סדר חלקי – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 12: | שורה 12: | ||
דוגמאות: |
דוגמאות: |
||
* קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] <math>\!\, \left(\mathbb{N},\le\right)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה לינארית. כך גם ה[[ממשיים]]. |
* קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] <math>\!\, \left(\mathbb{N},\le\right)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה לינארית. כך גם ה[[ממשיים]]. |
||
* |
*מגדירים יחס <math>|</math> כך ש <math>m|n</math> אם ורק אם <math>m</math> מחלק את <math>n</math>, הקבוצה <math>\left(\mathbb{N},|\right)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה לינארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני. |
||
== איברים מיוחדים == |
== איברים מיוחדים == |
גרסה מ־16:37, 9 בנובמבר 2012
בתורת הקבוצות, סדר חלקי על קבוצה X הוא יחס המקיים שלוש תכונות:
- רפלקסיביות: לכל מתקיים .
- אנטיסימטריות: אם וגם אז .
- טרנזיטיביות: אם וגם אז .
קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר חלקי נקראת קבוצה סדורה (או קבוצה סדורה חלקית).
אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אחד אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד אינטואיציה זו באופן אקסיומטי.
אם עבור כל שני איברים מתקיים או אז קוראים ליחס סדר לינארי (או סדר מלא), ולזוג קבוצה סדורה לינארית, או שרשרת.
דוגמאות:
- קבוצת כל המספרים הטבעיים עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה לינארית. כך גם הממשיים.
- מגדירים יחס כך ש אם ורק אם מחלק את , הקבוצה היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה לינארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.
איברים מיוחדים
איבר נקרא איבר מינימלי אם לא קיים השונה ממנו כך ש .
איבר נקרא איבר מקסימלי אם לא קיים השונה ממנו כך ש .
איבר נקרא איבר ראשון (איבר קטן ביותר), או לחלופין מינימום, אם לכל מתקיים .
איבר נקרא איבר אחרון (איבר גדול ביותר), או לחלופין מקסימום, אם לכל מתקיים .
ההבדל בין איבר מקסימלי לאיבר אחרון הוא שבקבוצה סדורה חלקית לא תמיד ניתן להשוות איבר לשאר האיברים, ואילו איבר אחרון חייב להיות בר השוואה לכל שאר האיברים.
קבוצה סדורה לינארית שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה , נקראת קבוצה סדורה היטב.
כאשר מתקיים , ואין כך ש– , אז אומרים ש– מכסה את (ומכאן שבסדר צפוף אין שני איברים שמכסים זה את זה).
ראו גם
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |