ויקיפדיה:הכה את המומחה/שאלות במדעים מדויקים/ארכיון 18

הצהרת משתנים בתוך לולאה (C++)

שמתי לב שיש קודים שבהם מצהירים על משתנה מקומי בתוך לולאה. נראה כך:

	for (i = 0; i < 1e4; i++){
  

        double dx_dy = x/y;
        x=x+dx_dy;
....
{

וכד' (הקוד עצמו זה סתם). הכוונה שלי שיש double תוך כדי ריצה. ראיתי במספר אתרים שטועים שזה שיטה טובה, אם אין למשתנה הזה שימוש מחוץ ללולאה ואין צורך לזכור את הערך מהאיטרציה הקודמת. אבל אני תוהה לגבי "משחק הזיכון". כל פעם בכל איטרציה אני מבקש מחדש להקצות לי תא זיכרון חדש, בזמן שאני משחרר את הקודם. זה מרגיש כאילו שאני מבקש מהמכונה "להתאמץ" יותר ביחס למקרה שאני משתמש באותו התא וכל פעם מעדכן את הערך. האם אני טועה? Corvus‏,(Nevermore)‏ 18:52, 16 במאי 2023 (IDT)

היי,

בגדול, בין הקוד שאתה כותב לבין קוד המכונה שיבוצע בסופו של דבר יש שלבים של אופטימיזציה, למשל ע"י המהדר.

במקרה הזה, המהדר יזהה את ההקצאה של המשתנים בתוך הלולאה וידאג לזה שזה לא באמת מה שיקרה, אלא האזור במחסנית יוקצה פעם אחת בכניסה לפונקציה ויימחק פעם אחת בסופה.

את היתרונות שבשימוש בשיטה הזו, אתה כבר מנית.

לתשובה מעמיקה יותר, ראה כאן. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 19:28, 16 במאי 2023 (IDT)

למה במציאות לא מתרחש שינוי במסת המנוחה, אלא אם כן הוא כרוך בבליעת/פליטת חלקיקים חסרי מסת מנוחה?

פירוט:

אם מדובר בתהליך - שומר-אנרגיה - אם כי לאו דווקא שומר אנרגיה קינטית, אז הייתי מצפה שלמשל, גם בלי לבלוע/לפלוט שום אור (ושום חלקיקים חסרי מסת מנוחה), גוף נע - יוכל לעבור למנוחה - תוך הגדלת מסת המנוחה שלו (וכמובן תוך שמירת המסה היחסותית הכללית שלו כדי לוודא שאכן נשמרת האנרגיה), וכן להפך: גוף נח - יוכל להתחיל לנוע - תוך הקטנת מסת המנוחה שלו (וכמובן שוב תוך שמירת המסה היחסותית הכללית שלו כדי לוודא שאכן נשמרת האנרגיה).

אם מדובר בתהליך שאינו שומר-אנרגיה (כלומר כך שפועלים כוחות חיצוניים שאינם שומרי אנרגיה), אז הייתי מצפה אפילו ליותר, כלומר לכך ששינוי במסת המנוחה (הכללית של כלל הגופים המעורבים בתהליך) יוכל לקרות - אפילו בלי שתשתנה המהירות - ושוב גם בלי לבלוע/לפלוט אור (וכו'). אם כי יש להודות כי - אם אכן יקרה תהליך כזה שאינו שומר אנרגיה - אז כבר לא יהיה יתרון בהבחנה שבין מסת מנוחה לבין מסה יחסותית כללית, שהרי מהו מותר מסת המנוחה מהמסה היחסותית הכללית - אם לא בכך שמסת המנוחה אינה משתנה (כל עוד שלא נבלע/נפלט אור).

2A06:C701:7465:700:1413:EA65:9DE:707C 10:13, 17 במאי 2023 (IDT)

היי, התהליך שתיארת לא מקיים את חוק שימור התנע, ולכן לא יכול להתקיים (למיטב ידיעתנו :) ). ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 14:13, 17 במאי 2023 (IDT)

תכף אדון בתנע, אבל רק אקדים ואזכיר אגבית, שהשאלה שלי מתייחסת במפורש לתהליכים שאינם שומרי אנרגיה קינטית, כפי שמובהר כבר בפיסקה הראשונה של תגובתי הקודמת.

לגבי התנע: האמנם בכל שינוי במסת המנוחה, שכרוך בבליעת/פליטת אור, תמיד נשמר התנע? האמנם אף פעם אין כוחות שמשנים את התנע?

2A06:C701:7465:700:1413:EA65:9DE:707C 16:35, 17 במאי 2023 (IDT)

במערכת סגורה (ללא כוחות חיצוניים) התנע תמיד נשמר. זה חוק שימור התנע. אם קיימים כוחות חיצוניים, התנע לא יישמר. להבנתי לא זו המערכת שתיארת. אם כן התכוונת למערכת שאינה סגורה, אז אין מה לדבר על חוקי שימור. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:55, 17 במאי 2023 (IDT)

איך יתכן - שלהבנתך - במערכת שתיארתי אין כוחות חיצוניים, אחרי שחילקתי את שאלתי לשתי פיסקאות, כשהאחת דנה (ואני מצטט): "בתהליך - שומר-אנרגיה - אם כי לאו דווקא שומר אנרגיה קינטית", בעוד שהפיסקה השניה דנה (ואני מצטט): "בתהליך שאינו שומר-אנרגיה (כלומר כך שפועלים כוחות חיצוניים שאינם שומרי אנרגיה)". משני הציטוטים האלה עולה מסקנה אחת ויחידה: כל אחת משתי הפיסקאות דנה במערכת לא סגורה. ובכל זאת הבנת אחרת. איך יתכן?

עכשיו אחדד את השאלה המקורית שלשמה נפתח כל הדיון הזה: מה ההבדל בין מצב - אקטואלי כידוע - שבו יש שינוי במסת המנוחה תוך כדי בליעת/פליטת אור, לבין מצב - תיאורטי בלבד כידוע - שבו יש שינוי במסת המנוחה אך בלי בליעת/פליטת אור? למה המצב הראשון מתאפשר בטבע, אבל השני לא? זה היה שורש השאלה המקורית, ולדעתי כל זה רמוז היטב גם בכותרת.

2A06:C701:7465:700:1413:EA65:9DE:707C 2A06:C701:7465:700:1413:EA65:9DE:707C 21:41, 17 במאי 2023 (IDT)

לא שמתי לב לפרטים בחלק השני של השאלה בגלל פרטים שראיתי בחלק הראשון שלה, והתייחסתי בתשובתי רק אליה. הנחתי שהתכוונת שלא פועלים כוחות חיצוניים (שלא מוזכרים בחלק הראשון של השאלה כלל), ושאתה מתכוון שהעברה של מסה יחסותית לאנרגיה קינטית אולי אפשרית ולא סותרת חוקי שימור, מכיוון שהאנרגיה הכללית נשמרת. ציינתי שבמקרה הזה התנע לא נשמר (לגוף נייח יש תנע אפס, בעוד לגוף נע בעל מסה יש תנע שונה מאפס). אני מבין עכשיו שלא זה מה ששאלת.

עם זאת, אני עדיין לא בטוח שהבנתי את השאלה שלך. אנא תקן אותי אם אני מפרש משהו לא נכון.

אתה מדבר על הפעלת כוחות חיצוניים, ללא בליעה או פליטה של חלקיקים. לאילו כוחות אתה מתייחס? ע"פ המודל הסטנדרטי, שלושה מארבעת הכוחות הבסיסיים של הטבע מתווכים ע"י חלקיקים שהם נשאי הכוח, ולגבי הרביעי יש השערה לגבי קיומו של חלקיק כזה (הגרביטון), אך הוא טרם התגלה, ועדיין לא פותחה תורה שמשלבת אותו בהצלחה בתורת השדות הקוונטיים. כך שאם אתה לא מתכוון לגרביטציה, התשובה היא שקיומם של כוחות חיצוניים בהכרח כרוך בחילופי חלקיקים עם הסביבה, ואם אתה מתכוון לגרביטציה, אז התשובה היא שהאנושות עדיין לא הצליחה לשלב אותה עם המודל הסטנדרטי של החלקיקים כך שהשאלה שלך מקדימה את זמנה. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 22:06, 17 במאי 2023 (IDT)

תודה על ההבהרה. אחדד את השאלה: ובכן נניח כי אלקטרון ופוזיטרון נעים זה לקראת זה על אותו מסלול חד-מימדי, בעודם בעלי תנע כללי מאופס, עד שהם נפגשים ומתאיינים, כשהתוצאה היא פליטת פוטון (לאו דווקא יחיד) בעל תנע חיובי. האם במקרה כזה, אי שימור התנע נובע מכך שהפוטון מערב כאן כוח חיצוני (אלקטרומגנטי)? 2A06:C701:7465:700:1413:EA65:9DE:707C 00:07, 18 במאי 2023 (IDT)

במקרה הזה אין כוחות חיצוניים והתנע נשמר, ומהסיבה הזו לא יכול להיפלט פוטון יחיד בתגובה כזו. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 00:13, 18 במאי 2023 (IDT)

אבהיר למקרה שזה לא היה ברור: ראיתי שכתבת "לאו דווקא יחיד", ועניתי למקרה של פוטון יחיד, מכיוון שלא זה העיקר: בהמשך תשובתך הנחת שסך התנע איננו אפס, וזו הנחה לא נכונה, ללא תלות במספר הפוטונים שייפלטו. בדרך אגב הערתי שמהסיבה הזו לא יכול להיפלט פוטון יחיד בתגובה כזו. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 00:15, 18 במאי 2023 (IDT)

טוב, ברור שדיברתי שטויות. אוקי אז סיכמנו שנשמר כאן התנע. אבל אם כך, אז חוזרת שאלתי המקורית שבכותרת, אם כי הפעם תוך שימור התנע: השאלה כעת היא אפוא, למה דווקא זוג פוטונים (למשל), שכמובן הינם בעלי תנע כללי מאופס, ולא למשל זוג חלקיקים אחרים בעלי תנע כללי מאופס, אך בעלי מסת מנוחה כללית חיובית, שאמנם תהיה למשל קטנה ממסת המנוחה הכללית של צירוף האלקטרון והפוזיטרון, אבל כך ששני החלקיקים האחרים האלה ינועו במהירות גבוהה מזו שהיתה לאלקטרון ולפוזיטרון, וזאת כדי לשמור על האנרגיה (היחסותית) הכללית שהיתה לאלקטרון ולפוזיטרון. או להפך: מסת המנוחה הכללית של זוג החלקיקים האחרים תהיה אמנם גדולה ממסת המנוחה הכללית של צירוף האלקטרון והפוזיטרון, אבל כך ששני החלקיקים האחרים האלה ינועו במהירות נמוכה מזו שהיתה לאלקטרון ולפוזיטרון, וזאת כדי לשמור על האנרגיה (היחסותית) הכללית שהיתה לאלקטרון ולפוזיטרון. מה אפוא יתרון האור מהגוף האחר הנ"ל? האם זה רק משום שלפי המודל הסטנדרטי לא יתכן גוף אחר כזה, שיוכל לשמור על שאר חוקי השימור התת-אטומיים (כגון מטען חשמלי וספין וכו'), או שיש לכך גם הסבר ברמת המאקרו-פיזיקה, למשל ברמת המכניקה?

2A06:C701:7465:700:1413:EA65:9DE:707C 00:50, 18 במאי 2023 (IDT)

מה שתיארת עכשיו דווקא כן אפשרי - ראה בפרק על אנרגיות נמוכות כאן. ייתכן מצב בו ייווצרו זוגות של נייטרינו-אנטינייטרינו במקום זוג הפוטונים. באנרגיות גבוהות תיתכן היווצרות של חלקיקים מסיביים יותר מהאלקטרון והפוזיטרון. עיין שם. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 01:01, 18 במאי 2023 (IDT)

מאד מעניין. תודה על ההפניה. אגב, שם בפרק על אנרגיות גבוהות מצויין, שמהתנגשות של אלקטרון ופוזיטרון גם יכול להיווצר חלקיק בודד: בוזון Z. אני מניח שהכוונה היא להתנגשות בין אלקטרון ופוזיטרון בעלי תנע כללי שאינו מאופס, וזאת כדי לאפשר גם לבוזון Z ההוא - שנוצר מהתנגשותם - להיות בעל אותו תנע בלתי מאופס.

2A06:C701:7477:2400:57C:A27A:7725:4C68 20:25, 18 במאי 2023 (IDT)

בעיקרון, לאלקטרון ולפוזיטרון תמיד יש מערכת מרכז מסה, בה התנע הכולל שלהם שווה אפס. בוזון Z, בשונה מפוטון, הוא חלקיק מסיבי שנע מתחת למהירות האור, ולכן גם לו יש מערכת מנוחה בה התנע שלו שווה אפס.

אם יש אינטראקציה שבה אלקטרון ופוזיטרון הופכים לבוזון Z יחיד, הדרך היחידה שבה אני רואה את זה קורה היא שהוא ייווצר במנוחה במערכת מרכז המסה שלהם. (זה התהליך ההפוך מבוזון Z במנוחה שמתפרק לזוג של אלקטרון/פוזיטרון). ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 15:42, 22 במאי 2023 (IDT)

האם לא נראה לך מוזר, שיתכן חלקיק תת-אטומי שנמצא במנוחה, במסגרת יחוס שבה כל החלקיקים התת-אטומיים האחרים נצפים נעים? האם נתקלת אי פעם באיזכור של אופציה כזאת? אולי רק בעיבוי בוז-אינשטיין או משהו בסגנון. ולמה שלא תניח בפשטות, שבוזון Z ההוא נוצר בנקודת ההתנגשות שבין אלקטרון ופוזיטרון בעלי מהירות שונה, כך שגם לבוזון החדש Z יש תנע בלתי מאופס בנקודת ההתנגשות הנ"ל? 2A06:C701:747B:E700:B863:B7A0:D2E1:34AE 04:34, 23 במאי 2023 (IDT)

אני לא בטוח שהבנת את כוונתי. דמיין למשל אוסף של אלף חלקיקים שנעים באקראי וללא אינטראקציה ביניהם, כל אחד במהירות וכיוון שונים (אבל כולם במהירות תת אורית). עכשיו בחר אחד מהם כרצונך. עבור למערכת ייחוס שנעה במהירות שלו, והרי לך מערכת בה חלקיק אחד נמצא במנוחה וכל היתר נצפים כנעים.

את התהליך שתיארתי עכשיו אתה יכול לבצע בכל מערכת שתרצה כמעט (תחת הגבלות ברורות, למשל אי אפשר לעבור למערכת מנוחה של פוטון). זה הרעיון במערכת מנוחה.

התיאור שהצגת כתיאור פשוט הוא למעשה אותו התיאור שאני הצגתי, רק שאתה מתאר אותו במערכת שאינה מערכת מרכז המסה (ולכן בעצם זה תיאור טיפה יותר מורכב, כי הוא מערב מהירות נוספת). מותר לנו לבחור באיזו מערכת נתאר את הניסוי, ומכיוון שקיימת מערכת מנוחה לכל בוזון Z, מותר לנו לבחור בזו של הבוזון שלנו כמערכת הייחוס שלנו. מכיוון שע"פ ההגדרה שלה כמערכת מנוחה התנע הכללי הסופי מאופס בה, גם התנע ההתחלתי יהיה מאופס בה ומכאן שבה (ורק בה) האלקטרון והפוזיטרון ינועו באותה מהירות. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:04, 25 במאי 2023 (IDT)

מסכים עם דבריך. חן חן. 2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 23:01, 28 במאי 2023 (IDT)

איך לחשב נפשית 520-250?

אני יכול לחשב את זה על דף נייר אנכית בלי בעיה אבל אני מבקש ללמוד מה האלגוריתם הכי נכון לחשב את זה נפשית.

אני מכיר שני דרכים לחישוב נפשי של זה:

דרך קצרה

500-200
=
300

300-100
=
200

20+50
=
70

200+70
=
270

דרך ארוכה

500-200
=
300

300-100
=
200

200+20
=
220

220+50
=
270

הדרך הקצרה קצת יותר אינטואיטיבית לי אבל בשני המקרים אני לא יודע להסביר למה צריך לעשות 300-100 ומה "עדיף" לאחר מכן 20+50 או 200+20 או משהו אחר (אם יש).

תודה. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

מה זה "לחשב נפשית"? אסף השני - שיחה 22:55, 20 במאי 2023 (IDT)

לחשב בלי כתיבה אנכית או בלי מחשבון, ב"ראש", בתודעה. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

באנגלית זה נקרא mental calculation, זה תורגם מילולית (המונח הנכון בעברית הוא "לחשב בעל פה").

לגופו של עניין: שיטת החישוב הזו לא נכונה; אם תנסה אותה עם מספר שלא מסתיים ב50, למשל 520-240, תקבל תשובה לא נכונה.

הסיבה היא שבמקום לחסר 50, בשיטה הזו אתה מחסר 100 ומחבר 50, שזה אמנם אותו דבר במקרה הזה, אבל לא יעבוד עם כל מספר אחר. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:16, 20 במאי 2023 (IDT)

אז אני לא מבין איך אתה מציע שאחשב תרגיל זה ותרגילים דומים. דוגמה אחת מאד תעזור לי. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

כדי לחשב תרגילים כאלה בראש, אני "עובר דרך מספרים עגולים". למשל, עבור הדוגמה שאתה נתת:

קודם כל אני מחסר 20 כדי להגיע ל500 (נשאר לחסר 230).

אח"כ אני מחסר 200 ומגיע ל300.

ובסוף אני מחסר את ה-30 שנשארו, ומגיע ל270.

היתרון בשיטה הזו הוא שהתרגיל המסובך יחסית מתפרק לסדרה של תרגילים פשוטים יותר.

החסרון הוא שצריך לעקוב בכל שלב אחרי כמה עוד נשאר לחסר.

נסה את זה על כמה מספרים לדוגמה, תראה אם השיטה מתאימה לך. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 20:23, 21 במאי 2023 (IDT)

הבנתי שאתה עושה כך:

520-20
=
500

500-250
=
250

250+20
=
270

וכן עם 240 במקום 250:

520-20
=
500

500-240
=
260

260+20
=
280

וכן עם 230 במקום 250:

1020-20
=
1000

1000-230
=
770

770+20
=
790

אם כך, הכלל שאני מפרש מכאן הוא שבתרגילי חיסור יש קודם כל "לשטח" את המספר הראשון משמאל (המחוסר) ובסוף התרגיל להחזיר לתוצאה הלפני אחרונה את הכמות ש"שיטחנו" ממנו. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

┐────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────└

סליחה! איכשהו פספסתי את התשובה שלך קודם לכן.

למען האמת לא לזה התכוונתי בדיוק...

אתה צודק שהרעיון הוא לעבוד עם מספרים כמה שיותר "שטוחים". אבל כרגע אתה עדיין צריך לפתור תרגילים "מורכבים", כמו

500-250,

500-240,

1000-230.

הרעיון הוא להימנע אפילו מזה.

אנסה להדגים בעזרת הדוגמה המקורית ודוגמה נוספת.

520-250:

את 250 נכתוב כ-

20+200+30,

ואז נחשב:

520 -  20 = 500
500 - 200 = 300
300 -  30 = 270

דוגמה נוספת:

840-290:

את 290 נכתוב כ-

40+200+50,

ואז נחשב:

840 -  40 = 800
800 - 200 = 600
600 -  50 = 550

כמובן שיש המון דרכים, אין אחת שהיא יותר טובה מהשנייה (כל עוד שתיהן נכונות...) - כל אחד ומה שנוח לו. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 09:22, 25 במאי 2023 (IDT)

שאלה בסיסית במכניקה הקלאסית, לגבי הקשר המפורסם שבין: המהירות, המסה, והאנרגיה הקינטית:

לפנינו ארגז, שמסתו שולית וזניחה, ושבתוכו מים שהמסה שלהם $m$ היא למשל יחידה אחת (למשל 1 קילו), כשכל המערכת נעה במהירות $v$ בעלת גודל של למשל יחידה אחת (למשל 1 קמ"ש). תיאורטית, ניתן לחשוב על שתי דרכים חלופיות כדי לחשב את האנרגיה הקינטית של המים.

