תת-חבורת הקומוטטורים – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־10:54, 4 במרץ 2018

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים $G'$ של חבורה $G$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה $G/G'$ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים איפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר כל המכפלות מהצורה $g_{1}\cdot g_{2}\cdot \dots \cdot g_{n}$ שכך שיש תמורה $\pi$ המקיימת $g_{\pi (1)}\cdot g_{\pi (2)}\cdot \dots \cdot g_{\pi (n)}=e$ כאשר $e$ הוא איבר היחידה בחבורה.

הגדרה

הקומוטטור של שני איברים $g,h$ בחבורה $G$ הוא האיבר $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ . תת-חבורת הקומוטטורים של $G$ היא החבורה הנוצרת $\langle [h,g]|h,g\in G\rangle$ . את החבורה המתקבלת מסמנים $G'$ או $[G,G]$ . הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם $A,B$ תת-חבורות נורמליות של $G$ , אז $[A,B]$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $[a,b]$ עבור $a\in A,b\in B$ ; גם זו תת-חבורה נורמלית הן של $A$ הן של $B$ .

תכונות

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $G/G'$ היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית $N$ של $G$ , המנה $G/N$ אבלית אם ורק אם $G'\subseteq N$ . זהו למעשה איפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה $G/G'$ נקראת האבליזציה של $G$ .

מכיוון שהומומורפיזם $f:G\to H$ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה $f(G')\subset H'$ . בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש- $[A/N,B/N]=[A,B]N/N$ ובפרט $(G/N)'=G'N/N$ .

הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: $G^{(0)}:=G$ , ולכל n, $G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]$ . בפרט מקצרים וכותבים $G'=[G,G]$ , $G''=[G',G']$ וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון $G'=G$ נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $S_{n}$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $A_{n}$ , בעוד ש- $A_{n}$ מושלמת לכל $5\leq n$ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים $G_{n+1}=[G,G_{n}]$ , כאשר $G_{1}:=G$ . אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה $\psi =x_{1}$ , או נוסחה מהצורה $\psi =[\psi ',\psi '']$ כאשר $\psi ',\psi ''$ הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות $[G_{n},G_{n}]\subseteq \psi (G)$ (לכל חבורה G), ואלו המקיימות $\psi (G)\subseteq [G,G'']$ ; והוכיח^[1] שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\psi (G)=1$ , וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\psi (G)=1$ , ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות $A,B,C$ של $G$ , מתקיים $[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]$ .

האורך בחבורת הקומוטטורים

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher^[2] שהאורך של איבר אינו עולה על $\lceil \log _{4}|G'|\rceil$ , וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות $A_{n}$ . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס $L_{r}(q)$ , עבור $q>8$ , ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.

ראו גם

חבורה נילפוטנטית

קישורים חיצוניים

תת-חבורת הקומוטטורים, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)

הערות שוליים

^ Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436
^ P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6

[1] Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436

[2] P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6

[1]

