חבורת בראואר

באלגברה מופשטת, חבורת בראוור (Brauer group) של שדה נתון היא חבורת אוסף מחלקות האלגברות הפשוטות המרכזיות עם פעולת המכפלה הטנזורית, בה איבר ההופכי הוא (המחלקה של) האלגברה המנוגדת. היא נקראת על שם המתמטיקאי ריכארד בראוור. מטרתה היא לאפיין ולמיין את האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל השדה.

מבוא והגדרה פורמלית

אלגברה פשוטה מרכזית (Central simple algebra) מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אלגברה פשוטה סוף ממדית שמרכזה הוא השדה $\mathbb {F}$. אלגברת חילוק מרכזית (Central division algebra) היא אלגברה פשוטה מרכזית עם חילוק.

לפי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית סוף-ממדית איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם. אלגברת החילוק הזו נקראת האלגברה הבסיסית (היא בבסיס האלגברה המקורית).

נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות ${R}_{1},{R}_{2}$ הן שקולות בראוור אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית. נסמן זאת ${R}_{1}{\sim }_{Br}{R}_{2}$. בשקילות, ${R}_{1}{\sim }_{Br}{R}_{2}$ כאשר קיימים $n_{1},n_{2}$ כך ש-$M_{n_{1}}({R}_{1})\cong M_{n_{2}}({R}_{2}$. קל לבדוק שזהו אכן יחס שקילות, ואת המחלקה של אלגברה פשוטה מרכזית $R$ נסמן על ידי $[R]$. למשל, מתקיים $[\mathbb {F} ]=\{{M}_{n}(\mathbb {F} ):n\geq 1\}$.

חבורת בראוור היא החבורה הבאה:

* האיברים הם אוסף מחלקות השקילות כנ"ל.

* הפעולה היא $[{R}_{1}]\cdot [{R}_{2}]=[{R}_{1}\otimes {R}_{1}]$, כאשר $\otimes$ היא המכפלה הטנזורית.

* איבר היחידה הוא $[\mathbb {F} ]$.

* האיבר ההופכי של $[R]$ הוא $[{R}^{op}]$, האלגברה המנוגדת.

אוסף זה כפי שהוגדר מהווה חבורה קומוטטיבית, הנקראת חבורת בראוור של השדה $\mathbb {F}$, אותה מסמנים $Br(\mathbb {F} )$.

דוגמאות

• אם $\mathbb {F}$ שדה סגור אלגברית, אז $Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}$ (חבורה עם איבר אחד). טענה זו נובעת מכך שמעל שדה סגור אלגברית, כל אלגברה עם חילוק היא $\mathbb {F}$ בעצמו, ולכן האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל $\mathbb {F}$ סגור אלגברית הן רק ${M}_{n}(\mathbb {F} )$.

• במקרה $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ שדה הממשיים, מתקיים $Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {R} ],[\mathbb {H} ]\}$, כאשר $\mathbb {H}$ היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון. זה נכון לפי משפט של פרובניוס, הקובע כי אלגברת החילוק היחידה מעל הממשיים היא אלגברת הקווטרניונים .

• לפי המשפט הקטן של ודרברן, כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה. לכן, אם $\mathbb {F}$ שדה סופי, אז $Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}$.

תכונות והגדרות נוספות

תהי $\mathbb {L} /\mathbb {F}$ הרחבת שדות.

ההעתקה $Br(\mathbb {F} )\rightarrow Br(\mathbb {L} )$ הנתונה על ידי $[R]\mapsto [R{\otimes }_{\mathbb {F} }\mathbb {L} ]$ מוגדרת היטב, ומהווה הומומורפיזם חבורות. העתקה זו מכונה הצמצום (Restriction) ומסומנת ${res}_{\mathbb {L} /\mathbb {F} }$. הגרעין שלה נקרא חבורת בראוור היחסית (relative Brauer group), המסומנת $Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )$. אם $[R]\in Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )$ אז $R\otimes \mathbb {L} {\sim }_{Br}\mathbb {L}$, ובמקרה זה $\mathbb {L}$ נקרא שדה מפצל של האלגברה $R$.

