טסרקט

ניתן לפרוש טסרקט לשמונה קוביות תלת־ממדיות כשם שניתן לפרוס קובייה לשישה ריבועים דו־ממדיים

טֵסֵרַקְט הוא גוף במרחב ארבע-ממדי המהווה היפרקוביה מממד 4.

הטסרקט הוא הכללה של הקובייה המוכרת בגאומטריה של המרחב התלת-ממדי.

היחס בין הטסרקט לקובייה דומה לזה שבין הקובייה לריבוע. כשם שקובייה היא גוף תלת-ממדי שלו שש פאות ריבועיות, הטסרקט הוא גוף ארבע-ממדי בעל שמונה "פאות" תלת-ממדיות קובייתיות. טסרקט הוא אחד מששת הפאונים הארבע-ממדיים הקמורים המשוכללים.

את המונח "טסרקט" טבע בשנת 1888 המתמטיקאי הבריטי צ'ארלס האוורד הינטון, ומקורו במילים היווניות "טסרה" (τέσσαρα, "ארבע") ו"אקטיס" (ἀκτίς, "קרן"), המתייחסות לארבעת המקצועות (החד ממדיים) המחברים את כל אחד מקודקודי הטסרקט לשכניו.

תכונות הטסרקט

לטסרקט יש 16 קודקודים, 32 מקצועות, 24 פאות דו-ממדיות, ו-8 פאות תלת-ממדיות ("תאים"). בכל קודקוד של הטסרקט נפגשים 4 מקצועות, 6 פיאות דו־ממדיות, ו-4 תאים תלת-ממדיים.

המרחק בין כל קודקוד של הטסרקט למרכז הטסרקט – נקודה שמרחקה מכל קודקודי הטסרקט שווה – הוא כאורך המקצוע של הטסרקט. המרחק בין שני קודקודים נגדיים של טסרקט הוא כפול מאורך המקצוע של הטסרקט.

בניית הטסרקט

תרשים לפיתוח הדרגתי של רעיון הטסרקט

ניתן לבנות טסרקט באופן הבא, תוך הגדלה הדרגתית של מספר הממדים:

• חד-ממדי: חיבור של שתי נקודות, A ו-B בקו ישר יוצר קטע AB.
• דו-ממדי: את הקצוות של שני קטעים זהים באורכם, AB ו-CD, שהמרחק ביניהם הוא כאורך כל אחד מהם, ניתן לחבר וליצור ריבוע ABCD. לא ניתן לעשות זאת תוך שימוש בממד אחד בלבד, אלא רק במישור דו-ממדי.
• תלת-ממדי: את הקודקודים של שני ריבועים חופפים ABCD ו-EFGH, שהמרחק ביניהם הוא כאורך הצלע של כל אחד מהם, ניתן לחבר וליצור קובייה ABCDEFGH. לא ניתן לעשות זאת תוך שימוש בשני ממדים בלבד, אלא רק במרחב תלת-ממדי.
• ארבע-ממדי: את הקודקודים של שתי קוביות שאורך מקצוען זהה, ABCDEFGH ו-IJKLMNOP, והמרחק ביניהן הוא כאורך המקצוע של כל אחת מהן, ניתן לחבר וליצור טסרקט ABCDEFGHIJKLMNOP. לא ניתן לעשות זאת תוך שימוש בשלושה ממדים בלבד, אלא רק במרחב ארבע-ממדי.

היטלים שונים של הטסרקט

• 
  דיאגרמת שלגל של הטסרקט (היטל). במונחים אינטואיטיביים, ניתן לראות זאת כ"מעיכה" של טסרקט למרחב תלת ממדי. הקוביה התלת-ממדית הפנימית והקוביה התלת-ממדית החיצונית הן ההיטלים של שתיים מתוך שמונה ה"פאות" התלת-ממדיות של הטסרקט. שש הפאות האחרות הפכו בעקבות ההטלה לטרפזים התלת-ממדיים שממלאים את הנפח שבין הקוביות.
• 
  אנימציה של היטל של טסרקט מזווית שונות
• 
  הטלה אורתוגרפית מסוג vertex-first .
• 
  הטלה אלכסונית (הטלה מקבילית שאינה אורתוגרפית) של הטסרקט, שמבליטה את הבנייה שלו כזוג קוביות תלת-ממדיות שקודקודיהן המתאימים מחוברים.
• 
  הטלה של הטסרקט אל מישור קוקסטר של חבורת קוקסטר $B_{4}$, שאיבריה מתאימים לסימטריות של הטסרקט. הטלה של גופים רב-ממדיים אל מישור קוקסטר של חבורות הסימטריה שלהם יוצרת הצגות מישוריות עם רמת סימטריה גבוהה.

קישורים חיצוניים

• טסרקט, באתר MathWorld (באנגלית)