גאומטריית נהגי המוניות

גאומטריית נהגי המוניות הוא כינוי למרחב מטרי, שבו המרחק מושרה מנורמת L1 ולא מהנורמלה האוקלידית הרגילה. באופן אינטואיטיבי, זהו מרחב שבו מודדים את המרחקים על-פי אילוצי הנסיעה של נהג מונית, במקום ב"מעוף הציפור".

מקור שמה של גאומטריית נהגי המוניות (הידועה גם בשם "גאומטריית מנהטן") בתנועתו של נהג הנוסע בעיר הבנויה כולה מגושי בניינים מלבניים (כמנהטן), שכל כבישיה מאונכים ומקבילים אלה לאלה. מאחר שלא יוכל לעבור דרך הבניינים, יאלץ הנהג לנסוע תמיד ברשת הכבישים בכיוון צפון-דרום או מזרח-מערב. לכן, אורך המסלול אותו יעבור נהג כזה יהיה שווה בדיוק לסכום המרחקים אותם עבר בנסיעה מערבה והמרחקים אותם עבר בנסיעה צפונה.

בדומה למרחב האוקלידי, גאומטריה הזאת הופכת את המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ למרחב גאודזי (ולכן גם מרחב אורכים), מרחב מטרי שלם (ולכן גם מרחב בנך), וכן הטופולוגיה המושרית ממנה הומאומורפית לטופולוגיה האוקלידית הסטנדרטית. מרחב זה הוא מקרה פרטי של מרחב Lp עבור המקרה $p=1$ .

על אף שגאומטריית נהגי המוניות מוגדרת בדרך כלל על המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ ותתי-קבוצות שלו, בדומה למרחבי Lp אחרים, ניתן להגדיר מטריקות מנהטן על מרחבי סדרות ומרחבי פונקציות.

מטריקת מנהטן

יהי $n\geq 1$ . מטריקת מנהטן על $\mathbb {R} ^{n}$ מוגדרת בין הנקודות ${\begin{aligned}{\vec {x}}&={\left\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\right\rangle }\\{\vec {y}}&={\left\langle y_{1},\ldots ,y_{n}\right\rangle }\end{aligned}}$ על ידי $d\!\left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)={\left\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\right\|}_{1}={\sum _{i=1}^{n}{\left|x_{i}-y_{i}\right|}}$ כאשר $\left\|\cdot \right\|_{1}$ היא נורמת L1. כפי שניתן לראות בתרשים לעיל, זהו בדיוק אורכו של כל "מסלול נסיעה" מינימלי ברשת כבישים המכילה כבישים מאונכים ומקבילים.

מצולעים ומעגלים בגאומטריית נהגי המוניות

עקב המטריקה השונה, ישנם הבדלים רבים בין מאפייני הקווים, המצולעים והמעגלים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריית נהגי המוניות.

בעוד שבמרחב האוקלידי המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קטע, והוא המסלול היחיד בעל אורך מינימלי זה, במרחב מנהטן ישנם מסלולים רבים בעלי אורך מינימלי שווה (ראו בתרשים לעיל).

בכל מרחב מטרי אפשר להגדיר את המעגל כמקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה לגודל נתון (רדיוס המעגל). המעגל בגאומטריית נהגי המוניות הוא ריבוע (נקודות אדומות בתרשים) שמרחקן קבוע מן המרכז (נקודה כחולה). על ידי הקטנת רזולוציית הרשת ניתן לראות שהמעגל מורכב בדיוק מנקודות אלו.

בגאומטריה האוקלידית אורכו של אלכסון הריבוע הוא ${\sqrt {2}}\cdot {}r$ (על פי משפט פיתגורס), ובגאומטרית נהגי מוניות אורך האלכסון הוא $2r$ .

באופן דומה, היקף העיגול בגאומטריה אוקלידית הוא $2\pi r$ , אולם בגאומטרית נהגי מוניות היקף העיגול הוא $8r$ . מכאן שהיחס בין ההיקף לקוטר בגאומטריה זו הוא $4$ בעוד שבגאומטריה אוקלידית הוא $\pi$ .

דוגמאות נוספות למרחק נהגי המוניות

כלל הדוגמאות בסעיף זה ניתנות להבנה כמרחק מנהטן הרגיל בתתי קבוצות נבחרות של $\mathbb {R} ^{n}$ .

שחמט

תנועתו של הצריח בשחמט מתבצעת במאונך ובמאוזן בלבד, ולכן, מרחקו מכל משבצת בלוח נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות. בדומה, גם תנועתו של הרץ (בסריג המשבצות מצבע נתון) מתבצעת גם היא בשני כיוונים המאונכים זה לזה.