מאשר ליצור משטח שטוח לחלוטין. הם נקראו גם "עיני הבנקאים" בשל העובדה ששדה הראייה הרחב שלהם היה שימושי לאבטחה. דוגמאות מפורסמות באמנות כוללות את "דיוקן ארנולפיני" מאת יאן ואן אייק ואת האגף השמאלי של "מזבח הוורל" מאת רובר קמפן.^[3]

תמונת מראה קמורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדמות במראה קמורה היא תמיד "מדומה" (קרניים אינן עוברות דרך הדמות; ההמשכים של הקרניים עוברים דרך הדמות כמו שמתרחש במראה רגילה), קטנה יותר ו"זקופה (לא הפוכה)". ככל שהאובייקט מתקרב למראה, הדמות הולכת וגדלה עד שהיא מגיעה לגודל האובייקט בערך כאשר הוא נוגע במראה. ככל שהאובייקט מתרחק, הדמות קטנה ומתקרבת בהדרגה למוקד, עד שהיא מצטמצמת לנקודה במוקד כאשר האובייקט נמצא במרחק אינסופי. תכונות אלה הופכות את המראות הקמורות למועילות מאוד: מכיוון שהכל נראה קטן יותר במראה, הן מכסות שדה ראייה רחב יותר מאשר מראה מישורית רגילה, ומכאן השימושים בסעיף הקודם. הטבלה הבאה מסכמת את הדברים הללו והיא מבוססת על הניתוח המובא בהמשך.

מראה קמורה: השפעת מיקום האובייקט יחסית למוקד על הדמות
עמדת האובייקט ( S ), מוקד ( F )	דמות	תרשים
$S>F,\ S=F,\ S<F$	מדומה זקופה מוקטנת

מראות קעורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למראה קעורה, או מכנסת, יש משטח מחזיר השקוע פנימה (הרחק מהאור הפוגע). מראות קעורות מחזירות אור פנימה למוקד אחד. הן משמשות למיקוד האור. שלא כמו מראות קמורות, מראות קעורות מציגות סוגי דמות שונים בהתאם למרחק בין האובייקט למראה.

מראות קעורות נקראות "מראות מכנסות" מכיוון שהן נוטות לאסוף אור שנופל עליהן, וממקדות מחדש את הקרניים הנכנסות המקבילות לעבר המוקד. הסיבה לכך היא שהאור מוחזר בזוויות שונות בנקודות שונות במראה, שכן הקו המאונך למשטח המראה משתנה מנקודה לרעותה.

שימושים במראות קעורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מראות קעורות משמשות בטלסקופים מחזירי אור.^[4] הם משמשים גם כדי לספק דמות מוגדלת של פני האדם העוסק במריחת איפור או בגילוח.^[5] בתחום התאורה, מראות קעורות משמשות לאיסוף אור ממקור קטן וכוונו כלפי חוץ בקרן כמו בפנס, או בזרקור. בתחום אנרגיית השמש המרוכזת משתמשים במראות קעורות כדי לאסוף אור משטח רחב ולמקד אותו לשטח קטן. דבר זה נעשה במגדל שמש או בצלחת סולארית. מראות קעורות משמשות בתחום הלייזרים ליצירת מהודים אופטיים. ברפואת שיניים משתמשים במראות פה קעורות כדי לספק דמות מוגדלת. מערכת עזר לנחיתה והמראה בנושאות מטוסים מודרניות משתמשת גם היא במראה קעורה.

תמונת מראה קעורה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטבלה הבאה מסכמת את התנהגות הדמות במראה קעורה במצבים שונים והיא מבוססת על הניתוח המובא בהמשך.

השפעה על תמונת מיקום האובייקט יחסית למוקד המראה (קעור)
עמדת האובייקט (S), מוקד (F)	דמות	תרשים
$S<F$ אובייקט בין מוקד למראה	מדומה זקופה מוגדלת
$S=F$ אובייקט בנקודת המוקד	קרניים משתקפות מקבילות ולעולם אינן נפגשות, ולכן לא נוצרת דמות. בגבול שבו S מתקרב ל-F, מרחק הדמות מתקרב לאינסוף, והדמות יכולה להיות ממשית או מדומה, זקופה או הפוכה, תלוי אם S מתקרב ל-F מצד שמאל או ימין.
$F<S<2F$ אובייקט בין מיקוד למרכז העקמומיות	ממשית הפוכה מוגדלת
$S=2F$ אובייקט במרכז העקמומיות	ממשית הפוכה אותו גודל דמות נוצרה במרכז העקמומיות
$S>2F$ אובייקט מעבר למרכז העקמומיות	ממשית הפוכה מוקטנת ככל שמרחק האובייקט עולה, הדמות מתקרבת בצורה אסימפטומית למוקד בגבול שבו S שואף לאינסוף, גודל הדמות שואף לאפס והדמות שואפת ל-F.

צורת המראה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לרוב המראות העקומות יש פרופיל כדורי.^[6] אלה הם הפרופילים הפשוטים ביותר להכנה. אבל, מראות כדוריות סובלות מסטייה כדורית – קרניים מקבילות המשתקפות ממראות כאלה אינן מתמקדות לנקודה אחת אלא לכתם קטן. עבור קרניים מקבילות, כמו אלה המגיעות מאובייקט רחוק מאוד, מראה מחזירה פרבולית ממקדת לכתם קטן יותר.

ניתוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת מראה, הגדלה ואורך מוקד[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת המראה הגאוסיאנית, המכונה גם משוואת המראה והעדשה, מתייחסת למרחק האובייקט $d_{\mathrm {o} }$ ,למרחק דמות $d_{\mathrm {i} }$ ולאורך המוקד $f$ :^[2]

{\frac {1}{d_{\mathrm {o} }}}+{\frac {1}{d_{\mathrm {i} }}}={\frac {1}{f}}

.

מוסכמת הסימנים הנהוגה כאן היא שאורך המוקד חיובי עבור מראות קעורות ושלילי עבור קמורות. $d_{\mathrm {o} }$ ו- $d_{\mathrm {i} }$ הם חיוביים כאשר האובייקט והדמות נמצאים מול המראה, בהתאמה. במילים אחרות, מיקומי האובייקט והדמות חיוביים כאשר הם ממשיים.^[2]

עבור מראות קמורות, אם מזיזים את $1/d_{\mathrm {o} }$ לצד ימין של המשוואה כדי לפתור את $1/d_{\mathrm {i} }$ , אזי התוצאה עבור מרחק הדמות היא תמיד מספר שלילי, כלומר מרחק הדמות הוא שלילי – הדמות היא מדומה, ממוקמת "מאחורי המראה". קביעה זו עולה בקנה אחד עם ההתנהגות שתוארה לעיל.

עבור מראות קעורות, הדמות היא מדומה או ממשית בתלות במרחק האובייקט בהשוואה לאורך המוקד. אם הביטוי $1/f$ גדול מהביטוי $1/d_{\mathrm {o} }$ אזי $1/d_{\mathrm {i} }$ הוא חיובי והדמות ממשית. אחרת, הביטוי שלילי והדמות מדומה. כך מקבלים את ההתנהגות שסוכמה בטבלה לעיל.

הגדלת המראה מוגדרת כגובה הדמות חלקי גובה האובייקט:

m\equiv {\frac {h_{\mathrm {i} }}{h_{\mathrm {o} }}}=-{\frac {d_{\mathrm {i} }}{d_{\mathrm {o} }}}

.

לפי ההסכם, אם ההגדלה המתקבלת חיובית, הדמות זקופה. אם ההגדלה היא שלילית, הדמות הפוכה.

מעקב אחר קרניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מיקום הדמות וגודלה ניתן למצוא גם באמצעות מעקב קרני גרפי, כפי שמודגם באיורים לעיל. קרן הנמשכת מחלקו העליון של האובייקט לקודקוד משטח המראה (שם הציר האופטי פוגש את המראה) תיצור זווית עם הציר האופטי. לקרן המשתקפת אותה זווית לציר, אך בצד הנגדי (ראה החזר ראי ).

ניתן לצייר קרן שנייה מראש האובייקט, במקביל לציר האופטי. קרן זו משתקפת על ידי המראה ועוברת במוקד שלה. הנקודה בה נפגשות שתי הקרניים הללו היא נקודת הדמות המתאימה לראש האובייקט. מרחקו מהציר האופטי מגדיר את גובה הדמות, ומיקומו לאורך הציר הוא מיקום הדמות. משוואת המראה ומשוואת ההגדלה ניתנות לגזירה גאומטרית על ידי בחינת שתי הקרניים הללו.

קרן נוספת שאפשר להעביר היא קרן שעוברת מהחלק העליון של האובייקט דרך המוקד. קרן כזו חוזרת במקביל לציר האופטי ועוברת גם היא דרך נקודת הדמות המתאימה לראש האובייקט. שלוש הקרניים נפגשות בנקודה אחת, היא ראש הדמות.

מטריצת קרניים של מראות כדוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במעקב אלומות לייזר גאוסיאניות דרך רכיבים אופטיים משתמשים במטריצת הקרניים (ABCD) של הרכיב האופטי. חישוב מטריצת הקרניים של מראות כדוריות נעשה תחת קירוב פרקאסיאלי, שהוא קירוב מסדר ראשון המניח עבור מראה כדורית שהיא חלק מפרבולה. מטריצת הקרן של מראה כדורית קעורה מוצגת כאן. אלמנט המטריצה $C$ הוא $-{\frac {1}{f}}$ , כאשר $f$ הוא מוקד המכשיר האופטי.

תיבות 1 ו-3 כוללות סיכום זוויות משולש והשוואה לרדיאנים π (או 180°). תיבה 2 מציגה את סדרת מקלאורין של $\arccos \left(-{\frac {r}{R}}\right)$ עד לסדר הראשון. הנגזרות של מטריצות הקרניים של מראה כדורית קמורה ועדשה דקה דומות מאוד.