הסגור האלגברי ${\overline {\mathbb {F} }}$ של $\mathbb {F}$ תמיד שדה מפצל של כל $\mathbb {F}$-אלגברה $R$, ולכן קיים מספר טבעי $n$ כך ש-$R{\otimes }_{\mathbb {F} }({\overline {\mathbb {F} }}){\sim }_{Br}{M}_{n}({\overline {\mathbb {F} }})$, ולכן ממדו הוא ${n}^{2}$. המספר $n$ נקרא הדרגה של $R$, ומסמנים $n=deg(R)$. האינדקס של $R={M}_{t}(D)$ הוא הדרגה של $D$ מעל $\mathbb {F}$, מסומן $ind(R)$, ומתקיים $deg(R)=t\cdot ind(R)$.

לתת-שדות מקסימליים של האלגברה מקום מרכזי בתאוריה:

משפט:שדה $\mathbb {L}$ מפצל את $R$ אם ורק אם $\mathbb {L}$ תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה $R'$ השקולה ל-R בחבורה.

האקספוננט של אלגברה $R$ הוא הסדר של $[R]\in Br(\mathbb {F} )$, ומסומן $exp(R)$. תמיד מתקיים $exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)$, וכל ראשוני המחלק את $ind(R)$ מחלק את $exp(R)$. בפרט, חבורת בראוור היא חבורה מפותלת, כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי.

לכל מספר $m$, מגדירים את החבורה ${Br(\mathbb {F} )}_{m}$ להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט המחלק את $m$. אם $gcd([\mathbb {L} :\mathbb {F} ],m)=1$ העתקת הצמצמום מ-${Br(\mathbb {F} )}_{m}$ ל-${Br(\mathbb {L} )}_{m}$ היא שיכון.

חבורת בראוור וקוהומולוגיה

דרך הגדרה שקולה לחבורת בראוור היא בעזרת חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של החבורה הלינארית הכללית הפרויקטיבית - ${PGL}_{n}(\mathbb {K} )={GL}_{n}(\mathbb {K} )/Z({GL}_{n}(\mathbb {K} ))$.

תהי $\mathbb {K} /\mathbb {F}$ הרחבת שדות עם חבורת גלואה $G=Gal(\mathbb {K} /\mathbb {F} )$.

נסמן ב$CSA_{\mathbb {K} }(n)$ את ה$\mathbb {F}$-אלגברות הפשוטות המרכזיות מדרגה $n$ המתפצלות על ידי $\mathbb {K}$ (עד כדי איזומורפיזם). ישנה פעולה $CSA_{\mathbb {K} }(m)\times CSA_{\mathbb {K} }(n)\rightarrow CSA_{\mathbb {K} }(mn)$ הנתונה על ידי המכפלה טנזורית, היות ששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של המכפלה הטנזורית שלהן.

יחס השקילות שקולים בראוור שהוצג לעיל הוא יחס על $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{{CSA}_{\mathbb {K} }(n)}$, ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראוור היחסית $Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )$, וחבורת בראוור היא $\bigcup _{\mathbb {K} }{Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )}$, כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה הסופיות.

כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא:

משפט: יש התאמה חד חד ערכית: ${CSA}_{n}(\mathbb {K} )\leftrightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb {K} ))$.

ממשפט זה יחד עם הפעולה $CSA_{\mathbb {K} }(m)\times CSA_{\mathbb {K} }(n)\rightarrow CSA_{\mathbb {K} }(mn)$ לעיל, נובע שיש פעולה מתאימה ${\lambda }_{mn}:{CSA}_{\mathbb {K} }(n)\times {H}^{1}(G,{PGL}_{m}(\mathbb {K} ))\rightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{mn}(\mathbb {K} ))$.

משפט: ${\lambda }_{mn}$ חד חד ערכיות.

כלומר, אפשר לשכן חבורות קוהומולוגיה כנ"ל, ולכן נגדיר ${H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{{H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb {K} ))}$ (זהו למעשה גבול ישר ביחס להכלה כנ"ל). כעת, נגדיר ${H}^{1}(\mathbb {F} ,{PGL}_{\infty })=\bigcup _{\mathbb {K} }{{H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))}$, כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה $\mathbb {K}$ המוכלות בתוך סגור ספרבילי של $\mathbb {F}$.

המשפט המרכזי הוא:

משפט: $Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )\cong {H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))$ ו-$Br(\mathbb {F} )\cong {H}^{1}(\mathbb {F} ,{PGL}_{\infty })$.

ראו גם

• מכפלה טנזורית
• אלגברה מנוגדת
• אלגברה פשוטה מרכזית
• אלגברת אזומיה

לקריאה נוספת

• Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, AMS, 447-461

• Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 29-33

• The Brauer group is Torsion, David J. Saltman ,AMS ,1981