משפט הערך הממוצע של קושי

המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה $(f(t),g(t))$ שמקביל לישר המחבר את $(f(a),g(a))$ עם $(f(b),g(b))$.

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

ניסוח פורמלי

תהיינה $\ f$ ו-$\ g$ פונקציות רציפות בקטע $\left[a,b\right]$ וגזירות בקטע $\left(a,b\right)$. נניח שהנגזרת של $g'(x)\neq 0$ לכל $x\in \left(a,b\right)$. אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ כך שמתקיים ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

הערה: מכך שהנגזרת אינה מתאפסת בקטע $\left(a,b\right)$ ומקונטרה פוזיטיב למשפט רול מתקבל $g(b)\neq g(a)$ ולכן אין חלוקה באפס.

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא מקרה פרטי של משפט הערך הממוצע של קושי, עבור $\ g(t)=t$.

הוכחה

ראשית נשים לב כי אם $\ g(b)=g(a)$ אז על פי משפט רול קיימת נקודה $\ x\in (a,b)$ כך ש-$\ g'(x)=0$, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח $\ g(b)\neq g(a)$.

כעת נגדיר פונקציה חדשה:

$$\ F(x)=(f(x)-f(a))-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))$$

פונקציה זו נבנית מהפונקציות $\ f,g$ באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו $\ f,g$, היא רציפה בקטע $\ [a,b]$ וגזירה בקטע $\ (a,b)$.

אם נציב, נקבל את השוויון $\ F(a)=F(b)=0$. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה $\ c\in (a,b)$ כך ש-$\ F'(c)=0$.

אבל $\ F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(x)$. ולכן: $\ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)$.

על פי הנתון, $\ g'(c)\neq 0$ ולכן ניתן לחלק, ולקבל $\ {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$, כמבוקש.

קישורים חיצוניים

• משפט הערך הממוצע של קושי, באתר MathWorld (באנגלית)