דרך ראשונה מניחה, שהמסה $m$ של הגוף הנתון קבועה, ושהגודל היחיד שמשתנה הוא המהירות $v$ של הגוף. לפי הדרך הזאת, התסריט שחולף אצלי כעת בראש הוא כדלהלן: אדם דוחף ארגז, שמסתו שולית וזניחה, ושמלא במי גשם (תכף יובן למה דווקא מי גשם) - שהמסה שלהם $m$ היא קבועה - ובעלת גודל של למשל יחידה אחת (למשל 1 קילו), בעוד שבתחילת תהליך הדחיפה - המהירות של הארגז ושל מי הגשם שבתוכו - מאופסת, אבל במהלך הדחיפה - מהירות זו הולכת וגדלה ברציפות - עד שבסוף-התהליך המהירות $v$ של הארגז ושל מי הגשם שבתוכו כבר מספיקה להצטבר לכדי יחידה אחת (למשל 1 קמ"ש). חישוב מהיר מעלה כי במקרה כזה - האנרגיה הקינטית של מי הגשם הנתונים בארגז - אשר היא כמובן בגודל-העבודה שבוצעה עליהם, היא למעשה בגודל של $,W={\frac {mv^{2}}{2}}$ כלומר של חצי יחידה (לפי הנתונים המספריים שהידגמתי לעיל). עד כאן סבבה, כי הכול עובד טיפ טופ לפי אחת הנוסחאות הכי מפורסמות במכניקה הקלאסית.

אבל כאן אני נתקל במהמורה קשה, שהרי לחישוב האנרגיה הקינטית יש גם דרך שניה, שלגמרי סימטרית לראשונה, וששונה מהראשונה רק בשאלה מהו הגודל הקבוע ומהו המשתנה. כלומר הדרך השניה מניחה, שהמהירות $v$ של הגוף הנתון קבועה, ושהגודל היחיד שמשתנה הוא המסה $m$ של הגוף. לפי הדרך הזאת, התסריט שחולף אצלי כעת בראש הוא כדלהלן: אדם דוחף ארגז - שמהירותו $v$ היא קבועה ובעלת גודל של למשל יחידה אחת (למשל 1 קמ"ש), בעוד שבתחילת תהליך הדחיפה - הארגז שמסתו שולית וזניחה - ריק, אבל במהלך הדחיפה - הארגז הולך ומתמלא ברציפות במי גשם שיורד מלמעלה (כך שמהירות הירידה שולית וזניחה) - עד שבסוף-התהליך המסה $m$ של מי הגשם שבארגז כבר מספיקה להצטבר לכדי יחידה אחת (למשל 1 קילו). חישוב מהיר מעלה כי במקרה כזה - האנרגיה הקינטית של מי הגשם הנתונים בארגז - אשר היא כמובן בגודל-העבודה שבוצעה עליהם, היא למעשה בגודל של $,W=mv^{2}$ כלומר של יחידה אחת (לפי הנתונים המספריים שהידגמתי לעיל).

איך מיישבים את הסתירה שבין מסקנות שתי הפיסקאות האחרונות? זאת נוכח הזהות המוחלטת שבין שתי הפיסקאות האחרונות - לפחות לגבי האנרגיה הקינטית התחילית של המים - ולגבי מצב הסיום של מהירות-ומסת-המים, בעוד שגם לגבי השאלה - מה קבוע ומה משתנה - עדין יש סימטריה מוחלטת בין שתי הפיסקאות!

147.235.223.102 14:25, 22 במאי 2023 (IDT)

בדרך השנייה של צבירת האנרגיה שתיארת, האם תוכל לפרט איך מגיעים לערך של יחידה אחת עבור האנרגיה הקינטית (ולא חצי)? ואיך הגעת לערך של חצי בדרך הראשונה? האם ביצעת אינטגרציה כלשהי? ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 16:06, 22 במאי 2023 (IDT)

נסמן ב-$t$ את זמן התהליך, ב-$x$ את אורך המסלול (נניח הישר) שלאורכו עובר הארגז שבתוכו המים, ב-$v$ את מהירות המים, ב-$m$ את המסה שלהם, ב-$p$ את התנע שלהם, ב-$F$ את הכח המופעל עליהם, ב-$W$ את העבודה המבוצעת עליהם, וב-$E_{k}$ את האנרגיה הקינטית שלהם.

מצירוף חמש הנוסחאות הקלאסיות: $,E_{k}=W,dW=Fdx,Fdt=dp,dx=vdt,p=mv$ מתקבלת המשוואה הידועה: $dE_{k}=vd(mv)$.

בדרך הראשונה, המסה קבועה ורק המהירות משתנית, ולכן לפי המשוואה הידועה הנ"ל נקבל $,dE_{k}=vd(mv)=mvdv$ ולכן $E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}$. כמובן קבוע-האינטגרציה מאופס, וזאת נוכח התאפסות האנרגיה הקינטית במצב התחילי של התהליך.

בדרך השניה, המהירות קבועה ורק המסה משתנית, ולכן לפי המשוואה הידועה הנ"ל נקבל $,dE_{k}=vd(mv)=v^{2}dm$ ולכן $E_{k}=mv^{2}$. כמובן קבוע-האינטגרציה מאופס, וזאת נוכח התאפסות האנרגיה הקינטית במצב התחילי של התהליך.

147.235.223.102 16:28, 22 במאי 2023 (IDT)

בדרך החישוב השניה אספת טיפות גשם לאורך המסלול, אבל הנחת שהעבודה שנעשתה על כל הטיפות שווה. הטיפות שהצטרפו בשניה האחרונה לא נהנו מאותה עבודה כמו אלו שהיו שם בתחילת הדרך. עוזי ו. - שיחה 18:17, 22 במאי 2023 (IDT)

תוספת מאוחרת: הבה נניח בפשטות שהכח שפועל על הארגז אינו האדם הדוחף (שאותו אני מסלק כעת מהתסריט), אלא הוא הכח החיצוני שאחראי רק לכך, שלתוך המערכת המקורית כלומר לארגז - יוכנסו באופן תמידי גופיפים חדשים, שכבר היו נעים מלכתחילה - באותו כיוון ובאותה המהירות הקבועה של הארגז - עוד בטרם הוכנסו אליו על ידי הכח הנ"ל. שים לב, שלמרות שכעת השתנה מעט התסריט המקורי שאליו מתייחסת דרך החישוב השניה, עדין היא עצמה אינה צריכה להשתנות כמלוא הנימה, והיא נשארת אפוא בעינה. מה שחשוב אפוא כעת, זה פחות התסריט עצמו, ויותר - דרך החישוב השניה - שמתייחסת למצב שבו מה שקבוע הוא המהירות בעוד שהמשתנה הוא המסה. 147.235.223.102 23:14, 22 במאי 2023 (IDT)

שלום עוזי, אני לא בטוח למה התכוונת בתשובה שלך, יכול להיות שאני אומר אותו דבר במילים אחרות, ואם כן אז סליחה.

חלק מהנוסחאות שצוטטו לעיל נכונות רק למקרה של מסה קבועה, ואינן תקפות במערכות עם מסה משתנה. יש כמה דרכים לחשוב על זה, אבל אולי זו שמתאימה ביותר למקרה המסוים הזה היא שלא כל העבודה שמבצע הכח הולכת להגדלת האנרגיה הקינטית, ולכן שוויון האנרגיה והעבודה לא יהיה נכון במקרה הזה.

הסיבה היא שטיפת מים שמצטרפת לארגז הנע צריכה להאיץ ממהירות אפס (יחסית לקרקע) למהירות הנוכחית של הארגז, ורק אז היא מצטרפת לחישוב האנרגיה הקינטית של מסת המים.

את החלק הראשון הזה, של האצת תוספת המסה למהירות הארגז, עושים כוחות חיכוך/צמיגות שגורמים ליצירת חום ובזבוז חלק מהעבודה שהכח החיצוני עושה על המערכת. בתרחיש הספציפי הזה, של מסה שמצטברת ממנוחה לתוך גוף נע, בדיוק חצי מהעבודה מתבזבזת על השלב של האצת תוספות המסה, וחצי הולך לאנרגיה הקינטית. כך שהאנרגיה שווה לחצי מהעבודה שהכח עושה, ולא לכולה. לניתוח מדוקדק יותר, ראו כאן. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 18:54, 22 במאי 2023 (IDT)

כדי לסלק את בעיית החיכוך וכדומה, אין בעיה עקרונית להניח שיש אלסטיות גמורה הן לארגז והן לגופיפים הנכנסים אליו. אבל כדי לפשט את הדיון יותר, ובמיוחד כדי לתת מענה הולם לטענתך האחרת - והיותר משמעותית לטעמי - אודות בעיית האצת הגופים הנכנסים לארגז, הבה נניח בפשטות שהכח שפועל על הארגז אינו האדם הדוחף (שאותו אני מסלק כעת מהתסריט), אלא הוא הכח החיצוני שאחראי רק לכך, שלתוך המערכת המקורית כלומר לארגז - יוכנסו באופן תמידי גופיפים חדשים, שכבר היו נעים מלכתחילה - באותו כיוון ובאותה המהירות הקבועה של הארגז - עוד בטרם הוכנסו אליו על ידי הכח הנ"ל. שים לב, שלמרות שכעת השתנה מעט התסריט המקורי שאליו מתייחסת דרך החישוב השניה, עדין היא עצמה אינה צריכה להשתנות כמלוא הנימה, והיא נשארת אפוא בעינה. מה שחשוב אפוא כעת, זה פחות התסריט עצמו, ויותר - דרך החישוב השניה - שמתייחסת למצב שבו מה שקבוע הוא המהירות בעוד שהמשתנה הוא המסה. 147.235.223.102

היי, שים לב שהוספת תגובה דומה מעל תשובתי הקודמת, באופן שמשנה את השאלה מספיק כדי לבלבל קוראים עתידיים שייתקלו בתגובה שלי (למעט מי מהם שיבחין בזמני החתימות). במקרים כאלה רצוי להוסיף בתחילת התגובה הערה כגון "תוספת מאוחרת", כדי להסב את תשומת ליבם של קוראים עתידיים ולמנוע בלבול.

לגופו של עניין, אני שוב לא בטוח שהצלחתי להבין נכון למה התכוונת בניסוח הנוכחי של השאלה. איזה כח חיצוני פועל, שאת העבודה שלו אתה מעוניין לחשב? אם הבנתי נכון, אנחנו מתחילים ממסה אפס, אין כוחות חיכוך, וכל המסה שנוספת לארגז היא כבר במהירות הסופית. אם כך היא מכניסה את האנרגיה הקינטית איתה למערכת, ולא נדרש שום כח חיצוני כדי להביא אותה למהירות הסופית; הכח הוא אפס, ואז העבודה שהוא מבצע היא אפס ללא תלות במרחק שהוא פועל לאורכו.

יכול להיות שלא הבנתי משהו נכון או שפיספסתי פרט, אני מתנצל מראש אם ההסבר שלך לא הובן היטב. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 00:05, 23 במאי 2023 (IDT)

אוקי, לתגובתי לעוזי הוספתי כעת את המילים "תוספת מאוחרת".

לגופו של עניין: אם למערכת המקורית יש מסה $M$ שנעה במהירות $,V$ ותוך אינטרוואל $\Delta t$ של זמן - נוסף למערכת הזאת גוף שני בעל אותה מסה ואותה מהירות, אז אפשר לסכם ולהגיד שתוך אינטרוואל $\Delta t$ של זמן גדל תנע המערכת פי שניים. והרי, מהגדרת הכח (הממוצע): $F=\Delta p/\Delta t$ נובע כי בהכרח מה שהכפיל את תנע המערכת הוא כח (ממוצע) חיצוני שהוסיף למערכת המקורית את הגוף השני. לסיכום: בהתייחס לתסריט המעודכן שאותו תיארתי לך בתגובתי הקודמת, עיקר תמיהתי היא אפוא, שלכאורה אם נתון גוף בעל מסה חיובית ובעל מהירות חיובית, אז לא ניתן להכריע האם לחשב את האנרגיה הקינטית שלו לפי דרך החישוב הראשונה או לפי דרך החישוב השניה, בעוד שכל אחת משתי דרכי החישוב נותנת תוצאה שונה! 147.235.223.102 02:29, 23 במאי 2023 (IDT)

כשכתבתי לעיל שחלק מהנוסחאות המצוטטות לא תקפות במקרה של מסה משתנה, התכוונתי לכלול גם את הנוסחה הזו. ברור לך מהטיעונים שכתבתי שאין כל כח חיצוני במערכת בתרחיש הזה, ועדיין נכון מה שכתבת, שהתנע משתנה. עיין בפתיח כאן, מוסבר שם בדיוק שצריך לתקן את החוק השני של ניוטון כאשר יש תנע שנוסף אל או נגרע מן המערכת דרך המסה המשתנה.

מהסיבה הזו, הדרך הנכונה לחשב את האנרגיה של המערכת היא הדרך הראשונה, ולא השנייה. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 06:41, 23 במאי 2023 (IDT)

לדעתי עירבבת בין שתי גרסאות שונות של החוק השני של ניוטון: האחת, הפחות כללית, והמתייחסת למסה קבועה בלבד, טוענת: $.F=ma$ זו ורק זו הגירסה שאליה מתייחס הפתיח שאליו הפנית אותי ושטוען שיש לפסול אותה כאשר המסה כן משתנה. אבל הגירסה השניה של החוק השני של ניוטון, זו היותר כללית, שמתייחסת גם למצב שבו המסה עלולה להשתנות, מגדירה את הכח: $.F={\frac {dp}{dt}}$ הגירסה הכללית הזו, לא זו בלבד שהיא אינה נפסלת בתוך הערך שאליו הפנית - שהרי מדובר בהגדרה, אלא עליה הוא אפילו נשען במוצהר - הן בפרק הזה והן בפרק שאחריו - כדי להוכיח שם כמה נוסחאות חדשות.

כעת, אם תבדוק תיווכח, שלאורך כל הדרך מעולם לא נזקקתי לגרסתו הבלתי כללית של החוק השני של ניוטון - זו הנפסלת שם, אלא אך ורק לגרסתו הכללית, ולכן אינני מוצא שום קושי מתודולוגי בשימוש בה - הן כשפירטתי את דרך החישוב הראשונה שלי - והן כשפירטתי את דרך חישוב השניה שלי. הדרך השניה - שאותה ביקרת כזכור, מתייחסת כזכור למצב שבו המהירות קבועה והמסה משתנה. במצב זה, אמנם המהירות אינה משתנה, אבל התנע - כן משתנה ברציפות במשך הזמן - מה שמצדיק אפוא את השימוש בגירסה הכללית של החוק השני של ניוטון, ולכן טרם הבנתי איזה פגם מצאת בדרך החישוב השניה. 2A06:C701:747B:E700:B863:B7A0:D2E1:34AE 11:16, 23 במאי 2023 (IDT)

היי, אני חולק עקרונית על התיוג של הצורות של החוק השני של ניוטון כ"כללית" וכ"בלתי כללית". כל אחת מהן נכונה בהקשרים המתאימים. לגבי הדעה שהבעת בתחילת התשובה שלך, תנוח דעתך שלא ערבבתי ביניהן.

לגבי הגדרת הכוח שהבאת מתוך הערך שקישרתי אליו, אנא עיין גם בפרטים הקטנים (כלומר שים לב מה משמעות הגדלים שמופיעים במשוואות), ובוודאי תשים לב ששם, גם התנע ההתחלתי כולל את התנע של תוספת המסה, כלומר התוצאה הישירה משם היא שבמערכת של שתי מסות באותה מהירות שמתמזגות למסה יחידה אין שינוי של התנע; בעוד שבתשובתך אתה מדבר על תנע שמשתנה, או על הכפלת התנע (בתשובה שלפני הקודמת), ומשתמש באופן חופשי בקשר F=dp/dt. ניתן להשתמש בו רק אם מגדירים אותו מחדש בצורה הנכונה, ולא איך שרוצים.

אתה מוזמן לעיין כאן (במיוחד בפסקאות הראשונות של התיאוריה. זה לא אותו המאמר ששלחתי קודם) וכאן, במיוחד החל מהפיסקה השלישית של התשובה הראשונה (כשאני סופר את שתי המשוואות הראשונות ואת הטקסט שסביבן כפיסקה אחת), שם המשיב מתייחס מפורשות ל"כלליות" של הצורה שקראת לה הצורה הכללית של החוק השני.

אני מקווה שאחרי עיון מעמיק מספיק, תסכים שהנוסחה שקושרת את הכח החיצוני לנגזרת התנע (עליה הסתמכת בפיתוח שלך) אינה נכונה באופן כללי במערכות עם מסה משתנה. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 12:28, 23 במאי 2023 (IDT)

לגבי דבריך, שהמאמר בויקפידיה שאליו הפנית אותי (בתגובתך הלפני אחרונה) דן על תנע שאינו משתנה: אם כך אז יוצא שהמאמר אינו דן בדבר שבו אני כן דן, כי אני דן בתנע משתנה: בין אם בגלל שהמהירות משתנה (עם מסה קבועה), ובין אם בגלל שהמסה משתנה (עם מהירות קבועה). אם כך, אז למה להפנות אותי למאמר שאינו דן במצב שבו אני כן דן?

נכנסתי לשני האתרים החדשים שאליהם הפנית אותי כעת. כדי לעיין במאמר ה-PDF שמוצע באתר הראשון, נדרשת הרשמה - במחיר מופקע לדעתי, אז ויתרתי (אך למרות זאת מגיעה לך כמובן תודה, והיא תגדל אף יותר אם תצליח להעביר לי איכשהו את הקובץ ההוא). נכנסתי אפוא לאתר השני, היותר ידידותי ומסביר פנים. הוא טוען שהנוסחה $F={\frac {dp}{dt}}$ אינה תקפה במכניקה הקלאסית. ניסיתי לבדוק מה כן תקף לדעתו, אז נוכחתי שהוא מציג שם את נוסחה 4, שאותה הוא מתיימר להוכיח בהערה 1. אבל בהערה 1 הוא לא מציג שום מערכת של הגדרות/אקסיומות שלפיהן הוא מוכיח את נוסחה 4. אם הוא מתבסס בהיחבא על הנוסחה $F=ma$ שכידוע תקפה רק למסה קבועה, אז יוצא שהוכחתו בלתי תקפה לכל המצבים. זה מעלה את התהייה המתבקשת כעת: מהי ההגדרה (המכנית) הכללית של כח, כלומר בלי שנהיה מוגבלים רק למצבים מסויימים (כגון לכאשר המסה קבועה)? הלא תסכים איתי, שההגדרה (המכנית) הזאת צריכה להיות פשוטה ואינטואיטיבית, נניח כמו שמגדירים (קינמטית) את המהירות $,v={\frac {dx}{dt}}$ וכמו שמגדירים (מכנית) את התנע $,p=mv$ וכדומה. אמנם, הציפייה שלי מההגדרות להיות פשוטות - כמובן אינה אמורה לחול על נוסחאות שנובעות מהגדרות, כי נוסחאות כאלה דווקא כן יכולות להיות מורכבות, ומאותה סיבה גם אינני מצפה לפשטותן של נוסחאות אמפיריות (כגון חוק הכבידה או חוק קולון וכדומה): גם הן עלולות להיות מורכבות - כי הן לא הגדרות, אבל כח הוא מושג כל כך יסודי - ולכן מצופה ממנו כן להיות מוגדר באופן פשוט ואינטואיטיבי ולכאורה עבור כל המצבים, אז מהו האופן הזה (אם בכלל)? כל הזמן חשבתי $,F={\frac {dp}{dt}}$ אבל אתה אומר שלא, אז מה כן?

2A06:C701:747B:E700:B863:B7A0:D2E1:34AE 16:26, 23 במאי 2023 (IDT)

כמובן שהמאמר דן בנושא שלנו. המאמר דן במערכת כללית עם מסה משתנה. הסתכל בנוסחה עבור dp בפרק של מסה נצברת. נסה להיווכח בעצמך שבמקרה הפרטי של מסות עם מהירות שווה שמתמזגות, התנע לא משתנה (כי dv=0 וגם u-v=0), ולכן במקרה הזה, שבו טענת שהתנע משתנה ולכן חייב להיות כח חיצוני, הסברתי לך שהתנע לא משתנה ואין צורך בכל כוח חיצוני. אנא קרא שוב את מה שכתבתי בשעה 00:05, זה מה שכתבתי גם שם. האם אתה לא מסכים עם משהו מהטיעונים שמוצגים בתגובה ההיא?

במקרים אחרים, של מסה שמתחברת במהירות שונה, כמובן שכן נדרש כח חיצוני וכן יש שינוי בתנע של המערכת.

