משפט שטולץ
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות ו- שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842–1905) וארנסטו צזארו (1859–1906).
ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]
תהא סדרה כלשהי, ותהא סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.
אם הסדרה מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול , אז גם הסדרה מתכנסת לאותו הגבול.
הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]
נוכיח את המקרה בו סופי.
יהי כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים טבעי, כך שלכל מתקיים
.
כיוון שהסדרה מונוטונית עולה ממש, , כלומר וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:
יהא טבעי כלשהו כך ש- (בהכרח קיים כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל נקבל את האי שוויון הבא:
נחלק את אי השוויון ב- ונקבל
ברור כי . לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים . כן ברור כי לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים . לפיכך, אם נבחר , נקבל שלכל יתקיים:
, כלומר -
ולפיכך, .
דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]
- נחשב את הגבול כאשר .
- נסמן , ו- . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
- ולכן, לפי המשפט, .
- נחשב את הגבול כאשר .
- נסמן , ו- . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
- השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
- ולכן, לפי המשפט, .
שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- הוכחת כלל לופיטל.
- בהינתן סדרה מתכנסת:
- הממוצעים המשוקללים של מתכנסים לאותו גבול כמו (זאת בתנאי שסדרת המשקולות מקיימת ).
- הממוצע החשבוני של מתכנס לאותו גבול כמו (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
- הממוצע ההרמוני של מתכנס לאותו גבול כמו .
- משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של מתכנס לאותו גבול כמו .