משפט רול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה c, מקביל לקו האדום המחבר את הקטע [a,b] ולציר ה-x.

משפט רול (על שם מישל רול שניסח אותו ב-1691), הוא משפט בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי, העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור , גזירה בקטע הפתוח וערכיה בשני קצוות הקטע זהים , אז קיימת נקודה c בקטע כך ש-, כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.

מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של ) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי פונקציה רציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח כך שמתקיים . אז קיימת נקודה

כך שמתקיים .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה בקטע , והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה בקטע . אחרת, המקסימום או המינימום מתקבלים בתוך הקטע ובכל אחד מהמקרים קיימת נקודת קיצון בקטע . לפי תנאי המשפט, הפונקציה גזירה ב- ובפרט היא גזירה ב-, ולכן על פי משפט פרמה ערך הנגזרת ב- הוא אפס כנדרש.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]