לגבי "מה כן": החוק השני של ניוטון, F=ma, נכון עבור כל חלק מיקרוסקופי ("חלקיק") של המערכת. הייתי אומר שזה כלל פשוט ואלגנטי. מסקנות לגבי גופים מאקרוסקופיים תלויים בהנחות שלך והן תשתנינה ממערכת למערכת. למשל, עבור מערכת עם מסה קבועה, מתקיימות הנוסחאות שציטטת לעיל. עבור מערכת עם מסה משתנה, צריך לתקן בהתאם. ההסבר בערך באנגלית די מקיף לדעתי. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 17:33, 23 במאי 2023 (IDT)

תמוה בעיני, שמצד אחד אתה מתבסס על הערך של ויקיפדיה האנגלית, ומצד שני אתה טוען שהנוסחה $F=ma$ יותר בסיסית מהנוסחה: $F={\frac {dp}{dt}}$. לדעתי, שני הדברים אינם מתישבים יחדיו, שהרי: מצד אחד, הפתיח של הערך טוען שיש לתקן את הנוסחה $.F=ma$ מצד שני, הערך נשען במוצהר על הנוסחה $F={\frac {dp}{dt}}$ כמות שהיא (בלי לנסות לתקנה), הן בפרק הזה והן בפרק שאחריו, כדי להוכיח שם את הנוסחאות החדשות המהוות את גולת הכותרת של הערך. אגב, אפילו האתר האחרון שאותו ציינת בסוף תגובתך הלפני אחרונה, אמנם מתנער מהנוסחה $F={\frac {dp}{dt}}$ ככל שמדובר במכניקה הקלאסית (שעליה שאלתי את שאלתי שבכותרת), אבל מאידך הוא כן מסכים שזאת הנוסחה שעליה יש להישען במכניקה היחסותית; אם כי את זה אני מעיר כעת רק כהערת שוליים, שהרי כל הדיון כאן הוא במכניקה הקלאסית.

לגבי דבריך בשאלת השינוי בתנע ובשאלת קיום כח חיצוני: אני לא מתעקש על העמדה, שבתסריט האחרון שאותו תיארתי (בתגובתי משעה 02:29) כדי להצדיק את דרך החישוב השניה, יש שינוי בתנע. אבל גם אם אין שינוי, ולכן $F=0$, עדין תמיהתי בעינה עומדת, שהרי אז דרך החישוב השניה תתקצר אף יותר ותניב את המסקנה העוד יותר פשוטה $,dE_{k}=dW=Fdx=0$ ולכן $E_{k}=0$ (משום שקבוע-האינטגרציה מאופס וזאת נוכח התאפסות האנרגיה הקינטית במצב התחילי של התהליך), ולכן שוב תיווצר סתירה בין דרך החישוב הראשונה לבין דרך החישוב השניה, וזאת כאמור גם לשיטת כל מי שיטען (ואין לי בעיה עם זה) - שבתסריט המטופל בדרך החישוב השניה - אין כח חיצוני. שורש התמיהה שלי נעוץ אפוא בעובדה, ששני התסריטים - הן זה המטופל בדרך החישוב הראשונה והן זה המטופל בדרך החישוב השניה (והמוצג כאמור בתגובתי משעה 02:29) - מניבים שתי תוצאות שונות של אנרגיה קינטית במצב הסיום, וזאת למרות שיש זהות מוחלטת בין שני התסריטים - לפחות לגבי האנרגיה הקינטית התחילית - ולגבי מצב הסיום של המהירות ושל המסה, בעוד שגם לגבי השאלה - מה קבוע ומה משתנה (האם המהירות או המסה) - עדין יש סימטריה מוחלטת בין שני התסריטים! זאת היתה למעשה תמיהתי המקורית, שעליה טרם קיבלתי תשובה שהניחה את דעתי.

2A06:C701:747B:E700:712E:3D21:B1B6:9E43 20:52, 23 במאי 2023 (IDT)

אמספר את החלקים של התשובה, כדי להקל על ההתייחסות לכל אחד מהם בהמשך, על ידי שנינו, אם יהיה בכך צורך.

1. אתה דבק במנהג שהערתי לגביו קודם, של ציטוט נוסחאות תוך הוצאתן מהקשרן או אי מתן חשיבות למשמעות של הגדלים שמופיעים בהן. קרא שוב את תשובתי הקודמת. אני טוען ש- F=ma אכן תקף לכל חלקיק מיקרוסקופי של המערכת (שים לב שהוא לא משנה את מסתו). אל תוציא את דבריי מהקשרם, במיוחד כשהסברתי בהמשך שההרחבה למערכות מאקרוסקופיות (כלומר קבלת קשרים בין גדלים שהם מעבר לחלקיק יחיד, כמו התנע הכולל, התאוצה הכוללת, המסה הכוללת, הכח החיצוני וכן הלאה) תלויה בהנחות שתניח על המערכת. גם F=ma וגם F=dp/dt, כאשר מדובר על גופים מאקרוסקופיים, לא יהיו תקפים תמיד, וצורתם ותקפותם תהיה תלויה בהנחות, וייתכן שתדרוש תיקונים. לגבי השוויון F=dp/dt, כבר הערתי בעבר שאתה לא יכול לצטט אותו באופן חופשי מדי ואתה צריך לכבד את ההגדרות של הגדלים שמופיעים בנוסחה על מנת שהיא תהיה תקפה. הערך באנגלית מגדיר את התנע בצורה מאוד זהירה וספציפית לתרחיש שם, על מנת שהנוסחה הזו תתקיים בהקשר המדויק שמתואר שם. עיין שם היטב. ותנוח דעתך שמתוך F=ma המיקרוסקופי ניתן להגיע להגדרה הזהירה הנ"ל. זה מאוד שונה מלומר שנקודת המוצא היא הנוסחה (המאקרוסקופית) F=dp/dt, ועוד להסיק מכך שהיא נכתבה שם, שהיא יכולה לשמש נקודת מוצא תמיד (כלומר לומר שהיא "הצורה הכללית").
2. לגבי האתר האחרון אליו קישרתי ומה שכתב לגבי יחסות, בהמשך להערת השוליים שלך: באותם התרחישים בהם הנוסחה F=dp/dt לא תקפה במכניקה קלסית, היא גם לא תקפה במכניקה יחסותית. אנא, זנח את האקסיומה שזו נוסחה שהיא אמת מוחלטת ושניתן להשתמש בה בכל צורה, תרחיש ופרשנות.
3. לגבי התרחיש של "כל חלקי המערכת נעים מלכתחילה במהירות הסופית": אכן אין שינוי בתנע, אכן אין כח חיצוני ואכן אין שינוי באנרגיה הקינטית של המערכת. אני מזכיר מה שכבר כתבתי לעיל: הטיפות מכניסות את האנרגיה איתן למערכת, ואני מזכיר מה כתבתי לגבי התנע (שנכון גם לגבי האנרגיה): אתה צריך לסכום את כל חלקי המערכת (כולל כל הטיפות שעתידות ליפול אל הארגז) גם במצב ההתחלתי. אתה מבין מכאן שקבוע האינטגרציה אליו התייחסת לא שווה לאפס, אלא שווה לאנרגיה הסופית, כבר במצב ההתחלתי של המערכת. לכן, בשונה ממה שכתבת, דרך החישוב השנייה דווקא מתאימה הפעם לדרך הראשונה, ועל השאלה שמתעוררת מיד, "איך זה שהפעם שתי הדרכים פתאום מתלכדות?", אין לי אלא לענות, גם שעון שלא זז מדייק פעמיים ביממה. השיטה השנייה, שהיא אמנם שגויה מיסודה, מצליחה לתת את התשובה הנכונה במערכת מנוונת שבה למעשה שום דבר לא משתנה.
4. הסיבה שאין "זהות מוחלטת" ו"סימטריה מוחלטת" בין שתי דרכי החישוב היא שבשתיהן אתה משתמש באותן הנוסחאות, אבל הן תקפות רק באחד משני התרחישים. (למען האמת זה לא חלק בלתי תלוי של התשובה, אלא חוזר על מה שנאמר בחלקים הקודמים שלה, ונובע מהם.)

אני תקווה שבזה כל תמיהותיך באו על יישובן. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 22:46, 23 במאי 2023 (IDT)

אגיב לפי סדר סעיפיך:

1. כתבת: 'אני טוען ש- F=ma אכן תקף לכל חלקיק מיקרוסקופי של המערכת (שים לב שהוא לא משנה את מסתו)'. סוף ציטוט. ובכן אני לגמרי מבין, שהגדרת הכח בתור מכפלת הכח בתאוצה, תקפה לגבי כל חלקיק מיקרוסקופי אשר "לא משנה את מסתו". אבל מילא כשמדובר במכניקה הקלאסית שעליה אנו דנים מלכתחילה - ושבה הוא אכן אינו משנה את מסתו - ניחא, אבל הלא תסכים איתי, שלפחות במכניקה היחסותית - זו שבה איננו דנים - כל חלקיק מיקרוסקופי שנמצא בתנועה כן משנה את מסתו לפי הזמן: להבנתי זה מוכיח שלפחות ככל שמדובר במציאות "האמיתית" - שהיא כידוע יחסותית ולא ניוטונית (אם כי אני מסכים שלא עליה שאלתי את שאלתי המקורית), הגדרת הכח בתור מכפלת הכח בתאוצה - אינה כה בסיסית, וכי מה שיותר בסיסי מבחינת המציאות עצמה - זה דווקא הגדרת הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן - אשר היא זו שבה משתמשים בתורת היחסות (למשל כדי להסיק את משוואת שקילות האנרגיה הקינטית אל ההפרש שבין המסה היחסותית הכללית לבין מסת המנוחה).

לגבי המשך טענתך בסעיף הנ"ל, שאני 'צריך לכבד את ההגדרות של הגדלים שמופיעים בנוסחה על מנת שהיא תהיה תקפה'. סוף ציטוט. ובכן לדעתי אתה מתפרץ לדלת פתוחה: אם מגדירים "תרנגול" בתור "עוף עם כרבולת אדומה", אז מוסכם על שנינו - שכדי שההגדרה הנ"ל של "תרנגול" תהיה תקפה - צריך לכבד את ההגדרה של "כרבולת" ושל "אדומה". מצד שני, אני מצפה שגם יוסכם על שנינו, שאחרי שמוודאים שנשמר מובנם של המונחים שמופיעים בלשון ההגדרה - אז עצם ההגדרה הנ"ל עבור "תרנגול" - תהיה תקפה בכל מצב ללא תנאי וללא סייג. פשוט כי זאת הגדרה, לא טענה.

לכן כל כך הופתעתי לקרוא את המשך דבריך בסעיף הנ"ל, שכאשר מדובר על גופים מאקרוסקופיים, אז הגדרת הכח בתור השינוי בתנע לפי הזמן, 'לא' תהיה תקפה 'תמיד', ושצורתה ותקפותה: 'תהיה תלויה בהנחות, וייתכן שתדרוש תיקונים... זה מאוד שונה מלומר שנקודת המוצא היא הנוסחה (המאקרוסקופית) F=dp/dt, ועוד להסיק מכך שהיא נכתבה שם, שהיא יכולה לשמש נקודת מוצא תמיד (כלומר לומר שהיא "הצורה הכללית")'. סוף ציטוט. ובכן לעניין זה רק אציין כאנקדוטה, שכמעט בכל המקורות שבהם נתקלתי מעודי - חוץ מהאתר האחרון שאליו הפנית אותי - דווקא הגדרת הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן - היא היא זו שהופיעה בהם בתור הצורה הכללית שאין בלתה. תסתכל למשל בתוך הערך חוקי התנועה של ניוטון: שם מצויין שגם ניוטון עצמו אימץ (מילולית) - עבור החוק השני שלו, דווקא את הגדרת הכח הנ"ל, ולא את הגדרת הכח בתור מכפלת המסה בתאוצה. אז אמנם מוסכם על שנינו שצריך לכבד את משמעות המונחים שמופיעים בלשון ההגדרה של ניוטון למושג של כח, אבל להבנתי (ותקן אותי אם אני טועה) - בהנחה שכך אכן נוהגים עם משמעות המונחים - אז הגדרת הכח הנ"ל עצמה שבה נקט ניוטון נשארת הצורה הכללית שתקפה אפוא בכל מצב ללא תנאי וללא סייג. פשוט כי זאת הגדרה, לא טענה.

2. כתבת: 'לגבי באותם התרחישים בהם הנוסחה F=dp/dt לא תקפה במכניקה קלסית, היא גם לא תקפה במכניקה יחסותית'. סוף ציטוט. ובכן נא שים לב, שלפחות בפתיח של הערך בויקיפדיה האנגלית שאליו הפנית אותי, מצויין במפורש כי - כאשר המסה משתנה - אז כבר לא ניתן להשתמש בהגדרת הכח בתור מכפלת המסה בתאוצה, בעוד שהמשך הערך - כן משתמש בהגדרת הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן - כדי להסיק ממנה חשבונית כמה משוואות חדשות המתייחסות למסה שמשתנה. אם כן הערך דן בתרחיש של מסה משתנה, שבו - דווקא ההגדרה השניה תקפה - ולא הראשונה. יותר מזה: בתורת היחסות (לא המכניקה הקלאסית שבה אנחנו דנים מלכתחילה), נאלצים להתבסס רק על הגדרת הכח השניה, כדי להסיק את משוואת שקילות האנרגיה הקינטית אל ההפרש שבין המסה היחסותית הכללית לבין מסת המנוחה. אם כן זו דוגמה פשוטה לעוד תרחיש (אם כי לא קלאסי אלא יחסותי) שבו, דווקא ההגדרה השניה תקפה, ולא הראשונה.

3. לדעתי בסעיף זה אנחנו נוגעים ממש בלב העניין, כך שכל הגעה של שנינו לעמק השווה בסעיף זה, תסלק אצלי סופית את הבעיה המקורית: ובכן דבריך בסעיף זה, מתחשבים כנראה בדבריי הקודמים, שלפיהם אינני מתעקש על העמדה, שאין שינוי בתנע המטופל בתסריט האחרון שאותו תיארתי (בתגובתי מיום 23.5.23 שעה 02:29). אבל שים לב שאני עדין כן מתעקש על כך, שהמערכת שבה אני דן היא (כפי שנברר להלן) - אך ורק תכולת הארגז (כלומר לא כולל מה שמחוץ לארגז) - אשר כמובן מסתה משתנית לפי הזמן. למעשה, מלכתחילה אמנם הבנתי, שאם כך מגדירים את המערכת, אז בהכרח שיש שינוי בתנע לפי הזמן, וממילא - הכח החיצוני שמשנה את מסת הארגז - אינו מאופס; אבל כשראיתי בתגובתך הלפני אחרונה - שלהבנתך אין שינוי בתנע לפי הזמן - ושלהבנתך הכח כן מאופס, אז בתגובתי האחרונה טענתי - שגם לפי הבנתך הזו - עדין תישאר בעינה תמיהתי הבסיסית המקורית (וגם נימקתי שם למה), ורק משום כך הרשיתי לעצמי להצהיר בתגובתי האחרונה שאינני מתעקש על העמדה שאין שינוי בתנע של המערכת - למרות שכאמור להבנתי שלי דווקא יש שינוי בתנע של המערכת כלומר של תכולת הארגז אשר כמובן מסתה משתנית לפי הזמן. אבל לאור הבהרתך הנוכחית שלטעמך, המערכת אינה תכולת הארגז - אשר כמובן מסתה משתנית לפי הזמן, אלא יש לכלול במערכת - למשך כל פרק הזמן שעד התמלאות הארגז - גם את כל מה שטרם הספיק למלא את הארגז, אז מבחינתי זה כבר טעון נימוק מצידך, ולדעתי - כל נימוק שלך בסוגיה זו שממנו אשתכנע - יחתום סופית את הדיון. אבל קודם אבהיר, מהי בכלל "סוגיה זו" - העומדת לפתחנו?

ובכן, נסתכל על שני תסריטים: בתסריט האחד, גוף שנמצא בתנועה, פוגע בגוף נח בעל אותה מסה - שמתחיל אפוא לנוע במהירות של הגוף הראשון - שמייד נעצר: בתסריט קלאסי כזה, אנחנו מרשים לעצמנו להגדיר את המערכת - באופן סלקטיבי - בתור הגוף השני בלבד, ואז אנחנו אומרים שבמשך התהליך - המערכת הואצה - או השתנה התנע שלה, ולכן אנחנו אומרים שעל המערכת הופעל כח חיצוני בלתי מאופס - בין אם נגדיר כח בתור מכפלת המסה בתאוצה - ובין אם נגדיר כח בתור שינוי התנע לפי הזמן. זה התסריט הראשון. בתסריט השני: נתונים שני גופים שנעים במקביל - קדימה - ובאותה מהירות, בעוד שהראשון שבהם נע מימינו של הגוף השני. והנה מישהו מבחוץ בא ומסיט את הגוף הימני שמאלה, עד כדי הידבקותו לגוף השמאלי, כשהתוצאה היא אפוא - הכפלת המסה הנמצאת במסלול השמאלי, בלי שמהירותה תשתנה. כאן אני תוהה, למה שלא נרשה לעצמנו גם כאן, להגדיר את המערכת - שוב באופן סלקטיבי - בתור כל המסה שנמצאת במסלול השמאלי בלבד, ואז נגיד שבמשך התהליך השתנה תנע המערכת, ולכן נגיד שעל המערכת הופעל כח חיצוני בלתי מאופס - ובלבד שכמובן נגדיר כח בתור שינוי התנע לפי הזמן - כשהנימוק להגדרה הזאת הוא כל מה שכתבתי בסעיפים 1,2.

4. לפי ההגדרה הסלקטיבית הזאת של "המערכת" - בתור תכולת המסלול השמאלי אשר כמובן מסתה משתנית לפי הזמן - נקבל, שבתסריט שאותו תיארתי (בתגובתי מיום 23.5.23 שעה 02:29) אודות הארגז שמסתו התחילית מאופסת אך מסתו הכללית משתנה לפי הזמן - מאופסת גם האנרגיה הקינטית התחילית של המערכת כלומר של תכולת הארגז, מה שלכאורה מצדיק את דרך החישוב השניה. שורש התמיהה שלי נעוץ אפוא בעובדה, ששני התסריטים - הן זה המטופל בדרך החישוב הראשונה והן זה המטופל בדרך החישוב השניה (והמוצג כאמור בתגובתי מיום 23.5.23 שעה 02:29) - מניבים שתי תוצאות שונות של אנרגיה קינטית במצב הסיום, וזאת למרות שיש זהות מוחלטת בין שני התסריטים - לפחות לגבי האנרגיה הקינטית התחילית - ולגבי מצב הסיום של המהירות ושל המסה, בעוד שגם לגבי השאלה - מה קבוע ומה משתנה (האם המהירות או המסה) - עדין יש סימטריה מוחלטת בין שני התסריטים.

2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 22:23, 28 במאי 2023 (IDT)

1. א. הקשר F=ma כמובן לא תקף ביחסות, אבל כפי שכתבת לא עליה אנחנו דנים (למעט הערת שוליים שנכנסה תחת 2). שים לב שלא אני הכנסתי את F=ma לדיון ולא התכוונתי לדבר על הצורה הזו כלל; אך מכיוון שטענת (במסגרת דיון במכניקה קלסית, לא יחסותית) שהצורה הזו פחות כללית מאשר F=dp/dt, ביקשתי לתקן את הטענה. שים לב שלא טענתי לעיל שהקשר F=ma עדיף, אלא שהוא לא פחות תקף מאשר F=dp/dt; במכניקה קלסית, הם שקולים. עבור חלקיק יחיד, ניתן להשתמש גם בF=dp/dt. רק רציתי להדגיש שאין בעיה גם עם F=ma.

אני מסכים שבמכניקה יחסותית הקשר F=ma כבר לא שקול לF=dp/dt, והאחרון הוא זה שנכון להשתמש בו - אבל רק כאשר הוא תקף, גם במסגרת היחסות (ראה בסוף 2 להלן).

ב. לגבי התקפות של F=dp/dt במערכות מאקרוסקופיות, אנסה להסביר שוב. כדי שתוכל להשתמש בקשר הזה, אתה צריך לשים לב מה כל גודל בו מסמל. במערכת עם מסה משתנה, dp הוא השינוי הדיפרנציאלי בתנע הכולל של כל חלקי המערכת, כלומר צריך לספור את כל חלקי המערכת בכל זמני הניסוי (שוב, עיין היטב בהגדרות בערך באנגלית). אזכיר זאת שוב ב-3 להלן. בטיעונים לעיל השתמשת בהגדרה אחרת עבור התנע, ומותר לך לעשות את זה בתנאי שתתקן את F=dp/dt בהתאם. חשוב על כך שקיימות מערכות אחרות בהן החוק הזה לא מתקיים ודורש תיקון, למשל במערכות לא אינרציאליות (מסתובבת, מאיצה ליניארית וכד'). שם צריך להוסיף כוחות מדומים (צנטריפוגלי וקוריוליס במסתובבת, וכו') כדי שהחוק השני של ניוטון יהיה תקף (בכל אחת מהצורות שלו).

2. בערך באנגלית נכתב שמבלבל להשתמש בחוק השני של ניוטון; לא כתוב שם במפורש באיזו מהצורות שלו מבלבל להשתמש ונשאלת השאלה לאיזו מהן הכוונה שם. התשובה היא שבשתי הצורות מבלבל להשתמש. F=ma קושרת בין שלושה גדלים ו-F=dp/dt קושרת בין שניים, אבל במערכת עם מסה משתנה יש יותר גדלים שצריך לטפל בהם. כל אחת משתי הצורות תקפה לכל חלקיק במערכת, אבל אף אחת מהן לא מסוגלת לתאר את המורכבות של מערכת עם מסה משתנה על כל חלקיה. גם הצורה F=dp/dt דורשת תיקון, וגם הצורה F=ma דורשת תיקון, וניתן לצאת מכל אחת מהן ולגזור את השנייה. עיין בחלק הראשון של הפרק Forms בהמשך הערך באנגלית, ותראה שקיימות גם הכללות עבור הצורה F=ma. שם הן מופיעות כנגזרות מהמשוואה שפותחה מF=dp/dt, אבל ניתן היה גם לפתח את הנוסחאות בסדר הפוך. הן שקולות לחלוטין. אבל כפי שחזרתי ואמרתי מספר פעמים, ניתן להשתמש בהן רק כאשר מיישמים אותן בתנאים בהם הן תקפות; ממש כפי שלא ניתן להשתמש באף אחת מהצורות של החוק השני של ניוטון ככתבן במערכת לא אינרציאלית.

לגבי מה שכתבת בסוף סעיף 2, אני מסכים לגמרי אבל לא זה מה שטענתי. לא טענתי שבכל מקום ביחסות בו ההגדרה השנייה תקפה, גם הראשונה תהיה תקפה. למעשה פה לא דיברתי על ההגדרה הראשונה כלל. טענתי שבתרחישים בהם במכניקה קלאסית ההגדרה השנייה לכח לא תקפה ודורשת תיקון (למשל מערכת של מסה משתנה בעקבות מיזוג מסות נעות), היא לא תהיה תקפה באותה מידה גם במכניקה יחסותית.

3. אם אתה מעוניין לכלול במערכת רק את המסה שכבר נחתה בארגז, אז אתה לא יכול להשתמש בנוסחה F=dp/dt. כפי שהסברתי לעיל, הנוסחה הזו מגדירה את dp כהפרש בתנע הכולל של המערכת. זכותך להגדיר אחרת, אבל אז תצטרך לתקן את הנוסחאות, ומכאן יגיע ההבדל בין שתי הגישות שתיארת בשאלתך המקורית. לגבי שני התסריטים שהצגת ב-3 בתשובתך האחרונה, ההבדל פשוט: בראשון המסה של מה שהגדרת בתור המערכת לא משתנה, ולכן שינוי בתנע יכול להיגרם אך ורק ע"י כח חיצוני. בשני המסה משתנה, ולכן לא ניתן להשתמש ככתבו בקשר הנ"ל כפי שהסברתי (כמו שלא ניתן להשתמש בו במערכת לא אינרציאלית) ויש לתקנו בהתאם. האיבר שהתיקון הזה יוסיף, יבטל בדיוק את איבר הכח החיצוני, כך שהכח יתאפס בתסריט הזה.

4. אני מניח שבשלב הזה הבנת מה לא נכון בשאלה שהצגת ב-4. אם לא, אל תהסס לשאול, ואעשה כמיטב יכולתי לענות. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 00:47, 29 במאי 2023 (IDT)

1. א. כתבת: "במכניקה קלסית...עבור חלקיק יחיד, ניתן להשתמש גם בF=dp/dt". סוף ציטוט.

אני מניח שאתה מתכווון לטעון כי, כאשר המכניקה הקלאסית דנה ביותר מחלקיק אחד, אז כבר לא בהכרח ניתן להשתמש בהגדרת הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן. אם אכן זה מה שאתה מתכוון לטעון, אז טענה זו שקולה לטענה, שכאשר המכניקה הקלאסית דנה במסה שמשתנה, אז כבר לא בהכרח ניתן להשתמש בהגדרה הנ"ל. אבל הרי זה בדיוק מה שאני מנסה לברר: למה לדעתך זה לא ניתן? הרי ניוטון לא הגביל את ההגדרה הזאת - את "החוק השני של ניוטון" - למסה קבועה וגם לא לחלקיק יחיד. הוא הגביל את ההגדרה הזאת - את "החוק השני של ניוטון" - רק לכך שהמבט על הגופים הנעים יהיה, מתוך מערכת יחוס אשר - בהביטה על גופים - היא מתרשמת שחל עליהם "החוק הראשון של ניוטון" (כלומר מתוך מה שאתה מכנה "מערכת יחוס אינרציאלית").

ב. כתבת: "במערכת עם מסה משתנה, dp הוא השינוי הדיפרנציאלי בתנע הכולל של כל חלקי המערכת, כלומר צריך לספור את כל חלקי המערכת בכל זמני הניסוי". סוף ציטוט. מסכים, אבל רק אחרי שנגדיר מה היא "המערכת" שעליה אתה מדבר. ובכן אני מזכיר, שמוסכם על שנינו, שבתסריט הראשון שתיארתי בסעיף 3 שבתגובתי האחרונה, אנחנו רשאים לבחור סלקטיבית מה יוגדר עבורנו בתור "המערכת". התסריט הראשון היה כזכור זה: גוף שנמצא בתנועה, פוגע בגוף נח בעל אותה מסה - שמתחיל אפוא לנוע במהירות של הגוף הראשון - שמייד נעצר: בתסריט קלאסי כזה, אנחנו מרשים לעצמנו להגדיר את "המערכת" - באופן סלקטיבי - בתור הגוף השני בלבד, ואז אנחנו אומרים שבמשך התהליך - המערכת הואצה - או השתנה "התנע הכולל של כל חלקי המערכת" (כלשונך), ולכן אנחנו אומרים שעל "המערכת" הופעל כח חיצוני בלתי מאופס - בין אם נגדיר כח בתור מכפלת המסה בתאוצה - ובין אם נגדיר כח בתור שינוי התנע לפי הזמן. אם כן חוזרת השאלה שלי שם: למה שלא נבצע בחירה סלקטיבית מקבילה, גם בתסריט האחרון שתיארתי באותה פיסקה שם? כלומר בתסריט הבא: נתונים שני גופים שנעים במקביל - קדימה - ובאותה מהירות, בעוד שהראשון שבהם נע מימינו של הגוף השני. והנה מישהו מבחוץ בא ומסיט את הגוף הימני שמאלה, עד כדי היצמדותו לגוף השמאלי, כשהתוצאה היא אפוא - הכפלת המסה הנמצאת במסלול השמאלי, בלי שמהירותה תשתנה. למה לא נגיד, שבתסריט כזה ניתן להגדיר את "המערכת" - באופן סלקטיבי - בתור כל המסה שנמצאת במסלול השמאלי בלבד? אם אינך מתנגד להגדרה הסלקטיבית הזאת של "המערכת" בתסריט הנ"ל, אז יוצא שאינך אמור להתנגד לכך שבמשך התהליך - השתנה "התנע הכולל של כל חלקי המערכת" (כלשונך), ואז יוצא שאינך אמור להתנגד לכך שבמשך התהליך - על המערכת הופעל כח חיצוני בלתי מאופס - ובלבד שנגדיר כח בתור שינוי התנע לפי הזמן.

כתבת: "בטיעונים לעיל השתמשת בהגדרה אחרת עבור התנע". סוף ציטוט. לא ממש ברור לי מה היא ההגדרה האחרת שבה השתמשתי עבור התנע. אני מכיר רק הגדרה מכנית קלאסית אחת לתנע: מכפלת המסה במהירות. זאת בדיוק ההגדרה שבה השתמשתי. שמא התכוונת שהשתמשתי בהגדרה אחרת למושג "מערכת"? אם כך, אז זה מחזיר אותי לשאלה ששאלתי בפיסקה הקודמת.

כתבת: "חשוב על כך שקיימות מערכות אחרות בהן החוק הזה לא מתקיים ודורש תיקון, למשל במערכות לא אינרציאליות (מסתובבת, מאיצה ליניארית וכד'). שם צריך להוסיף כוחות מדומים (צנטריפוגלי וקוריוליס במסתובבת, וכו') כדי שהחוק השני של ניוטון יהיה תקף (בכל אחת מהצורות שלו)". סוף ציטוט. ובכן על שנינו מוסכם, כי "החוק השני של ניוטון" - מניח שהמבט על הגופים הנעים הנו, מתוך מערכת יחוס אשר - בהביטה על גופים - היא מתרשמת שחל עליהם "החוק הראשון של ניוטון" (כלומר מתוך מה שאתה מכנה "מערכת יחוס אינרציאלית"). אבל איך זה נוגע לדיון המתקיים כאן? הרי ברור שכל הדיון הזה נערך בהנחת "החוק הראשון של ניוטון". בלעדי הנחת החוק הראשון של ניוטון, לא הייתי מעלה על דעתי להניח את החוק השני של ניוטון. אבל אחרי שהינחנו את החוק הראשון של ניוטון ואת החוק השני של ניוטון (בנוסח הניוטוני המקורי כלומר בהגדרת הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן), אז להבנתי ניתן להוכיח (למשל בדרך השלילה), שבתסריט האחרון הנ"ל, מופעל כח, ובלבד שנבחר באופן סלקטיבי את המערכת בתור המסה שבמסלול השמאלי בלבד. לא מסכים?

2. כתבת: "כל אחת משתי הצורות תקפה לכל חלקיק במערכת, אבל אף אחת מהן לא מסוגלת לתאר את המורכבות של מערכת עם מסה משתנה על כל חלקיה". סוף ציטוט. כדי שאבין את דבריך, אני חייב קודם כל להבין, אל מה אתה מתכוון ב"מערכת": האם לגבי התסריט האחרון הנ"ל אתה מסכים, שאני חופשי לבחור באופן סלקטיבי את המערכת בתור המסה שבמסלול השמאלי בלבד? אם אתה מסכים (וזאת למשל בגלל הנימוק שאותו הבאתי לעיל סעיף ב בפיסקה הראשונה), אז מה בנוסחו של החוק השני של ניוטון אמור למנוע ממני להשתמש בחוק הזה ככתבו וכלשונו, כדי לנתח את התסריט הנ"ל, לפי הבחירה הסלקטיבית הנ"ל של "המערכת" בתור המסה שבמסלול השמאלי בלבד?

כתבת: "בתרחישים בהם במכניקה קלאסית ההגדרה השנייה לכח לא תקפה ודורשת תיקון (למשל מערכת של מסה משתנה בעקבות מיזוג מסות נעות)". סוף ציטוט. מה בנוסחו (המקורי) של החוק השני של ניוטון (כלומר לפי הגדרת הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן), אמור למנוע ממני להשתמש בחוק הזה ככתבו וכלשונו, בתסריט הנ"ל, לפי הבחירה הסלקטיבית הנ"ל של "המערכת" בתור המסה שבמסלול השמאלי בלבד?

3. כתבת: "אם אתה מעוניין לכלול במערכת רק את המסה שכבר נחתה בארגז, אז אתה לא יכול להשתמש בנוסחה F=dp/dt. כפי שהסברתי לעיל...". סוף ציטוט. אכן, כבר היסברת זאת לעיל, סעיף ב, וכבר הגבתי לכך בשלושת הפיסקאות שלי לסעיף ב.

4. סעיף זה תלוי על בלימה, לפי מה שיוסכם בסעיפים הקודמים, אז לעת עתה נניח אפוא לסעיף זה.

2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 15:03, 29 במאי 2023 (IDT)

┐────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────└

אני מציע לקחת את הדוגמה שלך עוד צעד קדימה. למה שמשהו יסיט את הגוף הימני כך שייצמד לשמאלי? בוא נתאר את המערכת כך:

גוף בצורת תיבה בעל מסה של 2 (ק"ג נניח) נע בריק במהירות קבועה של 1 (מטר לשנייה נניח).

עד זמן 0 נגדיר את "המערכת" שלנו להיות החצי השמאלי של הגוף, שמסתו 1, ולכן התנע של המערכת שלנו הוא 1, ביחידות שלנו.

החל מזמן 0 נבחר סלקטיבית לכלול גם את החצי הימני של הגוף במערכת שלנו. מכיוון שעכשיו התנע של המערכת הוא 2, אתה מסיק שפעלו כוחות על הגוף בזמן 0?

אתה מבין, אני מקווה, שאין כלל הבדל בין המערכת הזו לבין המערכת השנייה שתיארת. החוק F=dp/dt לא מתקיים עבור הגדרה כזו של "מערכת". ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 15:43, 29 במאי 2023 (IDT)

ראשית, את הדוגמה שלך - שלוקחת "עוד צעד קדימה" (כלשונך) את התסריט הלגיטימי שלי לטעמי - ושמגיעה עם הצעד הזה לאבסורד, אני ממשיל (כמעט אחד לאחד) לניסיון המפורסם - שלוקח "עוד צעד קדימה" את התופעה הלגיטימית של אינדוקציה מדעית (המבססת כידוע את כל המדעים האמפיריים) - ושמגיע עם הצעד הזה לפרדוקס של נלסון גודמן. בסופו של דבר, הואיל ומה שאתה מציע עם הצעד שלך הוא פאראפראזה לפרדוקס של גודמן, אז להבנתי - מה שנוכל להציע כדי לפתור את הפרדוקס ההוא - יכול להיות מוצע גם כאן כדי לסלק את האבסורד שאליו אתה מכוון. וראה בפיסקה האחרונה של הערך הנ"ל, את הפיתרון שהציע קואיין לפרדוקס הנ"ל, והעתק לכאן (עד איזומורפיזם).

שנית, וכאן אני מגיע לעיקר: אני עדין לא מצליח להבין, למה בתסריט הראשון שהיצעתי (לגבי הגוף הראשון שמוסר את התנועה שלו לגוף השני) - מוסכם עליך שאנחנו חופשיים להחליט מהי המערכת: האם היא כוללת את זוג הגופים (ואז אין שינוי בתנע) או רק את אחד משניהם (ואז יש שינוי בתנע), בעוד שבתסריט השני שהיצעתי (לגבי הגוף הימני שמוסר את כל מסתו לגוף השמאלי) - להבנתך איננו חופשיים להחליט מה היא המערכת: האם זאת כל המסה שבשני המסלולים (ואז אין שינוי בתנע) או זאת המסה שבמסלול אחד בלבד (ואז יש שינוי בתנע). למעשה, זה היה שורש שאלתי מקדמת דנא, גם אם לא תמיד היבעתי את השורש הזה דווקא במילים האלה.

2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 17:23, 29 במאי 2023 (IDT)

אני לא מבין איזה הבדל אתה מוצא בין שתי המערכות (הגרסה שאתה הצגת וזו שאני הצגתי), ואני שמח שאתה מכיר באבסורד בגרסה שאני הצגתי.

לשאלתך השנייה: F=dp/dt תקף רק כשאתה כולל את כל הגופים במערכת לפני ואחרי התהליך, כבר כתבתי את זה בעבר והפניתי אותך לפיתוח בערך באנגלית.

אתה לא יכול לצרף או לגרוע גופים מהמערכת ועדיין להסתמך על הנוסחה הזו.

בתחומים אחרים של המדעים, אתה כן יכול לצרף או לגרוע גופים ממערכות (למשל מערכות פתוחות בתרמודינמיקה) ולטפל בהן בכלים של אותם תחומי מדע. עם הנוסחה המצוטטת לעיל פשוט אין לך את החופש הזה.

בתסריט הראשון שלך אתה רשאי לבחור בכל אחת משתי האפשרויות כי שתיהן עונות לכלל הזה. בתסריט השני, לא. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 18:50, 29 במאי 2023 (IDT)

בינתיים אתה רק מנחית "כלל" (כלשונך), שקובע כי: "אתה לא יכול לצרף או לגרוע גופים מהמערכת ועדין להסתמך על הנוסחה הזאת". זה בעצם כמו להנחית כלל שלפיו, אתה לא רשאי להסתמך על הנוסחה הזאת - אם מסת המערכת משתנה. אבל טרם נימקת את הכלל הזה. למה אתה מצד אחד כן רשאי להסתמך על הנוסחה הזאת כאשר מהירות המערכת משתנה, אבל מצד שני אתה לא רשאי להסתמך על הנוסחה הזאת כאשר מסת המערכת משתנה? מהו אפוא שורש "האפליה" הזאת שבין שני מרכיבי התנע: המהירות והמסה? אחדד זאת לפי נוסח שאלתי שבתגובתי הלפני קודמת, סעיף 3: מה בנוסחו של החוק השני של ניוטון אמור למנוע ממני להשתמש בחוק הזה ככתבו וכלשונו, כאשר מסת המערכת משתנה, כלומר כאשר גופים מתווספים או נגרעים מהמערכת?

להבנתי, הפרדוקס שהיצעת אינו עונה לשאלה, משום שכאמור הוא הוצע גם בהקשר של התופעה הלגיטימית של האינדוקציה המדעית, ועדין אף אחד לא חושב שבגלל זה יש לשלול אינדוקציה מדעית, אלא מוסכם על הכול שיש לסלק נקודתית (למשל כפי שהציע קואיין) את הפרדוקס שקיים באותו "צעד אחד [אבסורדי] קדימה" שאליו ניתן לקחת את התופעה הלגיטימית של האינדוקציה המדעית. כך גם לענייננו: מה שנוכל להציע כדי לפתור את הפרדוקס ההוא - יכול להיות מוצע גם כאן כדי לסלק נקודתית את הפרדוקס שקיים באותו "צעד אחד [אבסורדי] קדימה" שאליו ניתן לקחת את דבריי הלכאורה לגיטימיים לגבי אופן הגדרת "המערכת". וראה בפיסקה האחרונה של הערך בעיית האינדוקציה, את הפיתרון שהציע קואיין לפרדוקס הנ"ל, והעתק לכאן (כאמור עד איזומורפיזם).

2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 19:31, 29 במאי 2023 (IDT)

על מי פועל הכח החיצוני F, לשיטתך?

עדיין לא הסברת איך התסריטים שלנו שונים. אנא סלח לי שכתבתי "צעד אחד קדימה", בעצם תיארתי את אותו התסריט, במילים אחרות. אם תרצה, חשוב עליו כעל שתי קרוניות שנעות במקביל ובצמוד, בהתחלה המערכת היא אחת מהן, ובשלב כלשהו המערכת היא שתיהן. התנע השתנה. האם פעל כח? ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 20:02, 29 במאי 2023 (IDT)

א. שאלת: "על מי פועל הכח החיצוני F, לשיטתך?" סוף ציטוט.

אותה שאלה תוכל לשאול גם על התסריט הראשון. אני מזכיר שבתסריט הראשון שהיצעתי, הגוף הראשון מוסר את מהירותו לגוף השני. בתסריט השני שהיצעתי, הגוף הימני מוסר את מסתו לגוף השמאלי.

נסתכל אפוא על התסריט הראשון, ואשאל עליו את שאלתך, וגם אשיב לה, ואז אקח את התשובה ואעתיק אותה לשאלתך (עד איזומורפיזם):

ובכן בתסריט הראשון, על מי פועל הכח החיצוני F, לשיטתך?

תשובה: בתסריט הראשון הכוח פועל על המערכת, שנמצאת בתוך הגוף השני לבדו, ושמשנה את מהירותה - ממנוחה לתנועה, ושלכן משנה גם את התנע שלה.

ובכן זאת גם התשובה (עד איזומורפיזם) לשאלתך המתייחסת לתסריט השני: בו, הכוח פועל על המערכת, שנמצאת בתוך מסלול התנועה השמאלי לבדו, ושמשנה את מסתה - מ-1 ק"ג לשני ק"ג, ושלכן משנה גם את התנע שלה.

ב. שאלת: "חשוב עליו [על התסריט השני] כעל שתי קרוניות שנעות במקביל ובצמוד, בהתחלה המערכת היא אחת מהן, ובשלב כלשהו המערכת היא שתיהן. התנע השתנה. האם פעל כח?" סוף ציטוט.

לא הבנתי למה אתה מרשה לעצמך לשנות את הגדרת "המערכת", תוך כדי התהליך. לטעמי, זה כמו לשנות את כללי המשחק תוך כדי המשחק. שים לב, שזה לא מה שקרה בתסריט השני שאותו תיארתי: אני תיארתי תסריט שבו "המערכת" מוגדרת בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי". ההגדרה הזאת של המערכת נשארת יציבה במשך כל התהליך. הדבר היחיד שהשתנה במשך התהליך, הוא המסה, ולכן גם התנע. אבל ההגדרה של מה היא "המערכת", לא השתנתה. אם כן מה כבר ההבדל העקרוני, בין מצב זה שבו מה שהשתנה הוא המסה, לבין מצב אחר שבו מה שהשתנה הוא המהירות. מאידך, מה שאתה מציע זה להבנתי שינוי בהגדרה עצמה (של מה היא "המערכת"), תוך כדי התהליך. אם כבר אתה מחליט לשנות את ההגדרות תוך כדי המשחק, אז למה לא היצעת, שבתחילת התהליך המערכת תוגדר בתור הקרונית הראשונה, ובהמשכו המערכת תוגדר בתור הקרונית השניה? נניח כמו שני שחקני שחמט, שתוך כדי המשחק יתחלפו לפתע בכלים, כך שמי ששיחק עד כה בכלים השחורים יעבור פתאום לשחק עם הכלים הלבנים. או כמו שתי נבחרות כדורסל, שתוך כדי משחקן, יתחלפו לפתע בניקוד, ואז בתום המשחק ינסה מישהו להסתמך על הניקוד כדי להכריע איזו נבחרת שיחקה טוב יותר במשחק. אבל בכל אחד מהתסריטים שאני מציע, אני שואל שאלות רק על המערכת האחת והיחידה, שהגדרתה נשארת יציבה במשך כל המשחק.

2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 23:12, 29 במאי 2023 (IDT)

א. טעות. במערכות כמו זו כוחות פועלים בין גופים, וכוח חיצוני הוא סך כל הכוחות שהסביבה מפעילה על הגופים ששייכים למערכת. בתסריט הראשון (כשבוחרים להגדיר את המערכת בתור הגוף שאליו עובר התנע) הכח החיצוני פועל עליו, על ידי הגוף המתנגש. בתסריט השני (כאשר אתה מחליט לשנות את המערכת תוך כדי התהליך ולכלול בה מסה שלא נכללה בו קודם), על מי פועל הכח החיצוני שאתה טוען שפועל ברגע צירוף המסה השנייה? מי מפעיל אותו? איך אפשר להגדיר את זה כאשר הגופים ששייכים למערכת משתנים, ברגע ההשתנות? האם המסה השנייה שייכת למערכת ברגע המעבר? לא ענית על איזה גוף במערכת פועל כח ומי מפעיל אותו.

מסלולי תנועה לא מגדירים מערכות. גופים כן. אם אתה רוצה לנתח את התסריט הזה אתה יכול לעשות את זה, אבל אם תמציא כללי משחק משלך תצטרך גם להמציא נוסחאות משלך, ולא להשתמש בנוסחאות הקיימות. השאלה המקורית שלך (מה ההבדל בין שני החישובים) נענתה פעמים רבות בדיון הזה, ואני לא חושב שהמשך שלו יתרום למישהו.

ב. מצוין. גם אני לא הבנתי למה אתה מרשה לעצמך לשנות את הגדרת המערכת תוך כדי התהליך, ולכן הצגתי בפניך את אותה מערכת במילים אחרות, והנה גם אתה לא מבין מדוע מותר לשנות את הגדרת המערכת באותו תהליך. אז סיימנו. אם אתה מתכוון לטעון שאתה עדיין לא רואה את הזהות בין התרחישים האלה, אז צר לי שאין בכוחותיי להסביר את זה, עשיתי כמיטב יכולתי כפי שהבטחתי. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:32, 29 במאי 2023 (IDT)

סליחה, אני כן יכול עוד קצת:

דמיין את קו ההפרדה בין הנתיבים של הקרוניות, שבאיזשהו שלב שובר ימינה ומוסט רוחב של נתיב אחד. אחרי הנקודה הזו, גם הקרונית הימנית כלולה בנתיב השמאלי.

האנלוגיה הושלמה. אני מקווה שעכשיו הדברים ברורים. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 07:25, 30 במאי 2023 (IDT)

א.

כתבת: "כוח חיצוני הוא סך כל הכוחות שהסביבה מפעילה על הגופים ששייכים למערכת". סוף ציטוט.

נכון. ואני מזכיר כי את המערכת היגדרתי בתור מה שנמצא במסלול השמאלי, ולכן "הגופים ששיכים למערכת" (כלשונך) הם פשוט הגופים ששייכים למסלול השמאלי.

כתבת: "בתסריט השני (כאשר אתה מחליט לשנות את המערכת תוך כדי התהליך...)". סוף ציטוט.

הבה נדייק: ההגדרה שנתתי למערכת (בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי"), מעולם לא השתנתה. היא נשארת יציבה למשך כל התהליך: ואכן, הן בתחילת התהליך - המערכת הוגדרה בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי", והן בסוף התהליך - המערכת נשארה מוגדרת בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי". דווקא בקטע הזה אני נותן לעצמי קרדיט, שהייתי מאד מדוייק יציב ועקבי בהגדרת המערכת, כדי שלא יהיה ניתן לתפוס אותי במילה ולטעון שכביכול שיניתי את ההגדרה באמצע התהליך.

כתבת: "(...ולכלול בה מסה שלא נכללה בו קודם)". סוף ציטוט.

הבה נדייק: כשם שבתסריט הראשון, במשך התהליך - המערכת נטענת בתוספת-מהירות שלא היתה קיימת אצל המערכת בתחילת התהליך, כך בתסריט השני, במשך התהליך - המערכת נטענת בתוספת-מסה שלא היתה קיימת אצל המערכת בתחילת התהליך. לכן, להבנתי, מבחינת מה שמשתנה במשך התהליך - יש סימטריה מוחלטת בין התסריט הראשון לתסריט השני. תקן אותי אם אני טועה.

שאלת: "על מי פועל הכח החיצוני שאתה טוען שפועל ברגע צירוף המסה השנייה?". סוף ציטוט.

התשובה לשאלתך, אנאלוגית לזו שתינתן על ידיך לשאלה המקבילה - על התסריט הראשון - שאותה אציג לך כעת: ובכן על מי פועל הכח החיצוני, שלגביו כולנו טוענים, שהוא פועל ברגע התווספות המהירות החדשה (לגוף הנפגע)? תשובה: הכוח החיצוני פועל על המערכת כפי שהוגדרה באופן עקבי מלכתחילה, כלומר הכח החיצוני פועל על הגוף הנפגע. אז זו גם התשובה (עד כדי איזומורפיזם) לשאלתך: הכח החיצוני פועל על המערכת כפי שהוגדרה באופן עקבי מלכתחילה, כלומר הכח החיצוני פועל על מה שנמצא במסלול השמאלי.

שאלת: "מי מפעיל אותו?". סוף ציטוט.

בתסריט הראשון, מי שמפעיל את הכוח החיצוני, הוא הגוף הפוגע. בתסריט השני, מי שמפעיל את הכוח החיצוני, הוא מי שמסיט שמאלה את הגוף הימני - כך שיכלל בתוך המערכת כפי שהוגדרה באופן עקבי מלכתחילה - כלומר כך שהגוף המוסט יכלל בתוך מה שנמצא במסלול השמאלי.

שאלת: "איך אפשר להגדיר את זה כאשר הגופים ששייכים למערכת משתנים, ברגע ההשתנות?". סוף ציטוט.

התשובה לשאלתך, אנאלוגית לזו שתינתן על ידיך לשאלה המקבילה - על התסריט הראשון - שאותה אציג לך כעת: ובכן איך אפשר "להגדיר את זה" (כלשונך), כאשר המהירות - ששייכת אל המערכת - משתנה, ברגע ההשתנות? מה שתענה על שאלתי לגבי התסריט הראשון, אענה אף אני (עד כדי איזומורפיזם) על שאלתך לגבי התסריט השני.

שאלת: "האם המסה השנייה שייכת למערכת ברגע המעבר?". סוף ציטוט.

התשובה לשאלתך, אנאלוגית לזו שתינתן על ידיך לשאלה המקבילה - על התסריט הראשון - שאותה אציג לך כעת: ובכן האם מהירות הגוף הפוגע, שייכת למערכת (כלומר היא מהירות הגוף הנפגע) ברגע המעבר? מה שתענה על שאלתי לגבי התסריט הראשון, אענה אף אני (עד כדי איזומורפיזם) על שאלתך לגבי התסריט השני.

כתבת: "לא ענית על איזה גוף במערכת פועל כח ומי מפעיל אותו". סוף ציטוט.

התשובה לשאלתך, אנאלוגית לזו שתינתן על ידיך לשאלה המקבילה - על התסריט הראשון - שאותה אציג לך כעת: ובכן את איזו מהירות של המערכת - הכוח משנה, ומי מפעיל אותו? מה שתענה על שאלתי לגבי התסריט הראשון, אענה אף אני (עד כדי איזומורפיזם) על שאלתך לגבי התסריט השני.

כתבת: "מסלולי תנועה לא מגדירים מערכות. גופים כן". סוף ציטוט.

כאן אתה ממש נוגע בלב השאלה המקורית שלי, אז אחדד אותה: האם מתוך חוקי התנועה של ניוטון ניתן להסיק את מה שטענת כעת, במקום להסיק מהם את ההפך: שגופים - לא יכולים להגדיר מערכות, אבל - תכולת מקטע נתון של המרחב (הנפרש על ידי מערכת צירים אינואריאנטית) - כן יכולה להגדיר מערכת. לחלופין, למה לא נגיד, שחוקי ניוטון מעניקים חופש לבחור - בין שתי האופציות - כדי להגדיר מערכת (כמובן כל עוד שבמהלך המשחק נזהרים לא לשנות את חוקי המשחק וכמובן גם לא את מערכת הצירים של המרחב שבו מתנהל המשחק). אני מזכיר שגם לשיטתך, חוקי ניוטון מעניקים חופש לבחור איך להגדיר את המערכת שבתסריט הראשון: האם בתור הגוף הפוגע, או בתור הגוף הנפגע, או בתור צירוף שני הגופים לכדי מערכת אחת (כמובן כל עוד שנזהרים כנ"ל).

כתבת: "אם תמציא כללי משחק משלך תצטרך גם להמציא נוסחאות משלך, ולא להשתמש בנוסחאות הקיימות". סוף ציטוט.

הבה נדייק: אני לא מנסה להמציא כללי משחק, אלא מנסה לברר, האם מתוך חוקי התנועה של ניוטון ניתן להסיק, שתכולת מקטע נתון של המרחב (הנפרש על ידי מערכת צירים אינואריאנטית) - אינה רשאית להגדיר מערכת, אבל גופים - כן רשאים להגדיר אותה. בהקשר זה אני מזכיר, שדווקא המושג "גוף" - שבו אתה כה תומך להגדרת מערכת - הוא די חמקמק, לעומת "תכולת מקטע נתון של המרחב" - שהיא אובייקט מוגדר היטב - וזאת בזכות אי-השתנות-מערכת-הצירים של המרחב.

כתבת: "השאלה המקורית שלך (מה ההבדל בין שני החישובים) נענתה פעמים רבות בדיון הזה", סוף ציטוט.

שים לב, שגם אני - על כל אחת מתגובותיך - היצגתי שאלת הבהרה, פעמים רבות בדיון הזה.

כתבת: "אני לא חושב שהמשך שלו יתרום למישהו". סוף ציטוט.

כנראה התרשמויותינו הפוכות: בכל פעם שקיבלתי ממך תשובה על שאלת ההבהרה שלי - לקראת שאלת ההבהרה הבאה (אם היה בה צורך) - התרשמתי, שבכך אנחנו מתקרבים יותר ויותר אל לב הענין, ושהדיון הולך אפוא ומתקרב לסופו הנראה באופק.

ב.

כתבת: "גם אני לא הבנתי למה אתה מרשה לעצמך לשנות את הגדרת המערכת תוך כדי התהליך". סוף ציטוט.

לא הבנתי את שאלתך. הרי ההגדרה שנתתי למערכת (בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי"), מעולם לא השתנתה. הרי היא נשארת יציבה למשך כל התהליך: הן בתחילת התהליך - המערכת הוגדרה בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי", והן בסוף התהליך - המערכת נשארה מוגדרת בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי".

כתבת: "גם אתה לא מבין מדוע מותר לשנות את הגדרת המערכת באותו תהליך". סוף ציטוט.

נכון, כנראה אף אחד משנינו לא יוכל להבין לעולם, איך יהיה ניתן להרשות לשנות את הגדרת המערכת באותו תהליך. לכן נזהרתי, שההגדרה שלי למערכת (בתור "מה שנמצא במסלול השמאלי"), תישאר יציבה במשך כל התהליך.

כתבת: "אז סיימנו. אם אתה מתכוון לטעון שאתה עדיין לא רואה את הזהות בין התרחישים האלה, אז צר לי שאין בכוחותיי להסביר את זה, עשיתי כמיטב יכולתי כפי שהבטחתי". סוף ציטוט.

לפי התרשמותי, כל אחד ממלא כאן היטב את תפקידו. יש כאלה - למשל אני - שנמצאים כאן על תקן השואלים, כי אם יתביישו לשאול - אז איך ילמדו? בעוד שכל אחד אחר - כולל אתה - רשאי להימצא כאן על תקן של משיב, ואז לעשות כמיטב יכולתו כדי להסביר לשואלים את מה שטרם הובן להם. גם אם אין בכוחותיו של המשיב להסביר (כפי שאתה טוען כעת לגבי עצמך), לפחות יש לתת לו את הקרדיט על כך שעשה כמיטב יכולתו.

כתבת: "סליחה, אני כן יכול עוד קצת". סוף ציטוט.

אתה תמיד מוזמן. וגם אם עדין לא אצליח להבין, תמיד תהיה שמורה לך תודתי העמוקה - על עצם ההתמדה - ועל המאמץ יוצא הדופן לסייע לאלה שטרם הבינו.

כתבת: "דמיין את קו ההפרדה בין הנתיבים של הקרוניות, שבאיזשהו שלב שובר ימינה ומוסט רוחב של נתיב אחד. אחרי הנקודה הזו, גם הקרונית הימנית כלולה בנתיב השמאלי. האנלוגיה הושלמה. אני מקווה שעכשיו הדברים ברורים". סוף ציטוט.

דבר אחד, עדין לא מובן לי: איך קורה שאתה מרשה כעת לעצמך, תוך כדי משחק, לשנות את מערכת הצירים של המרחב שבו מתרחשים התהליכים הנדונים. לעצמי אני נותן את הקרדיט על כך, שלאורך כל הדרך היקפדתי על שני תנאים, שהם הבסיס לכל דיון במדעים מדויקים: א. לעולם לא לשנות - תוך כדי טיעון - את הגדרת הדבר שעליו דנים, בין אם הדבר הזה הוא מערכת, או תנע, או מסה, או מהירות, או מטען חשמלי, וכו'. ב. לעולם לא לשנות - תוך כדי טיעון - את מערכת הצירים של המרחב שבו מתרחשים התהליכים הנדונים. אבל לשיטתך, שאתה בוחר כעת - לשנות פתאום את מערכת הצירים של המרחב - תוך כדי המשחק המתנהל בתוך המרחב הזה עצמו, כך שחלקה מסויימת במרחב שהיתה מוגדרת בתחילת המשחק בתור חלק מ"המסלול הימני" שבמרחב - הופכת לפתע במהלך המשחק להיות מוגדרת בתור חלק מ"המסלול השמאלי" שבמרחב, איך לטעמך יוכל נהג ישראלי לדעת האם הוא באמת נוסע בצד ימין של הכביש (כפי שהנהג טוען) או בצד שמאל (כפי שטוען שוטר התנועה), אם תוך כדי הנסיעה - מערכת הצירים של מרחב הכביש משתנית - עד כדי עירבוב בין ימין לשמאל? הרי החלפת מערכת הצירים של המרחב תוך כדי המשחק, יכולה להוביל לכאוס מוחלט, הלא כן? ואיך לטעמך יוכל שחקן כדורסל לדעת, האם קליעתו מזכה אותו בשלוש נקודות או בשתיים, אם תוך כדי זה שהוא קולע - משתנה לפתע מערכת הצירים של המגרש - עד כדי עירבוב בין מרחק של מאה מטר מהסל (מה שמזכה בשלוש נקודות) לבין מרחק של מטר אחד מהסל (מה שמזכה בשתי נקודות בלבד)?

2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 14:43, 30 במאי 2023 (IDT)

אני חושש שלא הבנת אותי נכון, או שלא הסברתי היטב את הדוגמה ופירשת לא נכון את דבריי.

דיברת הרבה על שינויי מערכות צירים, אבל לא התכוונתי לכך כלל. דמיין את קו ההפרדה בין הנתיבים כקו ישר למקוטעין. לצורך העניין נניח שהקרוניות נעות לאורך ציר x. עד x=0 הקו עובר בין הקרוניות ובמקביל אליהן, ורק הקרונית השמאלית בנתיב השמאלי. בx=0 הקו נשבר ב90 מעלות ימינה, ממשיך לרוחב של קרונית אחת, נשבר שוב שמאלה וממשיך במקביל לכיוון הקרוניות. אני מדבר רק על סימון ההפרדה של הנתיבים. מערכת הצירים לא משתנה בשום שלב.

אני מגדיר את המערכת בתור כל המסה שבנתיב השמאלי (כלומר מה שמשמאל לקו). עבור x<0 מדובר בקרונית השמאלית בלבד, ועבור x>0 מדובר בשתי הקרוניות.

לזה היתה כוונתי. המערכת מוגדרת היטב, זה אזור קבוע במרחב.

נחזור עכשיו לתיאור שלך, כלומר אותו התיאור בדיוק רק שהקו המפריד ישר. לגבי התשובה שלך לציטוט החמישי שהבאת לעיל: מצוין, בדיוק לזה כיוונתי. שים לב שהכוח החיצוני שטענת שפועל על המערכת, ע"פ הגדרתך את המערכת, לא פועל עליה. הוא מסיט את הגוף הימני, ופועל עליו כאשר הוא בנתיב הימני, כלומר הוא לא פועל על המערכת. מנקודת המבט של המערכת (כפי שאתה מגדיר אותה), לא פועלים עליה כוחות חיצוניים כלל; בשלב כלשהו מופיעה בה מסה נוספת (או גוף נוסף, לא משנה המינוח) יש מאין, בדומה לתסריט הקרוניות שתיארתי. במאמר מוסגר, שים לב לכך שהכוח עליו דיברת יכול להיות כוח (חיובי) קטן ככל שתרצה, ועדיין הוא יגרום בדיוק לאותו שינוי במערכת. גם אם תקטין את גודלו פי שניים, אולי ייקח יותר זמן למסה השנייה להצטרף אבל המצב הסופי יישאר אותו הדבר, כלומר השינוי בתנע לא תלוי בגודלו של הכוח שתיארת. סוף מאמר מוסגר.

מה שמביא אותי לנקודה הבאה, אולי העיקרית, לגבי חוסר הסימטריה: במכניקה קלסית, אין חוק שימור מהירות (למשל, שני גופים מחוברים לקפיץ מתוח, שמשוחרר). לעומת זאת, יש חוק שימור מסה. המערכת שאתה מציע להגדיר מפרה את חוק שימור המסה (ראה את המשפט האחרון לפני המאמר המוסגר).

ואם תטען, "הרי יש גם חוק שימור התנע, ומערכת שמשנה את מהירותה מפרה אותו!", התשובה היא שמיתקף חיצוני משנה את התנע הכולל של מערכת, ואין בכך סתירה לחוק השימור, שלא דן במצב כזה. ואם תטען, "הרי יש גם חוק שימור האנרגיה", התשובה היא שלעבודה חיצונית מותר לשנות את האנרגיה של המערכת. לעומתם, אין שום דבר שיכול לשנות מסה של מערכת יש מאין. אם אתה רוצה לטפל במערכת שמסתה משתנה, יש כלים לעשות זאת שלא יפרו את חוק השימור.

בהקשר הזה מעניין לציין שבתורת הזרימה, ישנן שתי דרכים מקובלות לתאר את הזורם, תיאור לגראנז'י ואוילרי של שדה זרימה. בתיאור הלגרנז'י עוקבים אחרי החומר הזורם, כלומר כל תת-מערכת של הזורם היא חלק של החומר - מה שמקביל אצלנו להגדרת המערכת ע"י גופים. לעומתו, בתיאור האוילרי תת-המערכת היא אזור קבוע במרחב, ומסתכלים על חומר שנכנס ויוצא מאותו אזור במרחב - מה שמאוד מזכיר את ההצעה שלך. אבל, בשונה ממה שהצעת לעשות, בכל תת-מערכת של התיאור האוילרי, בנוסף לכוחות והשפעות חיצוניות שיכולות להשפיע ברגע נתון על החומר שבמקרה נמצא בתוך אזור נתון, מתחשבים גם בחומר שנכנס ושיוצא בכל רגע מתת-המערכת, ובמסה, בתנע ובאנרגיה שהוא נושא עימו. כלומר אמנם מותר להגדיר אזור קבוע במרחב בתור המערכת שלנו, אבל אם יש חילופי חומר בינו ובין "הסביבה" (כלומר החלק במרחב שהוא לא המערכת שלנו) יש להתחשב בכך בתור אפקט בפני עצמו. התיאור האוילרי לא מייחס את תוספת התנע שנגרמת מכניסת חומר למערכת לכוח חיצוני שפעל עליה. התנע לא השתנה כאן בגלל שום כוח, אלא בגלל כניסת חומר למערכת.

לבסוף, לגבי מה מותר ומה אסור לגבי הגדרת מערכות: אני מקווה שהסברתי מדוע לא ניתן להתייחס לאזור במרחב בתור מערכת, בלי להתחשב במעבר מסה, תנע ואנרגיה לתוך ואל מחוץ לאזור. לגבי התהייה שלך שמא המושג "גוף" הינו חמקמק, זה דווקא אחד המושגים הבסיסיים במכניקה הקלסית, אבל אם קשה לך איתו במקרה הכללי, אתה יכול פשוט לחשוב על החלקיקים שמרכיבים אותו ולעקוב אחרי כל אחד מהם בנפרד (כולל הכוחות בינו לבין החלקיקים האחרים). זה לא מפשט כמובן את החישובים המעשיים, אבל יכול להקל על ההבנה העקרונית של כיצד ניתן להגדיר מערכת על בסיס גופים. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 11:06, 1 ביוני 2023 (IDT)

תודה עמוקה על ההסבר המפורט המקיף והממצה. חן חן.

הוא היה ממצה, גם בכך שהואלת להתייחס לנקודות חדשות שאותן טרם העליתי - לפחות לא במפורש, כגון לסוגיית התיאור האוילרי של שדה זרימה, ולסוגיית אי הסימטריה בין מסה למהירות: אכן, בין השורות, מה שהציק לי לאורך כל הדרך - יותר מכל - היה בעיית אי הסימטריה הנ"ל, שאותה פתרת/פטרת באמירה, שאמנם יש חוק שימור המסה, אבל אין חוק שימור המהירות. מה שאני למד מכל הדיון הזה הוא אפוא, שבשורה התחתונה, למרות שחוק שימור המסה אינו נכון יחסותית, אין ברירה אלא להוסיף אותו למכניקה הקלאסית, וזאת כדי לענות סופית על שאלת הבסיס שהתחילה את כל הדיון הזה: למה, כשמחשבים אנרגיה קינטית ע"י חישוב העבודה בתור האינטגרציה של המהירות לפי התנע (חישוב שעולה מצירוף הגדרת העבודה עם הגדרת הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן), האינטגרציה שמגדירה את העבודה מחושבת, דווקא לפי משתנה המהירות - כאחד משני הכופלים במכפלה שמגדירה את התנע, ולא לפי משתנה המסה - שהוא הכופל השני. בין השיטין, זאת הייתה בעית הבסיס, ופיתרונה מאלץ כאמור להוסיף למכניקה הקלאסית חוק שאינו נכון יחסותית, שזה מבחינתי הפתעה מרעישה (תוספת מאוחרת: כשכתבתי ש"מושג הגוף חמקמק", התככונתי שהוא אמנם נתפס היטב במאקרופיזיקה, אבל לא ממש בתורת הקואנטים). 2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 19:33, 1 ביוני 2023 (IDT)

ביחסות אמנם אין שימור מסה כמו שיש במכניקה קלסית (וגם אין שימור אנרגיה כמו במכניקה קלאסית), אבל יש שימור מסה/אנרגיה. אני בטוח שאתה מודע לזה, אני מציין את זה רק כדי שלא יהיה פתח לטעות ולהסיק שמכיוון שאין שימור מסה ביחסות, יהיה מותר שם להגדיר מערכת ע"פ תחום במרחב ולהתיר כניסת מסה אליו מבלי להתחשב בתנע ובמסה/אנרגיה שנכנסת. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 20:32, 1 ביוני 2023 (IDT)

כמובן בתורת היחסות קיים חוק שימור המסה/אנרגיה. למעשה, למרות היעדר חוק השימור המסה בתורת היחסות, בעיית אי הסימטריה הנ"ל אינה מתעוררת מלכתחילה בתורת היחסות, משום ששם - כל שינוי באחד משני הכופלים במכפלה שמגדירה את התנע - מביא לשינוי גם בכופל השני, ולכן מלכתחילה ברור שמתוך שינוי במסה יש להסיק שהופעל כח חיצוני, גם אם מגדירים את הכח בתור מכפלת המסה בתאוצה. לכן, כבר בכותרת היגבלתי את כל הדיון למכניקה הקלאסית בלבד. 2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 20:35, 1 ביוני 2023 (IDT)

ובכן, כן ולא...

אני מניח שאתה מתייחס לשינוי במסה היחסותית שנובע משינוי מהירות הגוף, ובמקרה הזה אתה צודק; התנע היחסותי ניתן להצגה כ-$p=\gamma mv$ כאשר m היא מסת המנוחה של הגוף, ובמונחים האלה, אם הבנתי נכון, אתה מדבר בצדק על כך ש-$v,\gamma$ קובעים זה את זה לחלוטין.

עם זאת, אפשר לקחת את תרחיש הארגז שהצגת לתחום היחסותי; למשל, חללית שנעה במהירות יחסותית ואוספת בדרך חלקיקי אבק בין כוכבי, או התהליך ההפוך, של חללית יחסותית עם מנוע רקטי.

במצבים האלה יש שינוי של מסת המנוחה (ובהתאם של אנרגיית המנוחה), שאינה תלויה בפרמטרים האחרים, ולכן לשאלה שלך יש זכות קיום גם כאן, ומכאן הרלוונטיות לשימור מסה/אנרגיה. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 22:26, 1 ביוני 2023 (IDT)

א. הבנת אותי נכון: כשאני מדבר במסגרת תורת היחסות על "מסה", אני מתכוון למסה יחסותית. אילו התכוונתי למסת מנוחה הייתי כותב במפורש "מסת מנוחה". הסיבה לכך, שכשאני מדבר במסגרת תורת היחסות על "מסה" - אני מתכוון דווקא למסה יחסותית ולא למסת מנוחה, מתבהרת מתוך קריאת הסעיף הבא.

ב. לפי המתודולוגיה שלי (גם אם אינה כה פופולרית), ראוי לצמצם עד למינימום את הויכוח - שבין המכניקה הקלאסית (שאמורה להתוות את המתודולוגיה הכללית בלימודי מכניקה) - לבין תורת היחסות הפרטית (שאמורה אפוא לחלוק רק בפרט היחסית-"שולי" שנסוב על סוגיית קביעותה של מהירות האור על כל השלכותיו החישוביות של הפרט ה"שולי" הזה). לכן, תורת היחסות תצטרך להסכים עם כל ההגדרות הקיימות במכניקה הקלאסית, כולל עם הגדרת התנע בתור מכפלת המהירות במסה (אלא - כפי שתטען תורת היחסות - המסה עצמה תלויה הן במסת המנוחה והן במהירות כפי שנובע ישירות מהפרט "השולי" הנ"ל). אגב: לפי המתודולוגיה שלי, תורת היחסות גם אינה אמורה לחלוק על אף אחד משלושת חוקי התנועה של ניוטון (ובלבד שהחוק השני של ניוטון ינוסח לפי הגירסה המקורית של ניוטון שכזכור מגדירה את הכח בתור שינוי התנע לפי הזמן).

ג. להבנתי, לא יועיל להשתמש בחוק היחסותי של שימור המסה/אנרגיה - כדי לסלק תמיהה שמקבילה לשלי ושהועלתה בסוף דבריך לגבי תסריט החללית היחסותי: החוק היחסותי הזה רלוונטי רק בכפוף להנחה - שלא פועל כח חיצוני, בעוד שתמיהתי המקורית - אשר אליה אמורה להקביל תמיהתך הנ"ל, לא רק שאינה מניחה את ההנחה הנ"ל אלא אדרבא: תמהה למה שלא נגיד ששינוי המסה של הגוף הנע - מעיד על שינוי התנע - וממילא מעיד על קיום כח חיצוני.

ד. הסיבה לכך שמלכתחילה לא העליתי את תמיהתי המקורית (על אי הסימטריה שבין המהירות למסה) בהקשר של תורת היחסות, היא כדלהלן: כשבמכניקה הקלאסית חישבו אנרגיה קינטית ע"י חישוב העבודה בתור האינטגרציה של המהירות לפי דיפרנציאל התנע (חישוב שעולה כזכור מצירוף הגדרת העבודה בתור האינטגרציה של הכח לפי דיפרנציאל האורך - עם הגירסה המקורית של ניוטון לחוק השני שלו - דהיינו עם הגדרת הכח בתור היחס שבין דיפרנציאל התנע לבין דיפרנציאל הזמן), תמהתי כזכור: למה האינטגרציה הזו - של המהירות לפי דיפרנציאל התנע, מחושבת בפועל דווקא לפי דיפרנציאל המהירות - שהיא אחד משני הכופלים במכפלה שמגדירה את התנע (בעוד שהכופל השני שהוא המסה נשאר קבוע), ואינה מחושבת בפועל לפי דיפרנציאל המסה - שהיא הכופל השני (בעוד שהכופל הראשון שהוא המהירות נשאר קבוע). שים לב, שהתמיהה הזו רלוונטית רק במכניקה הקלאסית, משום שבמכניקה היחסותית כל שינוי במהירות יוצר שינוי גם במסה, כך שאילו העליתי את תמיהתי הנ"ל גם על תורת היחסות אז היה ניתן להשיב בקלות יחסית, שבשתי דרכי חישובה של האינטגרציה הזו יכולנו לקבל אותה תוצאה - בין אם מבצעים את האינטגרציה לפי דיפרנציאל המהירות - ובין אם מבצעים את האינטגרציה לפי דיפרנציאל המסה: ואכן זהות כזו בשתי התוצאות היתה יכולה לקרות, אם למשל לא היה חל שינוי במסת המנוחה. באופן כזה, תורת היחסות יכולה לשמור על סימטריה מלאה בין המהירות לבין המסה, בתור שני הכופלים שבמכפלה שמגדירה את התנע אשר לפי הדיפרנציאל שלו מחשבים את האינטגרציה שלפיה מחשבים את העבודה וכך גם את האנרגיה הקינטית. לכן העדפתי, שתמיהתי על אי סימטריה תעלה רק לגבי המכניקה הקלאסית.

ה. ההזדקקות (שהועלתה על ידיך) לחוק (הבלתי תקף יחסותית) של שימור המסה - כדי לסלק את תמיהתי על המכניקה הקלאסית - עדין נתפסת מבחינתי כהפתעה מרעישה, משום שזה אומר שהמכניקה הקלאסית זקוקה לחוק בלתי נכון עובדתית - כדי לסלק קשיים מתודולוגיים (כגון קשיי אי-סימטריה "קפריזית" בין שתי חלופות חישוביות תיאורטיות של איזושהי אינטגרציה). ההזדקקות הנ"ל של המכניקה הקלאסית לחוק בלתי נכון עובדתית, מאפשרת אפוא לתורת היחסות - לתקוף את המכניקה הקלאסית - מהיבט חדש מבחינתי, חוץ מהמתקפה האמפירית לגבי קביעותה של מהירות האור - כולל כל השלכותיה החישוביות של הקביעות הזו (כגון החלפת טרנספורמציות גלילאו בטרנספורמציות לורנץ). במילים אחרות, גם אילו חיינו בעולם היפותטי, שבו לא היה מחסום למהירות האור (וממילא טרנספורמציות לורנץ היו מתחלפות בחזרה לטרנספורמציות גלילאו), אבל המסה הכללית - שהיתה מתלכדת אז עם "מסת המנוחה" - היתה משתנה מהסיבות התת-אטומיות הידועות שאינן בהכרח קשורות לקביעותה של מהירות האור, עדין היה ניתן לתקוף את המכניקה הקלאסית - בגלל הזדקקותה לחוק שימור המסה - שלא היה נכון עובדתית בעולם ההיפותטי הנ"ל (כשם שהוא אינו נכון בעולמנו).

2A06:C701:7466:9200:A8E7:8A27:9D0E:9FBA 00:13, 2 ביוני 2023 (IDT)

גדול מאוד מ־/קטן מאוד מ־

מצב טיפול: חדש

יש הגדרה מדויקת ל"לגדול מאוד מ־"? לדוגמה, ${xy \over (x^{2}+y^{2})}={y \over x}$ כאשר x גדול מאוד מ־y. אינטואיטיבית אני מבין למה זה נכון, אבל אני מחפש משהו יותר ריגורוזי. תודה מראש, Yishaybg - שיחה 18:41, 22 במאי 2023 (IDT)

מן הסתם התכוונת להגיד, שהאגף השמאלי של המשוואה שלך, שואף לאגף הימני שלה, כאשר x גדול מאד מ-y. ובכן הנוסח הסטנדרטי להגיד את סיומת ה"כאשר", הוא להגיד: "כאשר y/x שואף לאפס". אם אתה מחפש הגדרה ריגורוזית למושג השאיפה, ראה נא את הערך על שאיפה אל גבול. 147.235.223.102 19:05, 22 במאי 2023 (IDT)

נסמן: $y=tx\Leftarrow t={y \over x}$

${xy \over x^{2}+y^{2}}={x*xt \over x^{2}+(xt)^{2}}={x^{2}t \over x^{2}+x^{2}t^{2}}={t \over 1+t^{2}}$

$\lim _{t\to 0}{t \over 1+t^{2}}=0\neq t={y \over x}$

איפה הטעות? Yishaybg - שיחה 20:06, 22 במאי 2023 (IDT)

נסתכל לרגע על המנה שאותה ציינת בצד שמאל של השורה האחרונה שלך [מה שבסוגריים מרובעים הוא תוספת מאוחרת]:

הנחה א': t שואף לאפס. אז (כמו שכתבת נכון) גבול המנה הוא אפס, כלומר המנה שואפת לאפס, כלומר (לפי הנחה א') המנה שואפת אל [הגבול של] t, ולכן גבול המנה הוא [הגבול של] t. לסיכום, הטעות היא עם סימן אי השויון שאותו הטלת בסוף [כי עירבבת בין המספר אפס לבין הסידרה הפונקציה t (של המשתנים x,y) שכמובן אינה מספר].

אם תרצה, אפשר לתת דוגמה פשוטה יותר כדי לעכל את העיקרון הכללי של מה שכתבתי: ובכן כאשר t שואף לאפס, אז הגבול של t [כאשר המנה y/x שואפת לאפס)] הוא אפס, מסכים? מצד שני, הגבול של t הוא [הגבול שאליו שואפת הסידרה הפונקציה t (כאשר המנה y/x שבין שני משתני t שואפת לאפס)], מסכים? מסקנה: אם כותבים "כאשר t שואף לאפס אז הגבול של t הוא אפס", ממילא זאת [תהיה טעות לכתוב אחר כך סימן של אי שויון בין הגבול של t לבין אפס, וזאת אפילו] תהיה טעות לכתוב סימן של אי שויון בין t לבין אפס [כאילו ש-t היא מספר].

147.235.223.102 21:15, 22 במאי 2023 (IDT)

אתה אומר שזאת תהיה טעות לכתוב אחר כך סימן של אי שויון בין t לבין אפס, אבל באותה מידה יכולתי לכתוב $\lim _{t\to 0}{t \over 1+t^{2}}=0=t*{1 \over x^{2}}={y \over x^{3}}$, לדוגמה, וזה לא נכון. Yishaybg - שיחה 21:46, 22 במאי 2023 (IDT)

היי,

אם יורשה לי להתערב, להבנתי הדגש הוא קצת אחר.

למשל, בדוגמה ש@ישי כתב בשאלתו הראשונה, הוא כתב באגף ימין y/x, אבל הוא לא כתב למשל 2y/x. מדוע? הרי גם הביטוי הזה שואף לאפס.

הסיבה היא שy/x מהווה קירוב מסדר ראשון בפרמטר y/x עבור הפונקציה שבאגף שמאל. אפשר היה לקחת גם סדרים גבוהים יותר, למרות שברוב התרחישים אפשר להסתפק בסדר המוביל.

ככל שנרשה יותר איברים, נקבל קירוב טוב יותר. הקירוב הכי "גס" הוא פשוט 0. הקירוב הבא בתור הוא t. הקירוב הבא אחריו הוא

t-t^3

(אלא אם התבלבלתי, עשיתי בראש), וכן הלאה. הרעיון הוא שבכל סדר של הקירוב, השגיאה האסימפטוטית תהיה קטנה יותר מאשר החזקה האחרונה שהוספנו.

לפרטים נוספים, ולגבי איך למצוא את הקירובים האלה, ראו טור טיילור, כשמה שאנחנו עושים פה בעצם זה לחתוך את הטור אחרי כמות סופית של איברים, לבחירתנו (בהתאם לרמת הדיוק הרצויה).

שווה להעיר שהביטוי "גדול\קטן מאוד מ" משמש בהקשר קצת יותר כללי, ולאו דווקא עם קשר ישיר לטורי חזקות, גם במתמטיקה וגם במדעים נוספים, והתשובה לשאלה המקורית של ישי היא שלא ממש, אין לזה הגדרה מתמטית קשיחה, אלא הכוונה היא לתאר שניתן בגבולות מסוימים להזניח או לקרב, והשגיאה יחסית קטנה, והיא נעשית יותר קטנה ככל שהגבול "יותר מתקיים". ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 22:00, 22 במאי 2023 (IDT)

תודה. איך הגעת ל־$t-t^{3}$? Yishaybg - שיחה 22:30, 22 במאי 2023 (IDT)

בשמחה!

אחד הטורים המוכרים (והפשוטים) ביותר הוא

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$

(למען האמת הוא גם מוכר מסכום סדרה הנדסית אינסופית).

הצבתי פה

x=-t^2

והכפלתי הכל בt (מותר לכפול טור חזקות בחזקה של t, עדיין נשארים עם טור חזקות), והטור שמתקבל הוא

t-t^3+t^5-t^7 וכו'.

זה במקרה עובד כי הפונקציה שרצינו לקרב דומה לתוצאה מוכרת. באופן כללי התהליך מערב את חישוב הנגזרות של הפונקציה עד הסדר שרוצים לקרב אליו. עבור המקרה הכללי ראה את הנוסחה הראשונה בפרק "הגדרה" בערך של טור טיילור אליו קישרתי לעיל, כאשר אצלנו x0=0 מכיוון שזה הערך אליו הפרמטר שלנו "קרוב", ועיין גם בפרק "דוגמה" ובפרק שמתחתיו (טורי טיילור של פונקציות שונות או משהו כזה).

אגב, כדי לוודא שלא טעיתי, שווה לבדוק אחריי למשל בוולפרם אלפא (מבטיח שנכנסתי לשם רק אחרי שכתבתי את הטור לעיל :) ) ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:05, 22 במאי 2023 (IDT)

E L Yekutiel, נראה לי שקצת איבדתי אותך. למה לחפש קירוב של הפונקציה? ואתה מדבר על הפונקציה $f(t)={t \over 1+t^{2}}$? Yishaybg - שיחה 00:28, 23 במאי 2023 (IDT)

הערה: זו תוספת מאוחרת: תגובת האנונימי להלן משעה 00:27 ולפחות חלק מהשרשור שאחריה קדם לתגובה הזו; אבל היא לא מתייחסת לחלק זה של השרשור.

אכן, אליה התכוונתי (זו הפונקציה המקורית עם x,y, אבל הבאת אותה לצורה נוחה יותר עם t, ואליה התייחסתי). סליחה אם לא הסברתי טוב.

בגדול, נתונה לנו הפונקציה f, ומעניינת אותנו ההתנהגות שלה "בקרבת הגבול" t=0. לא רק מעניין אותנו הערך שלה ממש בגבול עצמו, אלא ההתנהגות הכללית שלה סביבו.

התשובה הפשוטה ביותר שניתן לתת היא "הפונקציה שווה בקירוב לערך שלה בגבול עצמו". זה נקרא קירוב מסדר אפס. הוא מלמד אותנו על הערכים שהפונקציה מקבלת, אבל בכלל לא מלמד אותנו למשל על המגמה שלה (עולה או יורדת, ומה השיפוע), ופרטים נוספים לגבי ההתנהגות שלה, שמהם נוכל לקבל תמונה יותר מלאה, שגם תעזור לנו להעריך מה קורה כשטיפה מתרחקים מנקודת הגבול ולא יושבים ממש עליה.

