משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צזארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות $\ \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ו- $\ \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$ שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842-1905) וארנסטו צזארו (1859-1906).

ניסוח המשפט

תהא $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה כלשהי, ותהא $\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה $\textstyle \left\{{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול $L=\lim _{n\to \infty }\textstyle {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}$, אז גם הסדרה $\textstyle \left\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת לאותו הגבול.

הוכחה

נוכיח את המקרה בו $\,L$ סופי.

יהי $\varepsilon >0$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים $N\,$ טבעי, כך שלכל $n>N\,$ מתקיים

$L-\textstyle {\varepsilon \over 2}<{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\textstyle {\varepsilon \over 2}$

.

כיוון שהסדרה $\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית עולה ממש, $y_{n+1}>y_{n}\,$, כלומר $y_{n+1}-y_{n}>0\,$ וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

$$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)<x_{n+1}-x_{n}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)$$

יהא $k>N\,$ טבעי כלשהו כך ש- $y_{k}>0\,$ (בהכרח קיים $k\,$ כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל $N+1\leq n\leq k$ נקבל את האי שוויון הבא:

$$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}<\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({x_{i+1}-x_{i}}\right)}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}$$

$$\Updownarrow$$

$$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)<x_{k+1}-x_{N+1}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)$$

נחלק את אי השוויון ב- $y_{k+1}>0\,$ ונקבל

$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)<\textstyle {\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)$

$$\Updownarrow$$

$\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}$

ברור כי $\lim _{k\to \infty }\left({\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L+\textstyle {\varepsilon \over 2}$. לכן קיים $M\,$ טבעי כך שלכל $k>M\,$ מתקיים $\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<L+\varepsilon$. כן ברור כי $\lim _{k\to \infty }\left({\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L-\textstyle {\varepsilon \over 2}$ לכן קיים $A\,$ טבעי כך שלכל $k>A\,$ מתקיים $\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>L-\varepsilon$. לפיכך, אם נבחר $Q=\max\{A,M,N\}\,$, נקבל שלכל $k>Q\,$ יתקיים:

$L-\varepsilon <{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<L+\textstyle \varepsilon$, כלומר - $\left|{{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-L}\right|<\textstyle \varepsilon$

ולפיכך, $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L$.

דוגמאות

• נחשב את הגבול $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ כאשר $a_{n}={\frac {2+{({3 \over 2})}^{2}+{({4 \over 3})}^{3}+...+{({n+1 \over n})}^{n}}{n}}$.

נסמן $x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\textstyle {\left({k+1 \over k}\right)}^{k}$, ו- $y_{n}=n\,$. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_{n}\,$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$\lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}-\sum _{k=1}^{n}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}}{n+1-n}}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left(1+{1 \over n+1}\right)^{n+1}}=e$

ולכן, לפי המשפט, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=e$.

• נחשב את הגבול $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}$ כאשר $a_{n}\rightarrow e$.

נסמן $x_{n}=\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}$, ו- $y_{n}=e^{n}\,$. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_{n}\,$ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$\lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}e^{k-1}a_{k}-\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}}{e^{n+1}-e^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{n}(a_{n+1})}{e^{n}(e-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{e-1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e-1}}={\frac {e}{e-1}}$

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן, לפי המשפט, $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}={\frac {e}{e-1}}$.

שימושים

• הוכחת כלל לופיטל.

• בהינתן $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה מתכנסת:
  • הממוצעים המשוקללים של $\ a_{n}$ מתכנסים לאותו גבול כמו $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ (זאת בתנאי שסדרת המשקולות $\left\{\alpha _{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מקיימת $\ \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\to \infty$).
  • הממוצע החשבוני של $\ a_{n}$ מתכנס לאותו גבול כמו $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
  • הממוצע ההרמוני של $\ a_{n}$ מתכנס לאותו גבול כמו $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$.
    • משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של $\ a_{n}$ מתכנס לאותו גבול כמו $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$.