גאומטריה אוקלידית

אוקלידס

מקורה של הגאומטריה האוקלידית, המכונה גם גאומטריה פרבולית, ביוון העתיקה. פירוש המילה "גאומטריה" ביוונית הוא למדוד (מטר) את האדמה (גאו), ומקור התואר אוקלידית הוא בשמו של המתמטיקאי אוקלידס. הגאומטריה האוקלידית מבוססת על מספר מצומצם של מושגי יסוד (נקודה, ישר ומישור) ועל אקסיומות העוסקות בהם. מהאקסיומות ניתן להוכיח משפטים.

במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה הגאומטריה היחידה. במאה ה-19 נוצרו גאומטריות אחרות, השונות מהגאומטריה האוקלידית באחת מהאקסיומות שלהן, ולכן נדרשה הבחנה בין גאומטריה אוקלידית לגאומטריה לא-אוקלידית.

גאומטריה אוקלידית נמנית עם ענפי המתמטיקה המעטים הנלמדים בבית הספר היסודי והתיכון. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים דידקטיים, בין גאומטריית המישור (או הנדסת המישור), העוסקת בגופים מישוריים בלבד, כגון משולש ומעגל, ובין גאומטריית המרחב (או הנדסת המרחב), העוסקת בגופים תלת-ממדיים, כגון פירמידה, קובייה וכדור.

אקסיומות

אוקלידס, שנחשב לאבי הגאומטריה בזכות ספרו "יסודות", ביסס אותה על חמש אקסיומות, העוסקות בעיקר בבנייה:

1. אפשר להעביר קטע ישר בין שתי נקודות.
2. אפשר להמשיך קטע ישר ללא גבול.
3. אפשר לתאר מעגל על-פי מרכז ורדיוס.
4. כל הזוויות הישרות שוות ביניהן.
5. אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.

האקסיומה החמישית, המכונה "אקסיומת המקבילים", נראתה למתמטיקאים מיותרת במשך מאות שנים, והם ניסו להוכיח אותה באמצעות האקסיומות שלפניה. אולם במאה ה-19 הוכח שהדבר בלתי אפשרי, על ידי יצירת הגאומטריה ההיפרבולית שבה כל ארבע האקסיומות הראשונות נכונות אך החמישית איננה נכונה. תחום זה של הגאומטריה נקרא גאומטריה לא אוקלידית. באותה תקופה גם ניתן לגאומטריה שבה אנו עוסקים בערך זה השם "גאומטריה אוקלידית" כדי להבדילה מהגאומטריה הלא-אוקלידית החדשה שנוצרה.

אקסיומת המקבילים שקולה גם לטענה זו:

• דרך ישר כלשהו ונקודה שאיננה על הישר, ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שלא ייחתך עם הישר הנתון.

האקסיומות שהציע אוקלידס אינן מספיקות לביסוס של הגאומטריה במידת הקפדנות המקובלת היום; במקומן מקובל להשתמש במערכת האקסיומות של הילברט שהציע דויד הילברט בסוף המאה ה-19.

מושגי יסוד

מושגי היסוד של הגאומטריה הם נקודה, ישר ומישור. אלה מושגים שאין להם הגדרה והמשמעות שלהם מובנת בצורה אינטואיטיבית או על פי מאפייניהם.

דוגמאות למאפיינים:

נקודה

• לנקודה אין ממדים.
• נקודה מציינת מיקום במרחב.

קו ישר

• לקו ישר אין רוחב.
• על ישר יש אינסוף נקודות.

מישור

• למישור אין עובי.
• המישור הוא דו ממדי.
• למישור אין סוף.
• דרך 2 ישרים נחתכים עובר מישור אחד ויחיד.
• דרך 3 נקודות שאינן נמצאות על ישר אחד עובר מישור אחד ויחיד.

מושגים מוגדרים

באמצעות מושגי היסוד וחמש האקסיומות ניתן להגדיר בצורה חד משמעית כל מושג אחר בגאומטריה האוקלידית, כמו מלבן, משולש או מעגל. הגאומטריה האוקלידית, כמו כל ענף במתמטיקה, נבנית על גבי האקסיומות שלה. לכן, הגאומטריה האוקלידית היא ענף סגור שאינו נדרש לענפים אחרים כמו הטריגונומטריה. מסיבה זו כל המשפטים וההוכחות הגאומטריות מתבססות על הגאומטריה האוקלידית ועליה בלבד.

צורות גאומטריות

משולש - מרובע - מצולע - מעגל - פרבולה - אליפסה - היפרבולה - חרוט - קובייה - ארבעון - איקוסהדרון - דודקהדרון - כדור

ראו גם

• מערכת האקסיומות של הילברט
• גאומטריה לא-אוקלידית
• משפט פיתגורס
• משפט צ'בה
• משפט מנלאוס

לקריאה נוספת

• דיבשה אמירה, ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה, הוצאת עם עובד ודביר, 1962
• Euclid's Elements, "היסודות", ספרו של אוקלידס, בתרגום לאנגלית