בקצה השני של הסקאלה, נמצאת התשובה "ליד הגבול, היא מתנהגת כמו f". התשובה הזו כמובן נכונה באופן מוחלט וללא שום קירובים; f מתנהגת תמיד כמו f, גם ליד הגבול וגם רחוק ממנו. אבל לפעמים זו תשובה לא רצויה, דווקא בגלל שהיא נכונה תמיד; אולי יש פרטים בf שלא מעניינים אותנו כרגע, ולשם הפשטות אנחנו דווקא מעוניינים לוותר על הדיוק המוחלט כדי לקבל התנהגות בסיסית יותר, קלה יותר להבנה, ואת זה אפשר לעשות תוך ניצול העובדה שאנחנו מדברים על תחום קטן של הפונקציה, ליד נקודה מסוימת.

אז בין שני הקצוות של הסקאלה אפשר לתת מגוון של תשובות. בגדול התשובות האלו הן רמות שונות של קירוב של הפונקציה; במקרה של טור טיילור (עליו דיברתי לעיל) כל הקירובים ייתנו ערך מדויק של הפונקציה בגבול עצמו, ויצברו שגיאה ככל שנתרחק מהגבול עצמו. ככל שניקח קירוב מסדר גבוה יותר, אז מצד אחד השגיאה שנצבור תהיה קטנה יותר כי הקירוב שלנו מדויק יותר, אבל מצד שני האפיון של הפונקציה יהיה יותר מורכב ופחות פשוט. זו הבחירה שלנו לבחור עד איזה סדר אנחנו מעוניינים לקרב, ואלה בגדול השיקולים.

אז לגבי הדוגמה הספציפית שנתת, אפשר לומר שהפונקציה היא בערך 0 קרוב לגבול (זה סדר אפס); אפשר לומר שהיא מתנהגת כמו t קרוב לגבול (זה סדר ראשון, והוא כבר מלמד אותנו קצת על איך היא משתנה סביב הגבול, ולא רק על הערך שלה בגבול); אפשר לומר שהיא מתנהגת כמו t-t^3, וזה כבר קירוב טוב יותר אבל מסובך יותר שלה; וכן הלאה, ניתן להוסיף עוד איברים, שייתנו תיקונים קטנים להתנהגות של הפונקציה אבל יסבכו קצת את האפיון שלה ויקשו על ההבנה האינטואיטיבית של ההתנהגות שלה.

מקווה שהייתי יותר ברור פה... תרגיש חופשי לשאול אם יש שאלות המשך. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 01:04, 23 במאי 2023 (IDT)

אנא דייק בדבריי: לא כתבתי שאפשר לכתוב ש-t שווה לאפס. כתבתי שאי אפשר לכתוב ש-t שונה מאפס. כדי להבין מה שורש ההבדל שבין מה שכתבתי לבין מה שלא כתבתי, אנא עיין שוב בשתי שאלותיי שהופנו אליך בפיסקה האחרונה שבתגובתי הקודמת לך. 147.235.223.102 23:37, 22 במאי 2023 (IDT)

אם t לא שונה מאפס אז הוא שווה לאפס. לא? Yishaybg - שיחה 00:27, 23 במאי 2023 (IDT)

היי, סליחה שאני שוב מתערב (נדמה לי שתגובת האנונימי לעיל לא הייתה מופנית אלי אלא אל ישי). עדיין הייתי רוצה להעיר לגבי משהו שנכתב בה (ואני לא מתייחס לדברים קודמים שנכתבו).

אני חושב שכן נכון לכתוב שt שונה מאפס. שים לב שאין שם סימן גבול; סימן הגבול רשום רק באגף השמאלי ביותר.

אם היה סימן גבול גם על t, אז ניתן היה להשוות לאפס. בהיעדרו, מדובר בשני מושגים שונים, ובתשובות הקודמות כבר הרחבתי לגבי ההבדל ביניהם. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 00:36, 23 במאי 2023 (IDT)

רק כדי לחדד את דבריי:

אני מסכים עם האמירה "הגבול של t הוא אפס".

אני לא מסכים עם האמירה "הגבול של t הוא t".

ברגע שלקחנו גבול, כבר לא מדובר על אובייקט שיכול לקבל מגוון של ערכים בסביבת הגבול. מדובר על הערך בגבול עצמו.

לכן הסתייגתי מפירוש הדברים כלקיחת הערך בגבול (ומהשימוש בסימן הגבול בהקשר הזה באופן כללי): זה רק חלק קטן מהתמונה (סדר אפס). ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 01:18, 23 במאי 2023 (IDT)

מזה שאי אפשר לכתוב בסכין שאינה משוננת, לא נובע שדווקא כן אפשר לכתוב בסכין כן-משוננת, כי יכול להיות שאי אפשר לכתוב בשום סכין, בין אם משוננת ובין אם שאינה משוננת.

או בנמשל: אתה כתבת ש-t שונה לאפס. בתגובתי לך נזהרתי להתנסח, שאי אפשר לכתוב ש-t שונה מאפס, אבל לא ציפיתי שמזה תסיק שדווקא כן אפשר לכתוב ש-t כן-שווה לאפס.

אפרט: מזה שאי אפשר לכתוב ש-t שונה מאפס, לא נובע שדווקא כן אפשר לכתוב ש-t כן שווה לאפס, משום ש-t היא סידרה פונקציה (של המשתנים x,y), בעוד שאפס הוא מספר ( בסידרה כלומר הוא איזשהו ערך של הפונקציה). סימני השויון ואי השויון רלוונטיים רק בעת השוואת אוביקטים מאותה קטגוריה.

לסיכום, ולגוף שאלתך האחרונה לגבי מה שאפשר לכתוב ומה שאי אפשר לכתוב, הכי מדוייק יהיה לכתוב: $.\lim _{t\to o}{t \over (1+t^{2})}=0=\lim _{t\to o}{t}=\lim _{(y/x)\to o}{\frac {y}{x}}$ באופן כזה, שבו אתה מתייחס אל $t={\frac {y}{x}}$ בתור פונקציה (של המשתנים x,y) במקום בתור מספר, מלכתחילה לא תתעורר אצלך התמיהה המקורית: $,\lim _{t\to 0}{t \over 1+t^{2}}=0\neq t={y \over x}$ שאותה חתמת במילים: "איפה הטעות?".

147.235.223.102 03:23, 23 במאי 2023 (IDT)

היי, האם קראת את תשובתי? הגבול שכתבת פה נכון, אבל הוא לא עונה על השאלה שהשואל המקורי הציג, ולכן לא רלוונטי ומבלבל.

t אינו סדרה, מתכנסת או אחרת (אם זו סדרה, מהו האיבר הראשון? מה האיבר הכללי?). t הוא משתנה, ובשונה ממה שכתבת, הוא כן או שווה או שונה מאפס (במקרה של שוויון משתנים, סימן השוויון הוא בעל משמעות של שוויון זהותי, גם כאשר מסמנים בשוויון רגיל, כמו בכל משוואה). אתה צודק שלא ניתן לכתוב שt שווה לאפס, אבל כן נובע מכאן שניתן לכתוב שt שונה מאפס. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 06:52, 23 במאי 2023 (IDT)

במחשבה שנייה, אני חוזר בי מחלק מדבריי. כאשר כותבים אי שוויון בין משתנים, בד"כ דווקא לא מתכוונים לזה כשלילת שוויון זהותי, אלא כאי שוויון זהותי (כלומר שהמשתנה לעולם לא שווה לערך אליו משווים, במקרה שמשווים משתנה לערך).

עם זאת, לי מובן שלא זו היתה הכוונה כאשר ישי כתב לעיל את אי השוויון; הכוונה היתה לומר, כפי שהוא כתב בשאלתו הראשונה, שהוא ציפה להסבר מדוע הפונקציה ניתנת לקירוב ע"י t כשמתקרבים לגבול, ולא ביקש את חישוב הגבול (המשפט האחרון עדיין רלוונטי גם לתגובתך האחרונה, למקרה שהתפרש בטעות שחזרתי בי גם מהדברים שכתבתי לגבי הגבול שמופיע בה). ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 07:17, 23 במאי 2023 (IDT)

לגבי התייחסותך למילה "סידרה" שבדבריי: תיקנתי למעלה, כולל - העברת קו חוצה על המילה "סידרה" - והחלפתה במילה שאליה התכוונתי מלכתחילה: "פונקציה". בשורה התחתונה התכוונתי שם להגיד, ש-t היא פונקציה, ושהגבול שלה שואף לאפס - כאשר המנה y/x שבין שני משתני t שואפת לאפס.

לגבי הפיסקה האחרונה שלך: לדעתי כל אחד משנינו הגיב לחלק אחר של דברי השואל: בינך לבינו התקיים איזשהו דיון, שלא אליו התייחסתי. מכאן ואילך אסכם את אופי הדיון שהתקיים ביני לבין השואל: ובכן אני בעיקר התכוונתי להתייחס לטענת השואל שכתב $.\lim _{t\to 0}{t \over 1+t^{2}}=0\neq t={y \over x}$ משכתב זאת, התעוררה אצלו תמיהה שאותה הוא ניסח כך: "איפה הטעות?". אז התכוונתי לענות לו, כי תנאי הכרחי (אם כי לא מספיק) - להתעוררות תמיהת השואל - הוא התייחסות השואל אל t בתור מספר, וכי תמיהתו לא היתה מתעוררת אילו הוא התייחס אל t בתור פונקציה (של המשתנים x,y), וכך היה מנסח אפוא באופן יותר מדוייק: $.\lim _{t\to o}{t \over (1+t^{2})}=0=\lim _{t\to o}{t}=\lim _{(y/x)\to o}{\frac {y}{x}}$ אבל את כל זה כתבתי לו רק בסוף הדיון, בעוד שבהתחלה כתבתי לו רק כי [אם מתייחסים אל t בתור פונקציה אז] אי אפשר לכתוב סימן של אי שויון בינה לבין אפס [אלא אפשר לכתוב רק סימן של אי שויון (או סימן שויון) בין הגבול שלה לבין אפס]. בכך התכוונתי לרמח לו, שהוא ידייק יותר אם ישאל את עצמו, לא "אל מה שווה t ", אלא "אל מה שווה הגבול של t ", וכך תוסר תמיהת השואל. אבל בשוגג הוא סבר שהתכוונתי לרמוז לו, שאפשר לכתוב סימן של שויון בין t לבין אפס. כל זה הסיט את הדיון שביני לבין השואל - לסוגיה לוגית צדדית: האם מתוך זה שאי אפשר לעשות משהו, אפשר להסיק (כפי שבשוגג הוא הסיק) מה כן אפשר לעשות. לסיכום: כל אחד משנינו (אתה ואני) ערך עם השואל דיון בנושא אחר - אחרי שהשואל העלה יותר מנושא אחד...

2A06:C701:747B:E700:B863:B7A0:D2E1:34AE 11:16, 23 במאי 2023 (IDT)

התייחסתי בדיוק לנקודה הזו בתשובותיי. מהשאלה המקורית, ברור שהשואל לא מחפש את ערך הגבול, אלא מבקש להבין למה הפונקציה מתנהגת כמו t קרוב לגבול.

התשובה שלך לא ענתה על השאלה הזו, אלא אמרה שהגבול הוא אפס, וגם הוסיפה את העובדה הנכונה, שהגבול של t הוא אפס, אבל מכיוון שיש הרבה דברים שהגבול שלהם הוא אפס, למשל 2t, התשובה הזו עדיין לא עונה לשואל מדוע הפונקציה מתנהגת כמו t.

את התשובה שלך, שגבול הפונקציה הוא אפס, הוא עימת עם ההסבר שהוא חיפש עבור שאלתו, מדוע הפונקציה מתנהגת כמו t, וכתב זאת כאי שוויון, ובצדק. אני לא מבין איזה פסול אתה רואה בזה (בין אם t מוגדר כסדרה, פונקציה וכד') - התשובה שמקבלים מהגבול (אפס) אינה שווה לתשובה שהוא מחפש הסבר עבורה (t). ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 12:39, 23 במאי 2023 (IDT)

אחרי שהשואל שאל כמה שאלות, שלחלקן אתה הגבת ושלחלקן אני הגבתי ושלחלקן שנינו הגבנו, אתה מעורר כעת שאלה חדשה: אל מה התכוון השואל בשאלותיו. לדעתי אפשר פשוט לבקש מהשואל עצמו שישיב על שאלתך החדשה.

אינני שולל את מה שהבנת בדברי השואל. כל אחד משנינו (אתה ואני) הבין בכוונת השואל איך שהבין, וכל אחד משנינו משיב לפי איך שהוא הבין בכוונת השואל.

גם לא כל הבהרה שהיתה חשובה בעיני אחד משנינו, היתה חשובה גם בעיני השני, וזאת אף בלי שאף אחד משנינו פוסל חלילה את מה שחשוב בעיני השני. למשל, לי היה חשוב להבהיר לשואל, ש-t אינו אפס (בהנחה ש-t היא פונקציה), כדי לרמוז לשואל שאילו הוא היה מקפיד להגדיר את אפס בתור גבול בלבד ולא בתור סתם מספר, אז שאלתו (כפי שאני הבנתי אותה) לא היתה מתעוררת. מאידך, אתה הבנת את שאלתו באופן מעט שונה מכפי שאני הבנתי (הבנת שהוא מתכוון לשאול למה הפונקציה מתנהגת כמו t קרוב לגבול). סבבה. כל אחד יבין כראות עיניו, וישיב כראות עיניו.

2A06:C701:747B:E700:B863:B7A0:D2E1:34AE 16:34, 23 במאי 2023 (IDT)

תודה לשניכם. מה שרציתי זה לדעת למה ${xy \over (x^{2}+y^{2})}={y \over x}$ כאשר x גדול מאוד מ־y.‏ Yishaybg - שיחה 16:42, 23 במאי 2023 (IDT)

בשמחה רבה.

להבנתי, חישוב גבול הפונקציה לא רלוונטי כאן, כי אתה מתעניין בלהבין למה היא ניתנת לתיאור מקורב כy/x, ולא רק בערכה הגבולי.

מצד שני, אולי לא הבנתי נכון.

אם כן הבנתי נכון את השאלה שלך, אז אני מקווה שהתשובות לעיל עזרו לך. אם משהו עדיין לא ברור, שאל ואשמח לנסות להבהיר. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 17:38, 23 במאי 2023 (IDT)

אני לגמרי מסכים, שכדי לענות על שאלתו האחרונה של השואל כפי שהוצגה כעת, ראוי להתעמק בטורי טיילור. שם קבור הכלב. 2A06:C701:747B:E700:712E:3D21:B1B6:9E43 20:55, 23 במאי 2023 (IDT)

חלק את האגפים זה בזה, ותקבל ${\frac {xy \over (x^{2}+y^{2})}{y \over x}}={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$; מכיוון ש-y זניח ביחס ל-x, היחס קרוב ל-1. לא צריך כאן טורי טיילור. עוזי ו. - שיחה 22:56, 23 במאי 2023 (IDT)

תודה רבה עוזי! אהבתי 👍 ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 23:13, 23 במאי 2023 (IDT)

האם להוסיף תנאי בלולואה מאריך את זמן הריצה?

מצב טיפול: נענה

אני מחשב דבר-מה תוך כדאי לולאה. במקרים נדירים ביותר יוצא שיש לי ערך שמתאפס, ואז צריך "לעשות טריקים".

פסיידו- אלגוריתם:

1) עבור i מ-1 עד $10^{8}$
1.1) תעשה חישוב ותמצא את x,y,z
1.2) אם x<0 
1.2.1) תעשה טריקים, ככה ש x יהיה שווה למשהו הגיוני
1.3) תעשה חישוב עם x,y,z

אז אני מריץ את קטע הקוד בc++ ומתלבט אם אני לא ,"מעמיס" על המעבד שלי לעשות בדיקה מיותרת מלא פעמים. במילים אחרות, התנאי הזה נבדק מלא-מלא פעמים וכל פעם זה עוד איזה חישוב, שב99% מהמקרים יניב תשובה שלילית. האם זה לא פוגע ביעילות זמן ריצה? Corvus‏,(Nevermore)‏ 16:52, 23 במאי 2023 (IDT)

הכול תלוי במהות הבעיה המקורית. יש בעיות שבהן, הבדיקות האלה - שמאריכות מאד מאד את זמן הריצה - יכולות להיחסך, וזאת על ידי החלפתן בבדיקות הרבה יותר יעילות, ולפעמים על ידי החלפת כל האלגוריתם כולו באלגוריתם - יותר מתוחכם - אבל גם יותר חסכוני בבדיקות. אבל יש בעיות שבהן הבדיקות המתישות האלה חיוניות ובלתי נמנעות, למרות שהן מאריכות מאד מאד את זמן הריצה. למשל, לפעמים ידוע מראש - שבתוך מאה מיליון המספרים הראשונים - יש מספר יחיד שמקיים את התכונה המבוקשת, בעוד שכדי לגלות אותו - אין ברירה אלא לעבור על כל המספרים שעד מאה מיליון - מה שעלול להאריך מאד מאד את זמן הריצה: במקרים כאלה, מה שבכל זאת יכול לנחם זאת העובדה שמובטח לנו מראש - שבזבוז הזמן הנוראי הזה - לפחות יסתיים בגילויו של המספר המיוחד והנדיר. לפעמים, גם מנחשים מראש שאפשר לקצר משמעותית את תהליך הבדיקה, אבל מתעצלים לקצר אותו - משום שבשביל קיצורו צריך להפעיל באופן הרבה יותר נמרץ את התאים האפורים של המוח, אז בגלל עצלות אינטלקטואלית - נכנעים - ומסתפקים אפוא בהפעלת בדיקות הרבה יותר פשוטות-אינטלקטואלית אבל גם הרבה יותר מייגעות ומתישות שמאריכות משמעותית את זמן הריצה. לסיכום: הכול תלוי במהות הבעיה המקורית. 2A06:C701:747B:E700:712E:3D21:B1B6:9E43 21:35, 23 במאי 2023 (IDT)

שאלת האם הוספת הבדיקה פוגעת בזמן הריצה: מן הסתם, כפי שתארת לעצמך. השאלה היא לאן אתה מכוון בשאלה שלך. מעשית, סביר להניח שהבדיקה הזו זניחה ביחס לשאר החישובים שאתה מבצע בכל איטרציה, וזה תלוי בפעולות שאתה מבצע שם (אם לרדת ל-"low-level", הבדיקה עצמה יכולה להתבצע ע"י פקודת מכונה בודדת, והתקורה שגורר השימוש בתנאי מתבטלת לרוב בזכות מנגנוני prediction).
בכל אופן, אם ישנה חשיבות לזמן הריצה, במקרים רבים (במיוחד מקרים כאלה שלא מדובר בשינוי אלגוריתמי של שינוי רמת סיבוכיות) הידור עם הפעלת אופטימיזציה חזקה יוביל לתוצאות טובות ממה שתוכל בעצמך. במקרים אחרים, ההכוונה הטובה ביותר היא פשוט להשוות ולמדוד. אם מהמדידה עולה שאכן עלות הזמן של הבדיקה מוסיפה נפח משמעותי למשך הכללי, יש טעם לדון באלטרנטיבות. R.G. - שיחה 02:18, 24 במאי 2023 (IDT)

מזה שנים רבות, מעבדים מכילים אופטימיזצייה חומרתית למקרים מסוג זה. זמן הריצה יתארך בכלמקרה, אבל אם התכנית שלך היא בעלת רצפים ארוכים בהם התנאי מקבל את אותו ערך (אמת\שקר), אתה אמור לצפות שהארכה תהיה זניחה (אחוז הארכת הקוד ישאף ל - 0 ככל שהרצפים ארוכים יותר). עיין כאן לטכניקות אופטימיזציה, כאן לערך באנגלית על המנגנון החומרתי. עשית לי חשק לתרגם אותו. אסף השני - שיחה 18:42, 24 במאי 2023 (IDT)

אוקי, תודה לכם. התנאי שלי הוא שעקרונית קיים מצב שבו הנגזרת מתאפסת כי $f(x+\delta x)=f(x)$ עבור xים גדולים משמעותית מהדיוק הנומרי שלי. זה יכול לקרוא רק בקצוות הריצה שלי, אבל אני לא רואה דרך לדעת מראש אם אני כבר בxים גדולים, חוץ מלשאול אתה שאלה "האם האיקסים גדולים" (או כל תנאי דומה אחר). אם זמן הריצה מתארך באופן נזיח, אני יכול לחיות עם זה. Corvus‏,(Nevermore)‏ 17:07, 30 במאי 2023 (IDT)

אם זה המצב, אז אלא אם אני מפספס משהו, אפשר לשפר את זה אלגוריתמית:

אתה יכול לבצע חיפוש בינארי על הטווח של ה-x-ים ולמצוא את הגבולות של התחום הרצוף שבו ה-x-ים כן חוקיים, ואז לרוץ עם שתי לולאות נפרדות (אחת על התחום של x-ים חוקיים ואחת [או שתיים, אם יש בעייה גם בגבוהים וגם בנמוכים] על יתר ה-x-ים), וכך להימנע מהתנאי בלולאה.

