משפט שטולץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צזארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות ו- שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842-1905) וארנסטו צזארו (1859-1906).

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא סדרה כלשהי, ותהא סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול , אז גם הסדרה מתכנסת לאותו הגבול.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח את המקרה בו סופי.

יהי כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים טבעי, כך שלכל מתקיים

.

כיוון שהסדרה מונוטונית עולה ממש, , כלומר וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

יהא טבעי כלשהו כך ש- (בהכרח קיים כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל נקבל את האי שוויון הבא:

נחלק את אי השוויון ב- ונקבל

ברור כי . לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים . כן ברור כי לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים . לפיכך, אם נבחר , נקבל שלכל יתקיים:

, כלומר -

ולפיכך, .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • נחשב את הגבול כאשר .
נסמן , ו- . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
ולכן, לפי המשפט, .
  • נחשב את הגבול כאשר .
נסמן , ו- . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
ולכן, לפי המשפט, .

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בהינתן סדרה מתכנסת:
    • הממוצעים המשוקללים של מתכנסים לאותו גבול כמו (זאת בתנאי שסדרת המשקולות מקיימת ).
    • הממוצע החשבוני של מתכנס לאותו גבול כמו (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
    • הממוצע ההרמוני של מתכנס לאותו גבול כמו .