משפט הערך הממוצע של קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה שמקביל לישר המחבר את עם .

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה ו- פונקציות רציפות בקטע וגזירות בקטע . כמו כן, נניח שהנגזרת של אינה מתאפסת בקטע הפתוח (ולכן לפי משפט רול ). אזי קיימת נקודה כך שמתקיים . ראו המחשה למשפט זה באיור משמאל.

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית נשים לב כי אם אז על פי משפט רול קיימת נקודה כך ש-, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח .

כעת נגדיר פונקציה חדשה: . פונקציה זו נבנית מהפונקציות באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו , היא רציפה בקטע וגזירה בקטע .

אם נציב, נקבל את השוויון . לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה כך ש-.

אבל . ולכן: .

על פי הנתון, ולכן ניתן לחלק, ולקבל , כמבוקש.

דוגמה ומסקנה במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להמחיש את קיום המשפט, נדגים מקרה פרטי פשוט: שתי פונקציות לינאריות בקטע . נסמן ,, ונדרוש, בהתאם לדרישות המשפט: .

מאחר שבחרנו בעלות נגזרת קבועה בקטע, אזי על פי המשפט מתקיים: . ממשוואת הקו הישר נובע: , ובאותו אופן: .

ומכאן קל לראות ש: מתקיים.

מהדוגמה ניתן לראות שמשפט הערך הממוצע של קושי, במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות בקטע מסוים, אומר שיחס שיפועי הפונקציות זהה ליחס גדילת הפונקציות לאורך הקטע.