אבל כמו שכבר אמרו פה, השיפור היחסי בזמן הריצה כנראה יהיה לא משמעותי. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 17:18, 30 במאי 2023 (IDT)

אתה יכול להריץ שתי לולאות: הפנימית מבצעת את החישוב שלך, נאמר 100 פעמים. החיצונית, שאותה מריצים 1000000 פעמים, מריצה את הפנימית, ומוסיפה בדיקה האם התנאי כבר מתקיים. הרווחת שהבדיקה נעשית רק ב-1% מהצעדים, והפסדת שאולי תריץ את התהליך 100 צעדים מיותרים. עוזי ו. - שיחה 01:41, 31 במאי 2023 (IDT)

זה הזמן להזכיר שהמרכיב החשוב בתוכנה הוא הנכונות שלה, ולכן עדיף לכתוב אותה בדרך הפשוטה ביותר האפשרית, ורק במקרים חריגים, שבהם יש חשיבות עליונה לביצועים, לסבך את האלגוריתם לשם אופטימיזציה. דוד שי - שיחה 07:47, 31 במאי 2023 (IDT)

נפח מולרי

מצב טיפול: חדש

מה הנפח המולרי של מים? בתוכנה שאני עובד איתה כתוב בהערה:

V0 in cm^3 / mol .
For ice, 1 \AA^3 = N_A / (2*10^24) cm^3/mol = 0.3011 cm^3/mol

בזמן שוולפראם אלפה נותן תשובה של 27.36 cubic centimeters per mole הבדל של פי 100. אני מנחש שמדובר בגדולים שונים למרות שהיחידות זהות. אבל לא ברור לי מאיפה ההבדל? ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

מההערה נראה שהניחו שהצפיפות המספרית (number density) שעובדים איתה היא 2e24 מולקולות לסמ"ק; מספר אבוגדרו (כמות החלקיקים במול) חלקי הגודל הנ"ל נותן את הנפח המולרי, וזה החישוב שעשו שם.

אבל 2e24 הוא ערך גבוה מאוד, סדרי גודל מעל הצפיפות של מים נוזליים בתנאים סטנדרטיים (שהיא קצת יותר מ3e22), וקרח בתנאים לא קיצוניים לא שונה ממים נוזליים בסדרי גודל. נשמע לי שהגודל הזה מייצג חומר דחוס בהרבה, ולכן הנפח המולרי שמקבלים בקוד נמוך כל כך.

הנפח המולרי של מים נוזליים בתנאים סטנדרטיים הוא כ18 סמ"ק למול (מולקולת מים מורכבת משני אטומי מימן ואטום חמצן אחד, ולכן המסה המולרית שלה היא כ18 גרם למול; והצפיפות של מים בתנאים סטנדרטיים קרובה ל1 ג' לסמ"ק). קרח ב0 מעלות פחות צפוף ממים והנפח המולרי שלו מעט יותר גבוה, אמור להיות קצת פחות מ20 סמ"ק למול.

תוכל לצרף קישור לתוצאה של וולפרם אלפא? מעניין אילו תנאים הוא הניח על המים כדי לקבל 27 סמ"ק למול (זה גבוה מדי, כלומר פחות צפוף ממים בתנאים רגילים, אבל סדר הגודל נכון). ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 13:34, 1 ביוני 2023 (IDT)

היפוך נגזרת באופן נומרי

מצב טיפול: חדש

נתונה לי טבלה שבה יש P ו T (שתי עמודות) וגם עמודה של dlog(T)/dlog(P).

ואני רוצה לדעת מה זה dT/dP. איך אני מחשב?

dT / dP = (T) / (P) * (d log T/ d lot P). הסיבה היא ש-d log x/dx = 1/x. עוזי ו. - שיחה 21:53, 4 ביוני 2023 (IDT)

נגזרות

מצב טיפול: חדש

אם יודעים פונקציה z(x,y) ואיזשהו z0 קבוע, איך יודעים מה זה $dy/dx$ עבור אותו zo בכל נקודה?

לצורך העניין הפונקציה z היא גזירה וחלקה.

מה שאני מתאר זה מפה טופוגרפית שבה אני בוחר גובה ומקבל עקום ששומר על גובה קבוע. ואז אני "מספיק לראות את ההר" ומסתכל רק על עקום מישורי. ואני רוצה לדעת מה פונקציית הנגזרת.

נ.ב. "בונוס" ובשביל לסבך את הסיפור, הפונקציה z היא "קופסה שחורה", שאי אפשר לגזור אנליטית, אבל אפשר להציב לתוכה ערכים ולקבל פלט.

כלל השרשרת. אפשר לגזור את הזהות $z(x,y)=z_{0}$ לפי x, ולקבל $z_{x}+z_{y}{\frac {dy}{dx}}=0$, כלומר dy/dx הוא מינוס היחס z_x/z_y (כאשר z_x,z_y הן הנגזרות של z לפי x,y). עוזי ו. - שיחה 20:00, 5 ביוני 2023 (IDT)

ראה גם משפט הפונקציה הסתומה (למרות שחסרה בו הנוסחה למקרה של פונקציה סתומה ב-2 משתנים). – ד"ר MathKnight ✡ (שיחה) 20:09, 5 ביוני 2023 (IDT)

בהתייחס ל"בונוס" ב"נ.ב.", כמו שנכתב לעיל צריך להשתמש בנגזרות החלקיות של z, אותן אין לך אנליטית. אבל אם אפשר לקבל ערכים שלה כרצונך, אתה יכול לבצע גזירה נומרית . ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 08:22, 7 ביוני 2023 (IDT)

איך להמיר מספר דצימאלי למספר בינארי? יש נוסחה?

למשל, איך לחשב ש 10 הוא 2, ש 3 הוא 11, ש 4 הוא 100 וכו'? תודה. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

נוסחה רקורסיבית: f(n)=f(n/2)|(n%2), פרט ל-f(0)=0 ו-f(1)=1. כאן n הוא המספר העשרוני שלך, f(n) הוא ההצגה הבינארית, הפעולה n%2 היא השארית בחלוקה ל-2 (כלומר 0 או 1), n/2 הוא חצי המספר n (מעוגל כלפי מטה), ואילו | הוא אופרטור ההדבקה. עוזי ו. - שיחה 15:02, 8 ביוני 2023 (IDT)

שיטה להמרת מספר עשרוני לבינארי:

א. בצע חלוקה עם שארית ב-2.

ב. השארית יכולה להיות 0 או 1; כתוב אותה בצד.

ג. חזור לשלב א, עם החלק השלם של המנה (ללא השארית). המשך עד שהגעת לחלק שלם של 0.

המספר הבינארי הוא המספר שספרותיו הן השאריות, בסדר עולה (כלומר: השארית שהתקבלה בחלוקה הראשונה היא ספרת האחדות).

דוגמה: נמיר את 13 לבינארי.

בחלוקה ב-2, נקבל 6 עם שארית 1.

נרשום:

6 (1).

עכשיו נחזור לשלב א, עבור 6; וכך, בחלוקות הבאות נקבל:

3 (0),

1 (1),

0 (1).

נרכיב את השאריות שבסוגריים למספר, ונקבל את 13 בבינארי: 1101. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 15:03, 8 ביוני 2023 (IDT)

איך יודעים איזה פולינום מתאים ביותר למדידות?

מצב טיפול: חדש

נניח שורה של מדידות: $xy2.17-9.992.18-9.892.19-9.52.21-8.752.24-7.692.23-8.032.26-7.022.27-6.692.29-6.072.30-5.772.31-5.472.34-4.632.36-4.12.38-3.62.40-3.122.41-2.882.42-2.662.43-2.44$

אני יכול להתאים לזה באקסל פולינום מדרגה 1,2,3 או אפילו 6,7. כולם מתאימים, כולם נותנים R2 של מעל 0.99. איך אני יודע בלי תאוריה (כלומר מודל שמסביר את התוצאות) לדעת איזה קו מגמה הוא המתאים ביותר? כלומר אולי מ"טעמי קמצנות" אני צריך לבחור את קו עם מינימום פרמטרים? או אולי לבחור את הפולינום הגדול ביותר שהתוכנה יכולה לספק כי זה מגדיל את הדיוק? איך מחליטים?

קצת תוכל למצוא כאן. איך להמנע מאובר-פיטינג (התאמת יתר) , ובאופן כללי חפש polynomial regression overfitting בגוגל לעוד מקורות. אסף השני - שיחה 18:23, 8 ביוני 2023 (IDT)

arbitrary precision

מצב טיפול: חדש

מישהו יודע אם יש מונח מקובל בעברית ל־arbitrary precision arithmetic? --אמיר א׳ אהרוני - שיחה 11:41, 13 ביוני 2023 (IDT)

הביטוי העברי המתרגם את שתי המילים הלועזיות הראשונות מופיע בשורה הראשונה של פתיח-הערך bc (שפת תכנות), בעוד שהביטוי העברי המלא בן שלוש-המילים מופיע למשל באתר של חברת סיסטמטיקס: "אריתמטיקת דיוק משתנה". 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 15:21, 13 ביוני 2023 (IDT)

פונקציה הומוגנית במובן החלש.

האם יש שם מקובל לפונקציה $f$ בעלת מעין "הומוגניות" [מסדר 1] חלשה:

יש $\alpha \neq 1$ המקיים לכל $x$ שבתחום-הפונקציה: $.f(\alpha x)=\alpha f(x)$

אין לי התנגדות להתנות ש-$\alpha$ גם שונה מאפס (או אפילו חיובי), אם זה מה שיקל על מציאת השם המקובל.

ובמיוחד: האם יש שם מקובל לפונקציה $f$ בעלת מעין "הומוגניות" [מסדר 1] עוד יותר חלשה:

לכל $x$ שבתחום-הפונקציה יש $\alpha \neq 1$ שמקיים: $.f(\alpha x)=\alpha f(x)$

ושוב, אין לי התנגדות להתנות ש-$\alpha$ גם שונה מאפס (או אפילו חיובי), אם זה מה שיקל על מציאת השם המקובל.

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 12:30, 13 ביוני 2023 (IDT)

לא מוכר לי מונח מקובל לתכונה הזו. באיזה הקשר אתה מתכוון להתייחס אליה? עוזי ו. - שיחה 15:25, 13 ביוני 2023 (IDT)

אני מעונין להציג הוכחה (טריויאלית אגב) שמצאתי עבור איזושהי למה חדשה שהמצאתי:

לכל פונקציה $,f$ שהיא "הומוגנית חלשה" (או אפילו "עוד יותר חלשה" כדלעיל) - מסדר 1, ושמקיימת: $,f(x)=\int g(x)dx$ קבוע-האינטגרציה מאופס.

למעשה, הייתי בשמחה מוכן לוותר על תנאי ההומוגניות החלשה (ואפילו על תנאי ההומוגניות העוד יותר חלשה), אילו יכולתי להחליף אותו בתנאי פשוט אחר.

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 15:52, 13 ביוני 2023 (IDT)

אבל "קבוע האינטרגציה" אינו מוגדר היטב. עוזי ו. - שיחה 16:11, 13 ביוני 2023 (IDT)

מסכים, אצטרך אפוא לפרט יותר אל מה אני מתכוון במונח המעט עמום "קבוע האינטגרציה". אבל עדין דרוש לי תנאי ההומוגניות [מסדר 1] "באופן חלש" (או אפילו "עוד יותר חלש") כדלעיל, או איזשהו תנאי פשוט אחר שיספק את הסחורה (אחרי שאדייק יותר בכוונתי בביטוי "קבוע האינטגרציה").

אתן דוגמה לאן אני חותר: ובכן נניח, שהפונקציה $f$ מקיימת $,df(x)=xdx$ אז מוכח (טריויאלית) שהיא מקיימת $,f(x)=x^{2}$ בתנאי (מספיק) שהיא הומוגנית "באופן חלש" (או אפילו "עוד יותר חלש") כפי שהוגדר לעיל, מסכים? ובכן לשם אני חותר, אחרי שאכליל באופן משביע רצון את הדוגמה הזו לשאר הפונקציות ההומוגניות [מסדר 1] "באופן חלש" (או אפילו "עוד יותר חלש") כדלעיל, שמקיימות באופן כללי: $.df(x)=g(x)dx$

2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 16:22, 13 ביוני 2023 (IDT)

"עוברת בראשית הצירים" יספיק לדוגמא הזו. עוזי ו. - שיחה 22:21, 13 ביוני 2023 (IDT)

לגבי התנאים המקוריים שהצגת, גם אני לא מכיר שמות, אבל אציע כאלה:

סעיף א: "פונקציה מחזורית בתחפושת",

סעיף ב: "פונקציה בכלל לא חד-חד-ערכית, בתחפושת".

בהסבר להלן אשתמש באותיות לטיניות ולא יווניות, מתוך עצלנות.

נניח ש-f פונקציה ממשית במשתנה יחיד, ולמעשה אניח מעבר לכך שהיא פונקציה מהחיוביים לחיוביים; בנוסף, נניח ש-a חיובי.

עבור שני הסעיפים, נגדיר:

g(x)=ln(f(exp(x)))-x

נשים לב לכך שמתקיים:

f(x)=x*exp(g(ln(x)))

כלומר המיפוי בין f ל-g הוא חח"ע ועל, ו-g עצמה היא מהממשיים לממשיים (כלומר התחום שלה לא מוגבל לחיוביים).

בנוסף, נגדיר:

b=ln(a), exp(b)=a

וגם זה מיפוי חח"ע ועל, בין a חיוביים ל-b ממשיים.

סעיף א:

נתון שקיים a שונה מ-1 עבורו מתקיים לכל x:

f(a x)=a f(x)

מכאן נקבל:

g(x+b)=

=ln(f(exp(x+b)))-x-b=

=ln(f(exp(x)exp(b)))-x-b=

=ln(f(a exp(x)))-x-ln(a)=

=ln(a f(exp(x)))-x-ln(a)=

=ln(a)+ln(f(exp(x)))-x-ln(a)=

=ln(f(exp(x)))-x=

=g(x)

כלומר, פונקציה f שמקיימת את התנאי של סעיף א היא למעשה פונקציה עבורה g מחזורית. מכיוון ש-f מתקבלת מטרנספורמציה פשוטה והפיכה מתוך g, הצעתי את הכינוי "פונקציה מחזורית בתחפושת".

אגב - f תהיה הומוגנית במובן הרגיל (תקיים את תנאי סעיף א לכל a) אם"ם g קבועה.

סעיף ב:

לכל x יש a שונה מ-1 שמקיים את התנאי הנ"ל.

זה שקול (ב"עולם ה-g") לכך שלכל x קיים b שונה מ-0 שמקיים את התנאי:

g(x+b)=g(x)

כלומר, לכל נקודה קיימת לפחות נקודה נוספת שהפונקציה מעבירה לאותו ערך. ומכיוון ש-f מתקבלת מטרנספורמציה פשוטה והפיכה מתוך g, הצעתי את הכינוי "פונקציה בכלל לא חד-חד-ערכית בתחפושת". ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 14:55, 14 ביוני 2023 (IDT)

התשובה הזו כמובן לא רלוונטית למה שאתה כנראה מחפש - התשובות של עוזי הן מה שאתה צריך; רק חשבתי שאולי יעניין אותך לראות שהתנאים שכתבת בעצם קרובים לדרישת מחזוריות ולדרישת אי קיום נקודה בטווח עם מקור בודד בתחום. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 15:04, 14 ביוני 2023 (IDT)

לגבי המשפט הראשון שלך בתגובתך האחרונה: מה שאני צריך, מוגדר היטב בשאלתי המקורית: אני מחפש שם מקובל לתכונה מתמטית מסוימת שהוגדרה היטב. אני מבין שאף אחד מכם לא מכיר שם מקובל כזה. סבבה. עוזי שאל בשביל מה אני צריך את זה (בערך כמו לשאול בשביל מה אני צריך לחיות אם אני גם יכול להתאבד. תשובה מדויקת: החיים הם עבורי המטרה הסופית. תשובה פחות מדויקת: החיים עוזרים לי למשל לא לפספס את האוטובוס של שלוש וחצי שאותו הייתי בוודאות מפספס בלעדיהם). אז לשאלתו נתתי לו דוגמה שמדגימה במה התשובה לשאלתי המקורית תוכל לעזור לי, אבל זו היתה רק דוגמה. עד כאן לגבי המשפט הראשון שלך בתגובתך האחרונה, וכעת לגופו של עניין: בתכלס, אף אחד משניכם לא נתן לי משהו שהוא טוב יותר מאשר עצם ההגדרה שנתתי עבור מה שאנני מכנה "הומוגניות חלשה". מה שעוזי נתן, זה לא שם מקובל להומוגניות חלשה אלא שם מקובל לתכונה יותר חזקה שמתייחסת לדוגמה מאד מסוימת במקום למקרה הכללי הממוצה בשאלתי המקורית. מה שאתה נתת זה כינוי חדש ולגיטימי - אם כי לא ממש "מקובל" (כפי ששמת לב בעצמך), פלוס הצבעה שלך על מאפיין חדש ומורכב (כי הוא מתייחס לפונקציה אחרת בעלת הגדרה מורכבת) שנובע מתוך התכונה הפשוטה שהוצגה בשאלתי המקורית (ושמתייחסת לפונקציה המקורית). לכן, אם אני אמור עכשיו לבחור בין התכונה הפשוטה שהיצגתי, לבין התכונה המורכבת שהיצגת, ברור לשנינו מה עדיף. בכל מקרה, תודה לשניכם על עצם פינוי זמנכם לשאלתי, כמו גם על ההצעות החדשות. אני מעריך זאת. אתם חלק מההוכחה האמפירית לכך שעוד לא אבדה תקוותנו, מאיתור תופעת ההתנדבות בתחום המדעים המדויקים (שזה חידוש כשלעצמו). 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 16:46, 14 ביוני 2023 (IDT)

1. לא כל תכונה זקוקה לשם. 2. כשאין שם זמין, מותר להמציא. 3. ההבחנה של Yekutiel שהתכונות שלך שקולות לחזרת ערכים או למחזוריות (של פונקציה אחרת) יותר מועילה משלל משמות ומונחים; התכונות שהוא מתאר פשוטות יותר. עוזי ו. - שיחה 21:35, 14 ביוני 2023 (IDT)

מסכים איתך שאין היזדקקות לשם, ושאין איסור להמציא. אין היזדקקות ואין איסור. ומעולם לא נטען שיש. אבל לגבי התועלת שבתכונות שעליהן הצביע A.L.Yekutiel, השאלה היא רק: תועלת למי. יש אנשים, שמאד מועיל להם לשתות אספרסו, יותר אפילו מלשתות קפה הפוך. אבל יש כאלה שאצלם זה בדיוק הפוך. אם תשאל את העובדת סוציאלית שבשכונתנו היא תגיד לך שיותר מועיל לה לקבל הנחה על קורס בפסיכולוגיה חברתית מאשר לקבל בחינם קורס בתורת החוגים הקומוטטיביים. אבל אני, עוד כשהייתי בתיכון, העדפתי דווקא לקבל קורסים מהסוג השני. בקיצור, איש איש וטעמיו, איש איש והתועלות שהוא מוצא בדברים.

על כל פנים, אני היגדרתי כאן היטב מה מועיל לי (לאו דווקא לאחרים): שם מקובל לתכונה שאותה היגדרתי. אני מבין שלא ידוע לכם שם כזה, אז סבבה. יותר מזה: למרות שלא ידוע לכם שם מקובל, לא נטשתם אותי, אלא נתתם לי פרס ניחומים. מבחינתי זה אפילו יותר מסבבה, למרות שלא קיבלתי את מבוקשי המקורי, אשר אילו קיבלתיו זה היה הכי סבבה בשבילי, יותר אפילו מלזכות בלוטו. לכן, הדבר היחיד שנשאר לי לעשות כעת, זה להודות לכם על כך שפיניתם מזמנכם עבורי בהתנדבות. לצערנו אין הרבה מתנדבים על פני כדור הארץ, אז שירבו כמותכם. 2A06:C701:7469:F000:21B3:2273:921C:D9AC 22:17, 14 ביוני 2023 (IDT)