[2]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[מתמטיקה]] ובמיוחד ב[[אלגברה מופשטת]], '''תת חבורת הקומוטטורים''' <math>\ G'</math> של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>\ G</math> היא התת-חבורה ה[[יוצרים של חבורה|נוצרת]] על ידי כל ה[[קומוטטור|קומוטטורים]] של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: היא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, ה[[חבורת מנה|מנה]] <math>\ G/G'</math> היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.
+ב[[מתמטיקה]] ובמיוחד ב[[אלגברה מופשטת]], '''תת חבורת הקומוטטורים''' <math>G'</math> של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] <math>G</math> היא התת-חבורה ה[[יוצרים של חבורה|נוצרת]] על ידי כל ה[[קומוטטור|קומוטטורים]] של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא [[חבורה אבלית|אבלית]]: היא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, ה[[חבורת מנה|מנה]] <math>G/G'</math> היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.
 איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים איפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר כל המכפלות מהצורה  <math>g_1 \cdot g_2 \cdot \dots \cdot g_n</math> שכך שיש [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] <math>\pi</math> המקיימת <math>g_{\pi(1)} \cdot g_{\pi(2)} \cdot \dots \cdot g_{\pi(n)} = e</math> כאשר <math>e</math> הוא איבר היחידה בחבורה.
@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 ==תכונות==
-תת-חבורת הקומוטטורים היא ה[[תת חבורה נורמלית|תת-חבורה הנורמלית]] הקטנה ביותר כך ש[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>\ G/G'</math> היא [[חבורה אבלית|אבלית]]. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית <math>N</math> של <math>G</math>, המנה <math>\ G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>. זהו למעשה איפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה <math>\ G/G'</math> נקראת ה'''אבליזציה''' של <math>\ G</math>.
+תת-חבורת הקומוטטורים היא ה[[תת חבורה נורמלית|תת-חבורה הנורמלית]] הקטנה ביותר כך ש[[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>G/G'</math> היא [[חבורה אבלית|אבלית]]. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית <math>N</math> של <math>G</math>, המנה <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>. זהו למעשה איפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה <math>G/G'</math> נקראת ה'''אבליזציה''' של <math>G</math>.
-מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>\ f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>\ f(G')\subset H'</math>. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-<math>\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>\ (G/N)'=G'N/N</math>.
+מכיוון ש[[הומומורפיזם (אלגברה)#הומומורפיזם בין חבורות|הומומורפיזם]] <math>f : G \to H</math> מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה <math>f(G')\subset H'</math>. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-<math>[A/N,B/N]=[A,B]N/N</math> ובפרט <math>(G/N)'=G'N/N</math>.
 ==הכללות==
-פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: <math>\ G^{(0)} := G</math>, ולכל n,
+פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: <math>G^{(0)} := G</math>, ולכל n, <math>G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>. בפרט מקצרים וכותבים <math>G' = [G,G]</math>, <math>G'' = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא [[חבורה פתירה|פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון
+<math>G'=G</math> נקראת '''חבורה מושלמת'''. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>A_n</math>, בעוד ש- <math>A_n</math> מושלמת לכל <math>5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
-<math>\ G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]</math>. בפרט מקצרים וכותבים <math>\ G' = [G,G]</math>, <math>\ G'' = [G',G']</math> וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא [[חבורה פתירה|פתירה]]. חבורה המקיימת את השוויון
-<math>\ G'=G</math> נקראת '''חבורה מושלמת'''. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של [[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] <math>\ S_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] המתאימה, <math>\ A_n</math>, בעוד ש- <math>\ A_n</math> מושלמת לכל <math>\ 5\leq n</math> (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).
-בדומה לזה, מגדירים <math>\ G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>\ G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]].
+בדומה לזה, מגדירים <math>G_{n+1} = [G,G_n]</math>, כאשר <math>G_1 := G</math>. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה [[חבורה נילפוטנטית|נילפוטנטית]].
-'''נוסחת קומוטטורים מוכללת''' היא הנוסחה <math>\ \psi = x_1</math>, או נוסחה מהצורה <math>\ \psi = [\psi',\psi'']</math> כאשר <math>\ \psi',\psi''</math> הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. [[פיליפ הול]] הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות <math>\ [G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math> (לכל חבורה G), ואלו המקיימות <math>\ \psi(G) \subseteq [G,G'']</math>; והוכיח{{הערה| Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436}} שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\ \psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את [[תנאי השרשרת העולה]] על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\ \psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.
+'''נוסחת קומוטטורים מוכללת''' היא הנוסחה <math>\psi = x_1</math>, או נוסחה מהצורה <math>\psi = [\psi',\psi'']</math> כאשר <math>\psi',\psi''</math> הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. [[פיליפ הול]] הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות <math>[G_n,G_n] \subseteq \psi(G)</math> (לכל חבורה G), ואלו המקיימות <math>\psi(G) \subseteq [G,G'']</math>; והוכיח{{הערה| Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436}} שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, וכולן מקיימות את [[תנאי השרשרת העולה]] על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות <math>\psi(G)=1</math>, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.
-תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>\ A,B,C</math> של <math>\ G</math>, מתקיים <math>\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
+תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את '''למת שלוש התת-חבורות''': לכל שלוש תת-חבורות נורמליות <math>A,B,C</math> של <math>G</math>, מתקיים <math>[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]</math>.
 === האורך בחבורת הקומוטטורים ===
@@ שורה 27: / שורה 26: @@
 בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. ה'''אורך''' של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher{{הערה|P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6}} שהאורך של איבר אינו עולה על <math>\lceil\log_4|G'|\rceil</math>, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).
-המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-[[1951]]) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>\ A_n</math>. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל [[חבורת לי]] מטיפוס <math>\ L_r(q)</math>, עבור <math>\ q>8</math>, ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.
+המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-[[1951]]) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>A_n</math>. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל [[חבורת לי]] מטיפוס <math>L_r(q)</math>, עבור <math>q>8</math>, ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.
 ==ראו גם==

אלגברה מופשטת
ענפים	אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות
מבנים אלגבריים	מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית
מושגי יסוד	הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית