משלים (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
מ רובוט מוסיף: fr:Complémentaire |
מ קישור |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
ב[[תורת הקבוצות]], '''משלים''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל |
ב[[תורת הקבוצות]], '''משלים''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל ה[[איבר (מתמטיקה)|איברים]] שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא [[תת קבוצה]] של U. |
||
על-פי הגדרה זו, ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] ביניהן הוא קבוצה ריקה. |
על-פי הגדרה זו, ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] ביניהן הוא קבוצה ריקה. |
גרסה מ־21:09, 23 בפברואר 2007
בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.
על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.
הגדרה פורמלית
תהא קבוצה, ותהא קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של ב יוגדר כך: . סימון מקובל נוסף למשלים הוא .
דוגמה
תהא קבוצה N המכילה את כל המספרים השלמים והחיוביים.
תהא קבוצה A המכילה רק את המספרים הזוגיים החיוביים (2,4,6...)
הקבוצה B תהיה המשלים של A ביחס לN אם היא תכיל רק מספרים המוכלים בN אך לא בA, כלומר את המספרים החיוביים האי זוגיים (1,3,5...)
ניתן לראות כי החיתוך של A עם B נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה N.
תכונות בסיסיות
, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הינו הקבוצה עצמה.
, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.
, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.
, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.
, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הינו הקבוצה האוניברסלית.
כללי דה מורגן
כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |